差積と分岐

要点：原始元 $\theta$ の冪の基底では、判別式は Vandermonde の行列式の 2 乗 $\prod_{k< l}(\sigma_k(\theta)-\sigma_l(\theta))^2$ になり、分離性から $0$ でない。

要点：$x\in\mathfrak{D}^{-1}$ の係数は、$\mathcal{O}_K$ 係数の行列 $(\operatorname{Tr}(\omega_i\omega_j))$ の連立方程式の解なので、Cramer の公式により分母が $d$ で押さえられる。

$n=\deg g$ とし、$g(X)=(X-\alpha)(b_0+b_1X+\dots+b_{n-1}X^{n-1})$ と割り算する。$g=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\dots+a_0$（$a_i\in\mathcal{O}_K$。(b) では 不分岐拡大と完全分岐拡大 の記事の補題「整数環は整閉包」による。(a) では、係数が代数的整数 $\sigma_i(\alpha)$ の基本対称式の $\pm1$ 倍で $K$ に属し、$\mathcal{O}_K$ は整閉であることによる）とすると、係数を比べて
$$ b_{n-1}=1,\qquad b_j=\alpha^{n-1-j}+a_{n-1}\alpha^{n-2-j}+\dots+a_{j+1}\quad(0\le j\le n-1) $$
であり、$b_j\in\mathcal{O}_K[\alpha]$ は $\alpha^{n-1-j}$ に低次の冪の $\mathcal{O}_K$ 係数の和を足したものである。
Euler の公式。 $0\le i,j\le n-1$ について
$$ \operatorname{Tr}_{L/K}\Bigl(\frac{\alpha^ib_j}{g'(\alpha)}\Bigr)=\delta_{ij} $$
である。これは Lagrange 補間の式 $\sum_k\frac{g(X)}{X-\alpha_k}\cdot\frac{\alpha_k^i}{g'(\alpha_k)}=X^i$（$\alpha_k$ は $g$ の根）の係数を比べたものである。

要点：$\mathfrak{p}$ で局所化すると係数環は離散付値環、$\mathcal{O}_L$ の局所化は階数 $n$ の自由加群になり、$x$ 倍写像の行列を法 $\mathfrak{p}$ で還元すれば右辺の行列になる。

$e:=e(\mathfrak{P}|\mathfrak{p})$ とし、$\mathfrak{p}\mathcal{O}_L=\mathfrak{P}^e\mathfrak{A}$（$\mathfrak{P}\nmid\mathfrak{A}$）と書く。
段 1：トレースの条件に言い換える。 Dedekind 整域では「割ることは含まれること」（Dedekind整域 の記事の定理「Dedekind整域のイデアル論的特徴づけ」の 4）なので、$\mathfrak{P}\mid\mathfrak{D}$ は $\mathfrak{D}\subset\mathfrak{P}$ と同値で、逆をとると $\mathfrak{P}^{-1}\subset\mathfrak{D}^{-1}$、すなわち $\operatorname{Tr}(\mathfrak{P}^{-1})\subset\mathcal{O}_K$ と同値である。$\mathfrak{P}^{-1}=\mathfrak{p}^{-1}J$、$J:=\mathfrak{P}^{e-1}\mathfrak{A}\subset\mathcal{O}_L$ であり（両辺に $\mathfrak{p}\mathcal{O}_L=\mathfrak{P}^e\mathfrak{A}$ を掛けて比べる）、トレースは $\mathcal{O}_K$ 線形なので $\operatorname{Tr}(\mathfrak{p}^{-1}J)=\mathfrak{p}^{-1}\operatorname{Tr}(J)$ である。$\mathfrak{p}^{-1}I\subset\mathcal{O}_K$ は $I\subset\mathfrak{p}$ と同値（$\mathfrak{p}$ または $\mathfrak{p}^{-1}$ を掛ける）なので、
$$ \mathfrak{P}\mid\mathfrak{D}\iff\operatorname{Tr}_{L/K}(J)\subset\mathfrak{p}\iff\text{すべての }y\in J\text{ で }\operatorname{Tr}_{\bar B/\kappa}(\bar y)=0 $$
である（最後は lem-diff-trace-reduction）。
段 2：$J$ の像を見る。 $\mathfrak{P}^e$ と $\mathfrak{A}$ は互いに素なので、中国剰余定理 の記事の定理「可換環における中国剰余定理」により
$$ \bar B=\mathcal{O}_L/\mathfrak{p}\mathcal{O}_L\cong\mathcal{O}_L/\mathfrak{P}^e\times\mathcal{O}_L/\mathfrak{A} $$
である。$J\subset\mathfrak{A}$ なので $J$ の像は第 2 成分が $0$ で、第 1 成分の像は $(\mathfrak{P}^{e-1}\mathfrak{A}+\mathfrak{P}^e)/\mathfrak{P}^e=\mathfrak{P}^{e-1}(\mathfrak{A}+\mathfrak{P})/\mathfrak{P}^e=\mathfrak{P}^{e-1}/\mathfrak{P}^e$ である。直積環の元 $(u,0)$ の倍写像の跡は第 1 成分での跡 $\operatorname{Tr}_{(\mathcal{O}_L/\mathfrak{P}^e)/\kappa}(u)$ に等しい。
段 3：$e\ge2$ の場合。 $u\in\mathfrak{P}^{e-1}/\mathfrak{P}^e$ なら $u^2\in\mathfrak{P}^{2e-2}/\mathfrak{P}^e=0$（$2e-2\ge e$）なので、$u$ 倍写像は冪零であり、冪零な線形写像の跡は $0$ である。よってすべての $y\in J$ で跡が $0$ となり、$\mathfrak{P}\mid\mathfrak{D}$ である。
段 4：$e=1$ の場合。 第 1 成分は有限体 $\ell:=\mathcal{O}_L/\mathfrak{P}$ で、$J$ の像は $\ell$ 全体である。$\kappa$ の元の個数を $Q$、$[\ell:\kappa]=f$ とすると、$\ell/\kappa$ は Galois 拡大で Galois 群は $x\mapsto x^Q$ で生成される（不分岐拡大と完全分岐拡大 の記事の定理「不分岐拡大の存在と一意性」の証明の 3 と同じ理由）ので、MilFT Remark 5.47 により $\operatorname{Tr}_{\ell/\kappa}(x)=x+x^Q+\dots+x^{Q^{f-1}}$ である。これは次数 $Q^{f-1}$ の多項式で、$Q^f$ 個の元をもつ $\ell$ の上で恒等的に $0$ にはならない。よって跡が $0$ でない $y\in J$ があり、$\mathfrak{P}\nmid\mathfrak{D}$ である。
後半は、$\mathfrak{D}\ne0$ の素イデアル分解に現れる素イデアルが有限個であることから従う。$\square$

要点：素イデアル $\mathfrak{P}$ について $J/\mathfrak{P}J$ が体 $\mathcal{O}_L/\mathfrak{P}$ 上 1 次元であることを、$J^{-1}$ を掛けて $\mathfrak{P}$ の極大性に帰着させて示し、あとは素因子の個数についての帰納法による。

整数底 $\omega_i$ の双対基底 $\omega_i^*$（lem-diff-nondegenerate）をとる。$\mathcal{O}_L=\bigoplus\mathbb{Z}\omega_j$ なので、$x=\sum c_i\omega_i^*$ が $\mathfrak{D}^{-1}$ に属するのは $c_j=\operatorname{Tr}(x\omega_j)\in\mathbb{Z}$ がすべての $j$ で成り立つときで、$\mathfrak{D}^{-1}=\bigoplus_i\mathbb{Z}\omega_i^*$ である。$T:=(\operatorname{Tr}(\omega_i\omega_j))$ とおくと $\omega_i=\sum_jT_{ij}\omega_j^*$（両辺と $\omega_k$ の積のトレースを比べる）なので、$\mathcal{O}_L$ は格子 $\mathfrak{D}^{-1}$ の中で整数行列 $T$ で与えられる部分格子であり、その指数は $|\det T|=|d_L|$ である（Ste12 Definition 6.3.1 と直後の性質）。一方 lem-diff-index を $J=\mathfrak{D}^{-1}$、$I=\mathfrak{D}$ に使うと、$IJ=\mathcal{O}_L$ なので $|\mathfrak{D}^{-1}/\mathcal{O}_L|=N(\mathfrak{D})$ である。$\square$

$\mathfrak{D}_L=\prod\mathfrak{P}^{a_\mathfrak{P}}$ とすると、thm-diff-discriminant と lem-diff-index により $|d_L|=\prod N(\mathfrak{P})^{a_\mathfrak{P}}$ である。$\mathfrak{P}\cap\mathbb{Z}=q\mathbb{Z}$ なら $N(\mathfrak{P})$ は $q$ の冪（$\mathcal{O}_L/\mathfrak{P}$ は $\mathbb{F}_q$ 上の有限次拡大）なので、$p\mid d_L$ は「$p$ の上のある $\mathfrak{P}$ が $\mathfrak{D}_L$ を割る」と同値であり、thm-diff-dedekind-criterion によりこれは「$p$ の上のある $\mathfrak{P}$ が分岐する」と同値である。$d_L\ne0$ なので後半が従う。$\square$

要点：$\operatorname{Tr}_{M/K}=\operatorname{Tr}_{L/K}\circ\operatorname{Tr}_{M/L}$ を使い、「$J\subset\mathfrak{D}^{-1}\iff\mathfrak{D}J\subset\mathcal{O}$」を $L/K$ と $M/L$ で 1 回ずつ使うと、$\mathfrak{D}_{M/K}^{-1}=\mathfrak{D}_{M/L}^{-1}(\mathfrak{D}_{L/K}\mathcal{O}_M)^{-1}$ が得られる。

$T$ を $L/K$ の最大不分岐部分拡大とする（不分岐拡大と完全分岐拡大 の記事の定理「最大不分岐部分拡大」）。$T/K$ は次数 $f$ の不分岐拡大、$L/T$ は次数 $e$ の完全分岐拡大である。
$\mathfrak{D}_{T/K}=\mathcal{O}_T$。 $T$ は $1$ の冪根 $\zeta$ で $\mathcal{O}_T=\mathcal{O}_K[\zeta]$ と単項生成され、$\zeta$ の最小多項式 $g$ について $g'(\zeta)$ は単元なので、thm-diff-monogenic により $\mathfrak{D}_{T/K}=(g'(\zeta))=\mathcal{O}_T$ である。

• $p\nmid e$ なら、$e\cdot1$ の剰余体での像は $0$ でないので $v_T(e)=0$ で、$i=e$ の項の付値 $e-1$ がただ 1 つの最小値である。よって $v_L(\mathfrak{D}_{L/T})=e-1$ である。
• $p\mid e$ なら $e\cdot1\in\mathfrak{m}_T$（$e\cdot1=0$ の場合はその項がない）なので、どの項の付値も $e$ 以上で、$v_L(\mathfrak{D}_{L/T})\ge e$ である。

結論。 thm-diff-tower により $\mathfrak{D}_{L/K}=\mathfrak{D}_{L/T}\,\mathfrak{D}_{T/K}\mathcal{O}_L=\mathfrak{D}_{L/T}$ なので、主張が従う。最後の主張は、$e=1$ なら $v_L(\mathfrak{D})=0$、$e\ge2$ なら $v_L(\mathfrak{D})\ge e-1\ge1$ であることによる。$\square$