整域

(1)⇒(2)：$ab=ac$ なら $a(b-c)=0$ で、$a\neq0$ なので $b-c=0$。(2)⇒(1)：$ab=0$、$a\neq0$ とすると $ab=a\cdot0$ なので消去律により $b=0$。$\square$

イデアル $I$ が素イデアルであるとは、$I\neq R$ かつ「$ab\in I$ ならば $a\in I$ または $b\in I$」が成り立つことをいう。$(0)\neq R$ は $1\neq0$ と同値であり、「$ab\in(0)$ ならば $a\in(0)$ または $b\in(0)$」は「$ab=0$ ならば $a=0$ または $b=0$」そのものである。$\square$

$R/I$ において $1+I\neq0+I$ は $1\notin I$、すなわち $I\neq R$ と同値である。また $(a+I)(b+I)=ab+I$ が $0+I$ に等しいことは $ab\in I$ と同値であり、$a+I=0+I$ は $a\in I$ と同値である。よって「$(a+I)(b+I)=0$ ならば $a+I=0$ または $b+I=0$」は「$ab\in I$ ならば $a\in I$ または $b\in I$」と同値である。$\square$

$f(1)=1\neq0$ なので $1\notin\ker f$、よって $\ker f\neq R$。$ab\in\ker f$ なら $f(a)f(b)=f(ab)=0$ であり、$S$ が整域なので $f(a)=0$ または $f(b)=0$、すなわち $a\in\ker f$ または $b\in\ker f$ である。$\square$

$R$ を有限整域、$a\in R$、$a\neq0$ とする。写像 $R\to R$、$x\mapsto ax$ は消去律（prop-integral-domain-cancellation）により単射であり、$R$ が有限集合なので全射でもある。よって $ax=1$ となる $x$ が存在し、$a$ は可逆である。$1\neq0$ と合わせて $R$ は体である。$\square$

$n=ab$（$1< a,b< n$）と分解できれば $\bar a\bar b=\bar n=\bar0$ で $\bar a\neq\bar0$、$\bar b\neq\bar0$ なので整域でない。$n=p$ が素数のとき、$\bar a\bar b=\bar0$ は $p\mid ab$ を意味し、素数の性質により $p\mid a$ または $p\mid b$、すなわち $\bar a=\bar0$ または $\bar b=\bar0$ である。$\bar1\neq\bar0$ は $p\ge2$ から従う。$\square$

$f=a_mx^m+\cdots+a_0$、$g=b_nx^n+\cdots+b_0$（$a_m\neq0$、$b_n\neq0$）とすると、$fg$ の $x^{m+n}$ の係数は $a_mb_n$ であり、$R$ が整域なので $a_mb_n\neq0$ である。よって $fg\neq0$ かつ $\deg(fg)=m+n$。$R[x]$ の $1$ は $R$ の $1$ で $1\neq0$。$\square$