Dunford–Pettisの定理

まず、可測集合 $A$ と $M>0$ について、$A$ を $\{|f|\le M\}$ と $\{|f|>M\}$ に分けると $\displaystyle \int_A|f|\,d\mu\le M\mu(A)+\int_{\{|f|>M\}}|f|\,d\mu \qquad(1)$ である。また $M\,1_{\{|f|>M\}}\le|f|$ を積分して $\mu(\{|f|>M\})\le\|f\|_1/M$ を得る。

1：1 つの $f\in L^1$ について示せば、有限個の場合は $\delta$ の最小値と $\omega$ の和をとればよい。$|f|$ はほとんど至る所有限なので $|f|1_{\{|f|>M\}}\to0$（$M\to\infty$）がほとんど至る所で成り立ち、$|f|$ で抑えられるので Lebesgueの優収束定理 により $\int_{\{|f|>M\}}|f|\to0$ である。$\varepsilon>0$ に対し $\int_{\{|f|>M\}}|f|<\varepsilon/2$ となる $M$ をとり $\delta:=\varepsilon/(2M)$ とすれば、(1) から (b) が従う。同様に $|f|1_{\Omega\setminus\Omega_i}\to0$ と優収束定理から $\int_{\Omega\setminus\Omega_i}|f|\to0$ であり、(c) は $\omega=\Omega_i$（$i$ は大きくとる）で成り立つ。

2：極限が $0$ なら、(1) で $M$ を大きくとってから $\delta$ を小さくとれば (b) が従う。逆に (b) を仮定し、$C:=\sup_F\|f\|_1$ とおく。$\varepsilon$ に対する $\delta$ をとると、$M>C/\delta$ のとき Markov の不等式から $\mu(\{|f|>M\})<\delta$ なので、すべての $f\in F$ について $\int_{\{|f|>M\}}|f|<\varepsilon$ である。$\square$

有界性：各 $\varphi\in E^*$ について $\varphi(K)$ は連続像としてコンパクトなので有界である。$x\in K$ を $E^*$ 上の汎関数 $J(x)\colon\varphi\mapsto\varphi(x)$ とみなすと、$\|J(x)\|=\|x\|$（Hahn–Banachの定理）であり、各 $\varphi$ で $\sup_{x\in K}|J(x)\varphi|<\infty$ なので、一様有界性原理 により $\sup_{x\in K}\|x\|<\infty$ である。

列 $(x_n)\subset K$ をとり、$\{x_n\}$ の張る部分空間の閉包を $M$ とする。有理係数の有限一次結合が $M$ で稠密なので $M$ は可分であり、稠密な列 $(y_k)\subset M$ がとれる。Hahn–Banach の定理で $\|\varphi_k\|\le1$、$\varphi_k(y_k)=\|y_k\|$ となる $\varphi_k\in E^*$ をとる。$0\ne x\in M$ なら $\|x-y_k\|<\|x\|/3$ となる $k$ があり、$\varphi_k(x)\ge\|y_k\|-\|x-y_k\|>\|x\|/3>0$ である。よって $d(x,y):=\sum_k2^{-k}|\varphi_k(x-y)|$ は $M$ 上の距離である。

$M$ は閉凸集合なので弱閉であり（Hahn–Banach の分離定理から、閉凸集合の外の点は弱開集合で切り離せる）、$K\cap M$ は弱コンパクトである。$R:=\sup_K\|x\|$ とすると $K\cap M$ 上で第 $k$ 項は $2^{1-k}R$ 以下なので、級数は一様収束し、各項は弱連続だから $d$ は $K\cap M$ 上で弱連続である。よって恒等写像 $(K\cap M,\text{弱位相})\to(K\cap M,d)$ は連続な全単射で、コンパクト空間から Hausdorff 空間への写像なので同相である。コンパクト距離空間は点列コンパクトなので、$(x_n)$ は $d$ で、すなわち弱位相で、$K\cap M$ の点に収束する部分列をもつ。$\square$

lem-dp-subsequence から $K_1$ は有界なので、$F\subset K_1+B_E$ も有界である。$J(F)$ の $\sigma(E^{**},E^*)$ に関する閉包を $G$ とすると、$G$ は $E^{**}$ のある閉球に含まれる弱スター閉集合なので、Banach–Alaogluの定理 により弱スターコンパクトである。

$\varphi\in E^*$ について $\langle J(x),\varphi\rangle=\varphi(x)$ なので、$J\colon(E,\sigma(E,E^*))\to(E^{**},\sigma(E^{**},E^*))$ は連続であり、$J(K_\varepsilon)$ は弱スターコンパクトである。$\varepsilon B_{E^{**}}$ も弱スターコンパクトであり、和の写像は弱スター位相について連続なので、$J(K_\varepsilon)+\varepsilon B_{E^{**}}$ は弱スターコンパクト、したがって弱スター閉である。これが $J(F)$ を含むので $G$ も含む。よって各 $\xi\in G$ と各 $\varepsilon>0$ について $\|\xi-J(x)\|\le\varepsilon$ となる $x\in E$ がある。$J$ は等長（Hahn–Banach の定理）で $E$ は完備なので $J(E)$ はノルム閉であり、$\xi\in J(E)$ である。

$J(E)$ の上で弱スター位相と、$J$ で移した $E$ の弱位相は、どちらも「各 $\varphi\in E^*$ での値」で決まる位相なので一致する。よって $J^{-1}(G)$ は $E$ の弱コンパクト集合で、$F$ を含む。$\square$

空間 $Y$：$\nu$ は全測度 $1$ 以下の測度で、$\nu(E)=0$ と $\mu(E)=0$ は同値である（$\mu(E)>0$ なら下からの連続性によりある $i$ で $\mu(E\cap\Omega_i)>0$）。$1/(1+\mu(\Omega_i))\le1$ と $\sum_i2^{-i}=1$ から $\nu(E)\le\mu(E)$、また $i\le j$ では $(\Omega\setminus\Omega_j)\cap\Omega_i=\emptyset$ なので $\nu(\Omega\setminus\Omega_j)\le\sum_{i>j}2^{-i}=2^{-j}$ である。$Y:=\{1_A\mid A\in\mathcal{A}\}\subset L^1(\nu)$ とし、$d(A,B):=\|1_A-1_B\|_{L^1(\nu)}=\nu(A\triangle B)$ とおく。$1_{A_k}\to h$ が $L^1(\nu)$ で収束すれば、部分列がほとんど至る所で収束するので（Lp空間 の系「各点収束する部分列」）$h$ はほとんど至る所 $0$ か $1$ であり、$h=1_A$ と書ける。よって $Y$ は完備な $L^1(\nu)$ の閉集合で、完備距離空間である。

積分の連続性：$f\in L^1(\mu)$ について、任意の $\varepsilon>0$ に対し $\eta>0$ があって $\nu(E)<\eta$ なら $\int_E|f|\,d\mu<\varepsilon$ となる。そうでなければ $\nu(E_k)<2^{-k}$、$\int_{E_k}|f|\ge\varepsilon$ となる $E_k$ があり、$D_m:=\bigcup_{k\ge m}E_k$ は減少して $\nu(\bigcap_mD_m)=0$、したがって $\mu(\bigcap_mD_m)=0$ となるが、$\rho(E):=\int_E|f|\,d\mu$ は有限測度なので上からの連続性により $\rho(\bigcap_mD_m)=\lim_m\rho(D_m)\ge\varepsilon$ となって矛盾する。$|\int_Af-\int_Bf|\le\int_{A\triangle B}|f|$ なので、$A\mapsto\int_Af\,d\mu$ は $(Y,d)$ 上で連続である。

Baire の議論：$\varepsilon>0$ を固定し、 $\displaystyle Y_N:=\Bigl\{A\in Y\Bigm|\Bigl|\int_A(f_k-f_l)\,d\mu\Bigr|\le\varepsilon\ \ (k,l\ge N)\Bigr\}$ とおく。連続関数の逆像の共通部分なので $Y_N$ は閉であり、各 $A$ で $\int_Af_n$ は Cauchy 列なので $\bigcup_NY_N=Y$ である。Baireの範疇定理 により、ある $N$、$A_0\in Y$、$r>0$ で $\{A\mid\nu(A\triangle A_0)< r\}\subset Y_N$ となる。$\nu(B)< r$ なら $A_0\cup B$ と $A_0\setminus B$ はこの球に入り、$1_B=1_{A_0\cup B}-1_{A_0\setminus B}$ なので $|\int_B(f_k-f_l)|\le2\varepsilon$（$k,l\ge N$）である。これを $B\cap\{f_k\ge f_l\}$ と $B\cap\{f_k< f_l\}$ に当てはめると $\int_B|f_k-f_l|\le4\varepsilon$ であり、$l=N$ として $\displaystyle \int_B|f_k|\,d\mu\le4\varepsilon+\int_B|f_N|\,d\mu\qquad(k\ge N,\ \nu(B)< r) \qquad(2)$ を得る。

(b)：lem-dp-basic の 1 を $f_1,\dots,f_N$ に使い、$\delta\le r$ を、$\mu(B)<\delta$ なら $\int_B|f_k|<\varepsilon$（$k\le N$）となるようにとる。$\mu(B)<\delta$ なら $\nu(B)< r$ なので、(2) からすべての $k$ で $\int_B|f_k|<5\varepsilon$ である。(c)：$2^{-j}< r$ かつ $\int_{\Omega\setminus\Omega_j}|f_k|<\varepsilon$（$k\le N$）となる $j$ をとる（lem-dp-basic の証明のとおり $\int_{\Omega\setminus\Omega_j}|f_k|\to0$）。$B:=\Omega\setminus\Omega_j$ は $\nu(B)< r$ なので、(2) からすべての $k$ で $\int_{\Omega\setminus\Omega_j}|f_k|<5\varepsilon$ であり、$\omega:=\Omega_j$ が (c) を満たす。$\square$

十分性（凸性は使わない）：$C:=\sup_F\int G(|f|)$ とする。$k>0$ に対し $t\ge T$ なら $G(t)\ge kt$ となる $T$ をとると、$\int_{\{|f|>T\}}|f|\le\frac1k\int G(|f|)\le C/k$ であり、$\|f\|_1\le T\mu(\Omega)+C/k$ である。よって (a) が成り立ち、lem-dp-basic の 2 から (b) が従う。(c) は $\omega=\Omega$ でよい。

必要性：lem-dp-basic の 2 により、$\sup_F\int_{\{|f|>T_k\}}|f|\le2^{-k}$ となる正の狭義増加列 $T_k\to\infty$（$k\ge1$）がとれる。$G(t):=\sum_{k\ge1}(t-T_k)^+$ とおくと、各 $t$ で $T_k< t$ となる $k$ は有限個なので $G$ は有限値で、単調非減少な凸関数の有限和として各有界区間の上で単調非減少かつ凸である。$t\ge2T_m$ なら $k\le m$ について $t-T_k\ge t/2$ なので $G(t)\ge mt/2$ であり、$G(t)/t\to\infty$ である。単調収束定理から $\int G(|f|)=\sum_k\int(|f|-T_k)^+\le\sum_k\int_{\{|f|>T_k\}}|f|\le\sum_k2^{-k}=1$ である。$\square$