Shapiroの補題

$u$ を $H$ 準同型とする。$F_u(m)(h\tau)=u(h\tau m)=h\,u(\tau m)$ なので $F_u(m)\in\operatorname{Coind}_H^GA$ であり、$F_u(\sigma m)(\tau)=u(\tau\sigma m)=F_u(m)(\tau\sigma)=(\sigma F_u(m))(\tau)$ なので $F_u$ は $G$ 準同型である。$\pi F_u(m)=u(m)$ である。逆に $G$ 準同型 $F$ について $u=\pi\circ F$ とおくと $F_u(m)(\tau)=F(\tau m)(1)=(\tau F(m))(1)=F(m)(\tau)$ である。$\pi\circ F$ は $F$ について、$M$ と $A$ の準同型との合成と可換なので、同型は自然である。$\square$

$G$ は互いに交わらない $H\rho$（$\rho\in R$）の和であり、各 $g$ は $g=h\rho$ とただ 1 通りに書ける。よって $\mathbb{Z}[G]=\bigoplus_{\rho\in R}\mathbb{Z}[H]\rho$ で、$\mathbb{Z}[H]\to\mathbb{Z}[H]\rho$、$y\mapsto y\rho$ は同型である。自由 $\mathbb{Z}[G]$ 加群は $\mathbb{Z}[G]$ の直和なので自由 $\mathbb{Z}[H]$ 加群であり、その直和因子である射影 $\mathbb{Z}[G]$ 加群は射影 $\mathbb{Z}[H]$ 加群である。分解の完全性は加群の構造によらない。$\square$

$X_\bullet=X_\bullet(G)$ を $G$ の標準分解（群コホモロジー の定理「標準分解」。$X_n=\mathbb{Z}[G^{n+1}]$）とし、同じ記事の写像 $\Phi\colon\operatorname{Hom}_G(X_n,M)\cong C^n(G,M)$、$\Phi(F)(\tau_1,\dots,\tau_n)=F(1,\tau_1,\tau_1\tau_2,\dots,\tau_1\cdots\tau_n)$ を使う。$\tilde A:=\operatorname{Coind}_H^GA$ とおく。
段 1。 lem-shapiro-frobenius を $M=X_n$ に当てると同型 $\operatorname{Hom}_G(X_n,\tilde A)\cong\operatorname{Hom}_H(X_n,A)$ が得られ、自然性によりこれは境界写像 $\partial_{n+1}$ との合成と可換である。$\Phi$ も余境界写像と両立するので、複体の同型
$$ C^\bullet(G,\tilde A)\cong\operatorname{Hom}_G(X_\bullet,\tilde A)\cong\operatorname{Hom}_H(X_\bullet,A) $$
を得る。よって $H^n(G,\tilde A)\cong H^n(\operatorname{Hom}_H(X_\bullet,A))$ である。
段 2。 lem-shapiro-free により $X_\bullet\to\mathbb{Z}$ は $\mathbb{Z}$ の $\mathbb{Z}[H]$ 加群としての射影分解である。群コホモロジー の系「射影分解による計算」を群 $H$ に当てると、$H^n(\operatorname{Hom}_H(X_\bullet,A))\cong H^n(H,A)$ である。この同型は、$H$ の標準分解 $X_\bullet(H)$ から $X_\bullet$ への、添加と両立する $H$ 加群の鎖写像から誘導される（そのような鎖写像はどれも互いに鎖ホモトピックなので、同じ写像を誘導する）。包含 $j\colon X_n(H)=\mathbb{Z}[H^{n+1}]\to\mathbb{Z}[G^{n+1}]=X_n$ はそのような鎖写像である。
段 3（コチェインの式）。 $f\in C^n(G,\tilde A)$ を $F=\Phi^{-1}(f)$ に移し、段 1 で $\pi\circ F$ に、段 2 で $\pi\circ F\circ j$ に移し、最後に $H$ の $\Phi$ で $H$ のコチェインにすると、
$$ (h_1,\dots,h_n)\mapsto(\pi\circ F)(1,h_1,h_1h_2,\dots,h_1\cdots h_n)=f(h_1,\dots,h_n)(1) $$
になる。各段は同型か、コホモロジーに同型を誘導するので、$\operatorname{sh}$ は同型である。$A$ の $H$ 準同型 $\alpha\colon A\to A'$ については、$\operatorname{Coind}(\alpha)(x)=\alpha\circ x$ とおけば式の両辺が $\alpha$ との合成で移り合うので、$\operatorname{sh}$ は自然である。$n=0$ ではコチェインの式は $x\mapsto x(1)=\pi(x)$ である。$\square$

$x_{\sigma,a}(h\tau)=h\,x_{\sigma,a}(\tau)$ は $h\tau\sigma\in H\iff\tau\sigma\in H$ から従う。$\tau\sigma h\in H\iff\tau\sigma\in H$ なので $x_{\sigma h,a}=x_{\sigma,ha}$ であり、$(\sigma,a)\mapsto x_{\sigma,a}$ は $a$ について加法的だから、$\Psi$ は $\mathbb{Z}[G]\otimes_{\mathbb{Z}[H]}A$ 上で well-defined である。$x_{g\sigma,a}(\tau)=x_{\sigma,a}(\tau g)=(g\,x_{\sigma,a})(\tau)$ なので $G$ 準同型である。
左剰余類 $G/H$ の代表系 $T$ をとると、誘導表現 の命題「剰余類による分解」と同じ議論で $\operatorname{Ind}_H^GA=\bigoplus_{t\in T}t\otimes A$ であり、$a\mapsto t\otimes a$ は同型である。$x_{t,a}$ は右剰余類 $Ht^{-1}$ の外で $0$ で、$t^{-1}$ での値は $a$ である。$t$ が $T$ を動くと $Ht^{-1}$ は右剰余類をちょうど 1 回ずつ動くので、$\Psi$ は $t\otimes A$ を「$Ht^{-1}$ の外で $0$ の関数」の全体へ同型に写し、これらの像の和は直和である。よって $\Psi$ は単射で、像は 1 のとおりである。剰余類が有限個なら、どの $x$ も有限個の右剰余類の外で $0$ なので $\Psi$ は全射である。2 の後半は thm-shapiro-main から従う。$\square$

1：$f\in C^n(G,A)$ について、thm-shapiro-main のコチェインの式から $\operatorname{sh}(\iota_*f)(h_1,\dots,h_n)=\iota(f(h_1,\dots,h_n))(1)=f(h_1,\dots,h_n)$ であり、これは $f$ の制限である。
2：1 により $\operatorname{cor}\circ\operatorname{res}=\nu_*\circ\operatorname{sh}^{-1}\circ\operatorname{sh}\circ\iota_*=(\nu\circ\iota)_*$ である。$\nu(\iota(a))=\sum_{t\in T}t\,t^{-1}a=[G:H]\,a$ なので、$\nu\circ\iota$ は $[G:H]$ 倍写像で、それが誘導する写像も $[G:H]$ 倍である。
3：$H=1$ とすると 2 により $\operatorname{cor}\circ\operatorname{res}=\lvert G\rvert$ 倍で、$\operatorname{res}$ は $H^n(1,A)=0$（$n\ge1$）を経由するので $0$ である。$\square$