Chebyshevの不等式（高校数学）

同義語：チェビシェフの不等式（高校数学）Chebyshev's inequality (high school mathematics)

概要

前提知識: 平均値と二乗誤差, 確率変数の期待値と分散

高校での出発点：平均から遠いデータは何個あるか

テストの結果が「平均 65 点、標準偏差 13 点」と発表された。点数の分布の形は分からない。それでも、平均から遠く離れた点数をとった人が多すぎることはない、と言えるだろうか。たとえば、平均から標準偏差の 2 倍（26 点）以上離れた人は、全体の何割まででありうるか。
この記事では、データの分散を偏差の 2 乗の平均で定める。データ $x_1,\dots,x_n$ の平均を $\bar x$ とすると、分散は $s^2=\dfrac1n\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2$、標準偏差は $s=\sqrt{s^2}$ である。

20 人の得点

20 人の得点が次のとおりだったとする。
$$ 30,\ 46,\ 52,\ 55,\ 58,\ 60,\ 62,\ 63,\ 64,\ 65,\ 66,\ 67,\ 68,\ 70,\ 72,\ 74,\ 76,\ 80,\ 84,\ 88 $$
(1) 合計は $1300$ なので、平均は $\bar x=\dfrac{1300}{20}=65$ である。
(2) 偏差は順に $-35,-19,-13,-10,-7,-5,-3,-2,-1,0,1,2,3,5,7,9,11,15,19,23$ で、その 2 乗の和は
$$ 1225+361+169+100+49+25+9+4+1+0+1+4+9+25+49+81+121+225+361+529=3348 $$
である。分散は $s^2=\dfrac{3348}{20}=167.4$、標準偏差は $s=\sqrt{167.4}=12.93\ldots$ である。
(3) 平均から $2s=25.87\ldots$ 以上離れているのは、偏差の絶対値が $25.87\ldots$ 以上のデータで、$30$（偏差 $-35$）の 1 個だけである。20 個のうちの 1 個で、割合は $\dfrac1{20}=5\%$ である。

この例では $2s$ 以上離れたデータは 1 個だった。では、データをどう選んでも、$2s$ 以上離れたデータが多くなることはないのだろうか。極端なデータで試してみる。

離れたデータをできるだけ多くする

8 個のデータ $-1,\ 1,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0$ を考える。平均は $\dfrac{-1+1}8=0$、偏差の 2 乗の和は $1+1=2$ なので、分散は $s^2=\dfrac28=\dfrac14$、標準偏差は $s=\dfrac12$ である。
平均 $0$ から $2s=1$ 以上離れているのは $-1$ と $1$ の 2 個で、割合は $\dfrac28=\dfrac14=25\%$ である。ex-chb-scores の $5\%$ よりずっと大きい。

この記事の主定理によれば、どんなデータでも、平均から $2s$ 以上離れたデータの割合は $\dfrac1{2^2}=\dfrac14$ 以下である。ex-chb-sharp-first はその上限にちょうど達する例になっている。この記事では次の問いに答える。

平均から標準偏差の $k$ 倍以上離れたデータの個数は、どこまで多くなりうるか。→ thm-chb-data
その上限に達するのは、どんなデータか。→ prop-chb-equality
確率変数でも同じことが言えるか。→ thm-chb-rv

正規分布の「$2\sigma$ の外は約 $5\%$」とは、どう違うか。→ ex-chb-normal

高校の計算	この記事の言葉	大学の言葉
分散＝偏差の 2 乗の平均	偏差の 2 乗の和を「遠い」と「近い」に分ける	和の一部分を捨てる評価
平均から標準偏差の何倍離れているか	離れ具合 $k$	標準化した値
正規分布の $2\sigma$・$3\sigma$ の確率	どんな分布でも使える上界 $\frac1{k^2}$	Chebyshev の不等式

なお、「Chebyshev の不等式」という名前は、大小の順にそろえた 2 つの数列の積の和についての不等式（不等式の証明の技法の定理「Chebyshev の和の不等式」）にも使われる。それはこの記事の不等式とは別のものである。

言葉の準備：平均から遠いデータ

平均から $ks$ 以上離れたデータ

データ $x_1,\dots,x_n$ の平均を $\bar x$、標準偏差を $s$ とし、$s>0$ とする。正の実数 $k$ について、
$$ \lvert x_i-\bar x\rvert\ge ks $$
を満たすデータ $x_i$ を、平均から $ks$ 以上離れたデータ という。その個数を $N_k$ と書く。

$\lvert x_i-\bar x\rvert\ge ks$ は、$x_i$ が区間 $\bar x-ks< x< \bar x+ks$ の外（端を含む）にあるということである。$s>0$ を仮定するのは、$s=0$（すべてのデータが等しい）のときには「標準偏差の何倍」という測り方が意味を失うからである（ex-chb-cx-zero）。

$N_k$ を数える

ex-chb-scores のデータ（$\bar x=65$、$s=12.93\ldots$）で、$N_k$ を数える。

$k$	$ks$	平均から $ks$ 以上離れたデータ	$N_k$
$1$	$12.93\ldots$	$30,\ 46,\ 52,\ 80,\ 84,\ 88$	$6$
$1.5$	$19.40\ldots$	$30,\ 88$	$2$
$2$	$25.87\ldots$	$30$	$1$
$3$	$38.81\ldots$	なし	$0$

たとえば $k=1.5$ では、区間 $45.59\ldots< x< 84.40\ldots$ の外にあるのは $30$ と $88$ である（$46$ は区間の中にある）。

20 人の得点を数直線に並べた図。上から k = 1.5、2、3 で、色を塗った区間は平均 65 から ks 未満の範囲。区間の外（端を含む）にある赤い点が平均から ks 以上離れたデータ

主定理 1：データについての Chebyshev の不等式

Chebyshev の不等式（データ）

データ $x_1,\dots,x_n$ の平均を $\bar x$、標準偏差を $s$ とし、$s>0$ とする。すべての正の実数 $k$ について、平均から $ks$ 以上離れたデータの個数 $N_k$ は
$$ N_k\le\frac{n}{k^2} $$
を満たす。言いかえると、平均から $ks$ 以上離れたデータの割合 $\dfrac{N_k}n$ は $\dfrac1{k^2}$ 以下である。

方針：分散の定義の式 $ns^2=\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2$ の右辺の和を、「平均から $ks$ 以上離れたデータ」についての和と「それ以外のデータ」についての和に分ける。後者は $0$ 以上なので捨て、前者の各項は $k^2s^2$ 以上で押さえる。
段 1（和を 2 つに分ける）。平均から $ks$ 以上離れたデータの番号 $i$ の集まりを $A$、それ以外の番号の集まりを $B$ とする。$A$ の番号は $N_k$ 個ある。番号 $1,\dots,n$ は $A$ と $B$ のどちらか一方だけに入るので
$$ ns^2=\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2=\sum_{i\in A}(x_i-\bar x)^2+\sum_{i\in B}(x_i-\bar x)^2 $$
である。
段 2（近いデータの和を捨てる）。$B$ についての和は、2 乗の和なので $0$ 以上である。したがって
$$ ns^2\ge\sum_{i\in A}(x_i-\bar x)^2 $$
である。
段 3（遠いデータの各項を下から押さえる）。$i\in A$ なら $\lvert x_i-\bar x\rvert\ge ks$ で、両辺は $0$ 以上なので、2 乗しても大小は変わらず $(x_i-\bar x)^2\ge k^2s^2$ である。この不等式を $A$ の $N_k$ 個の番号について足すと
$$ \sum_{i\in A}(x_i-\bar x)^2\ge N_k\cdot k^2s^2 $$
である。
段 4（まとめる）。段 2 と段 3 から $ns^2\ge N_kk^2s^2$ である。$s>0$、$k>0$ なので $k^2s^2>0$ で、両辺を $k^2s^2$ で割ると $N_k\le\dfrac{n}{k^2}$ を得る。$\square$

証明の要は、段 1 で和を「遠いデータ」と「近いデータ」に分けたことである。データを合わせたときの平均と分散では、偏差の 2 乗の和を群ごとに分けて、群内の分散と群間の分散の和に書いた。ここでも同じく和を分けるが、等式にするのではなく、一方を捨て、他方を小さい値に置き換えて不等式にしている。

定理を 20 人の得点で確かめる

ex-chb-count の表と、定理の上界 $\dfrac{20}{k^2}$ を比べる。

$k$	$N_k$	上界 $\frac{20}{k^2}$	割合 $\frac{N_k}{20}$	上界の割合 $\frac1{k^2}$
$1$	$6$	$20$	$0.30$	$1$
$1.5$	$2$	$8.88\ldots$	$0.10$	$0.444\ldots$
$2$	$1$	$5$	$0.05$	$0.25$
$3$	$0$	$2.22\ldots$	$0$	$0.111\ldots$

どの $k$ でも $N_k\le\dfrac{20}{k^2}$ が成り立っている。このデータでは、実際の個数は上界よりかなり少ない。

定理は「遠いデータの割合」の上界である。裏返すと「近いデータの割合」の下界になる。

平均の近くにあるデータの割合

thm-chb-data と同じ仮定のもとで、$\lvert x_i-\bar x\rvert< ks$ を満たすデータの個数は $n-\dfrac{n}{k^2}=n\Bigl(1-\dfrac1{k^2}\Bigr)$ 以上である。

$\lvert x_i-\bar x\rvert< ks$ を満たすデータの個数は、全体の個数 $n$ から、平均から $ks$ 以上離れたデータの個数 $N_k$ を引いた $n-N_k$ である。thm-chb-data より $N_k\le\dfrac n{k^2}$ なので、$n-N_k\ge n-\dfrac n{k^2}$ である。$\square$

冒頭の問いに答える

冒頭の「平均 65 点、標準偏差 13 点」のテストで、平均から 26 点以上離れた人の割合は、$k=2$ として $\dfrac1{2^2}=\dfrac14$ 以下である。受験者が 200 人なら、そのような人は $\dfrac{200}4=50$ 人以下で、$39$ 点より大きく $91$ 点より小さい人は $150$ 人以上いる。分布の形について何も仮定せずに、平均と標準偏差だけから言えることである。

上界に達するデータ

ex-chb-sharp-first では $N_2=2=\dfrac8{2^2}$ で、定理の不等式が等号になっていた。等号になるのがどんなデータかは、証明のどこで不等号を使ったかを見ると分かる。

等号が成り立つ条件

thm-chb-data と同じ仮定のもとで、$N_k=\dfrac n{k^2}$ が成り立つのは、どのデータ $x_i$ も「平均 $\bar x$ に等しい」か「平均からちょうど $ks$ 離れている（$\lvert x_i-\bar x\rvert=ks$）」かのどちらかであるときに限る。

段 1（等号なら条件が成り立つ）。thm-chb-data の証明で不等号を使ったのは段 2 と段 3 の 2 か所である。$N_k=\dfrac n{k^2}$ なら $ns^2=N_kk^2s^2$ なので、段 2 と段 3 の不等式はどちらも等号である。段 2 が等号なので $\sum_{i\in B}(x_i-\bar x)^2=0$ で、$0$ 以上の数の和が $0$ だから、$B$ の各データは $x_i=\bar x$ を満たす。段 3 が等号なので、$A$ の各番号で $(x_i-\bar x)^2\ge k^2s^2$ の等号が成り立つ（1 つでも真に大きければ、和も真に大きくなる）。よって $\lvert x_i-\bar x\rvert=ks$ である。
段 2（条件が成り立てば等号）。どのデータも $\bar x$ に等しいか、$\bar x$ からちょうど $ks$ 離れているとする。$ks>0$ なので、平均から $ks$ 以上離れたデータは、ちょうど $ks$ 離れたデータのことで、その個数が $N_k$ である。分散の定義から
$$ ns^2=\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2=N_k\cdot k^2s^2+(n-N_k)\cdot0=N_kk^2s^2 $$
である。両辺を $k^2s^2\ (>0)$ で割って $N_k=\dfrac n{k^2}$ を得る。$\square$

等号の例

ex-chb-sharp-first のデータ $-1,1,0,0,0,0,0,0$ は、$k=2$、$ks=1$ で条件を満たす（$0$ は平均に等しく、$\pm1$ は平均からちょうど $1$ 離れている）。$N_2=2=\dfrac84$ である。
10 個のデータ $-2,\ 2,\ 0,0,0,0,0,0,0,0$ では、平均は $0$、分散は $\dfrac{4+4}{10}=\dfrac45$、標準偏差は $s=\dfrac2{\sqrt5}$ である。$ks=2$ となるのは $k=\sqrt5$ のときで、このとき $N_{\sqrt5}=2=\dfrac{10}{(\sqrt5)^2}$ と等号になる。同じデータでも $k=2$ では $ks=\dfrac4{\sqrt5}=1.78\ldots$ で、$N_2=2<\dfrac{10}4=2.5$ と等号にならない（$\pm2$ が平均からちょうど $ks$ の位置にないため）。

ex-chb-equality (1) と同じ作り方で、ほかの $n$ と $k$ でも等号の例が作れる。$k\ge1$ で $\dfrac n{k^2}$ が偶数 $2c$ のとき、$-1$ を $c$ 個、$1$ を $c$ 個、$0$ を $n-2c$ 個並べる（$2c=\dfrac n{k^2}\le n$ なので並べられる）。平均は $0$、分散は $\dfrac{2c}n=\dfrac1{k^2}$、標準偏差は $s=\dfrac1k$ で、$ks=1$ である。どのデータも平均に等しいか、平均からちょうど $ks=1$ 離れているので、prop-chb-equality により $N_k=\dfrac n{k^2}$ となる。この意味で、定理の上界 $\dfrac n{k^2}$ は、一般にはこれ以上小さくできない。

$k\le1$ のとき

$0< k\le1$ では $\dfrac n{k^2}\ge n$ なので、定理は「$N_k\le n$」以上のことを言わない。これは定理の仮定が破れているのではなく、結論が何も情報を含まないだけである。実際、$k=1$ では $N_1\ge1$ がいつも成り立つ。もしすべてのデータで $(x_i-\bar x)^2< s^2$ なら、足して $n$ で割ると $s^2< s^2$ となって矛盾するからである。

「以上」を「より大きい」に替えると

$\lvert x_i-\bar x\rvert> ks$ を満たすデータの個数は $N_k$ 以下なので、やはり $\dfrac n{k^2}$ 以下である。ただし ex-chb-equality (1) では、$\lvert x_i\rvert>1$ を満たすデータは $0$ 個になり、上界 $2$ に達しない。「より大きい」で数えた個数を $M$ とすると、いつも $M< \dfrac n{k^2}$ で、上界に達する例は作れない。実際、$M=0$ なら $0< \dfrac n{k^2}$ である。$M\ge1$ なら、thm-chb-data の証明の段 3 で、$M$ 個の各項が $k^2s^2$ より真に大きいので $ns^2> Mk^2s^2$ となり、$k^2s^2$ で割って $M< \dfrac n{k^2}$ である。

主定理 2：確率変数についての Chebyshev の不等式

数学 B では、値に確率が割り当てられた確率変数の平均（期待値）と分散を学ぶ。確率変数 $X$ のとる値が $v_1,\dots,v_m$ で、$P(X=v_j)=p_j$（$p_j\ge0$、$p_1+\cdots+p_m=1$）のとき、平均は $\mu=\sum_jv_jp_j$、分散は $\sigma^2=\sum_j(v_j-\mu)^2p_j$、標準偏差は $\sigma=\sqrt{\sigma^2}$ である（確率変数の期待値と分散）。データのときの「$\dfrac1n$ ずつ」が「$p_j$ ずつ」に変わるだけで、同じ不等式が成り立つ。

Chebyshev の不等式（確率変数）

とる値が有限個の確率変数 $X$ の平均を $\mu$、標準偏差を $\sigma$ とし、$\sigma>0$ とする。すべての正の実数 $k$ について
$$ P\bigl(\lvert X-\mu\rvert\ge k\sigma\bigr)\le\frac1{k^2} $$
が成り立つ。

方針：thm-chb-data の証明で、和の各項に確率 $p_j$ を掛けた形にする。
段 1（和を 2 つに分ける）。$X$ のとる値を $v_1,\dots,v_m$、$p_j=P(X=v_j)$ とする。$\lvert v_j-\mu\rvert\ge k\sigma$ を満たす番号 $j$ の集まりを $A$、それ以外を $B$ とする。分散の定義から
$$ \sigma^2=\sum_{j=1}^m(v_j-\mu)^2p_j=\sum_{j\in A}(v_j-\mu)^2p_j+\sum_{j\in B}(v_j-\mu)^2p_j $$
である。
段 2（$B$ の和を捨てる）。$(v_j-\mu)^2\ge0$、$p_j\ge0$ なので $B$ の和は $0$ 以上で、$\sigma^2\ge\sum_{j\in A}(v_j-\mu)^2p_j$ である。
段 3（$A$ の各項を下から押さえる）。$j\in A$ なら $(v_j-\mu)^2\ge k^2\sigma^2$ で、$p_j\ge0$ を掛けて $(v_j-\mu)^2p_j\ge k^2\sigma^2p_j$ である。$A$ について足すと
$$ \sum_{j\in A}(v_j-\mu)^2p_j\ge k^2\sigma^2\sum_{j\in A}p_j=k^2\sigma^2\,P\bigl(\lvert X-\mu\rvert\ge k\sigma\bigr) $$
である。最後の等号は、事象 $\lvert X-\mu\rvert\ge k\sigma$ が「$X$ の値が $A$ の番号の値のどれかになる」ことで、それらは互いに排反だからである。
段 4（まとめる）。段 2・段 3 から $\sigma^2\ge k^2\sigma^2P\bigl(\lvert X-\mu\rvert\ge k\sigma\bigr)$ で、$k^2\sigma^2>0$ で割ると主張を得る。$\square$

データ $x_1,\dots,x_n$ から 1 つを等しい確率 $\dfrac1n$ で選んだ値を $X$ とすると、$\mu=\bar x$、$\sigma=s$ で、$P\bigl(\lvert X-\mu\rvert\ge k\sigma\bigr)=\dfrac{N_k}n$ である（同じ値が何個かあれば、その値の確率は個数 $\times\dfrac1n$ になる）。この場合、thm-chb-rv は thm-chb-data そのものである。

さいころの目

公正なさいころの目 $X$ は $1,\dots,6$ を確率 $\dfrac16$ ずつとる。平均は $\mu=\dfrac72$、分散は
$$ \sigma^2=\frac{\bigl(\frac52\bigr)^2+\bigl(\frac32\bigr)^2+\bigl(\frac12\bigr)^2+\bigl(\frac12\bigr)^2+\bigl(\frac32\bigr)^2+\bigl(\frac52\bigr)^2}{6}=\frac{\frac{25+9+1+1+9+25}4}{6}=\frac{70}{24}=\frac{35}{12} $$
で、$\sigma=1.707\ldots$ である。$k=1.4$ とすると $k\sigma=2.39\ldots$ で、$\lvert X-3.5\rvert\ge2.39\ldots$ となるのは $X=1$ と $X=6$（ずれ $2.5$）だけなので、$P\bigl(\lvert X-\mu\rvert\ge1.4\sigma\bigr)=\dfrac26=\dfrac13$ である。定理の上界は $\dfrac1{1.4^2}=0.510\ldots$ で、確かに $\dfrac13\le0.510\ldots$ である。

硬貨を 100 回投げる

公正な硬貨を 100 回投げて表の出る回数を $X$ とする。$X$ は二項分布 $B\bigl(100,\frac12\bigr)$ に従い、平均は $100\cdot\dfrac12=50$、分散は $100\cdot\dfrac12\cdot\dfrac12=25$、標準偏差は $5$ である（確率変数の期待値と分散）。

$k=2$：$\lvert X-50\rvert\ge10$ の確率は、定理より $\dfrac14$ 以下である。二項分布の確率を足して正確に計算すると $0.0568\ldots$ である。
$k=3$：$\lvert X-50\rvert\ge15$ の確率は、定理より $\dfrac19=0.111\ldots$ 以下である。正確な値は $0.00351\ldots$ である。
正確な値は計算機で $\sum\binom{100}{j}\big/2^{100}$ を足して求めた。定理の上界は正しいが、正確な値よりずっと大きい。

Chebyshev の不等式は、大数の法則とさいころの平均で大数の法則を証明する道具として使われている。その記事では、系「Chebyshev の不等式」を、定理「Markov の不等式」から $P\bigl(\lvert X-\mu\rvert\ge\varepsilon\bigr)\le\dfrac{\sigma^2}{\varepsilon^2}$ の形で導いている。$\varepsilon=k\sigma$ とおけば thm-chb-rv の形になる。GS06 も、この不等式を Theorem 8.1 として $\varepsilon$ の形で述べ、$\varepsilon=k\sigma$ とおいた形を Example 8.1 に置いたうえで、大数の法則（Theorem 8.2）の証明に使っている。

正規分布との比べ方

正規分布（高校数学）では、正規分布に従う確率変数が平均から $2\sigma$ 以上離れる確率は約 $0.0455$、$3\sigma$ 以上離れる確率は約 $0.0027$ であることを学ぶ（その記事の系「68–95–99.7 の規則」の $0.9545$、$0.9973$ を $1$ から引いた値）。Chebyshev の不等式の上界と並べてみる。

上界と正規分布の確率を比べる

$k$	Chebyshev の上界 $\frac1{k^2}$	正規分布で $k\sigma$ 以上離れる確率	ex-chb-scores の割合
$1.5$	$0.444\ldots$	$0.1336\ldots$	$0.10$
$2$	$0.25$	$0.0455\ldots$	$0.05$
$2.5$	$0.16$	$0.0124\ldots$	$0.05$
$3$	$0.111\ldots$	$0.0027\ldots$	$0$

正規分布の確率は、標準正規分布の分布関数を数値計算して求めた。どの $k$ でも、正規分布の確率は Chebyshev の上界よりずっと小さい。Chebyshev の上界は分布の形を問わずに成り立つ代わりに、個々の分布に対しては粗い（図 2）。逆に、分布が正規分布だと分かっていないのに「$2\sigma$ 以上離れるのは約 $5\%$」と言うことはできない（ex-chb-cx-normal）。

k を横軸にとり、Chebyshev の上界 1/k²（赤）、20 人の得点で平均から ks 以上離れたデータの割合（青の階段）、正規分布で kσ 以上離れる確率（緑の破線）を描いた図。赤の曲線はほかの 2 つより上にある

例と反例

thm-chb-data の仮定や、ばらつきの測り方を変えると何が崩れるかを表にする。

外す条件	反例	成り立たなくなること
標準偏差が正（$s>0$）	ex-chb-cx-zero（5 個のデータがすべて $7$）	$N_k\le\frac n{k^2}$（$k>1$ のとき）
ばらつきを標準偏差で測る（平均偏差に替える）	ex-chb-cx-mad	平均偏差の $k$ 倍以上離れたデータの割合は $\frac1{k^2}$ 以下
分布が正規分布である（Chebyshev の不等式には不要な条件で、正規分布の確率の方が崩れる）	ex-chb-cx-normal	$2\sigma$ 以上離れるデータの割合は約 $4.55\%$

反例：標準偏差が 0 のデータ

5 個のデータ $7,7,7,7,7$ は、平均 $7$、分散 $0$、標準偏差 $s=0$ である。このとき $ks=0$ で、$\lvert x_i-7\rvert\ge0$ はすべてのデータが満たすので、「平均から $ks$ 以上離れたデータ」の個数は $5$ になる。$k=2$ なら上界 $\dfrac5{4}=1.25$ を超えている。$s=0$ では thm-chb-data の証明の段 4 で $k^2s^2=0$ で割ることができず、結論が成り立たない。

反例：平均偏差で測る

偏差の絶対値の平均 $d=\dfrac1n\sum_{i=1}^n\lvert x_i-\bar x\rvert$ を 平均偏差 という。ばらつきを標準偏差の代わりに平均偏差で測り、「平均から $kd$ 以上離れたデータは $\dfrac n{k^2}$ 個以下」と主張すると、誤りになる。
8 個のデータ $-1,-1,1,1,0,0,0,0$ は、平均 $0$、平均偏差 $d=\dfrac48=\dfrac12$ である。$k=2$ とすると $kd=1$ で、平均から $1$ 以上離れたデータは $\pm1$ の 4 個ある。上界のつもりの $\dfrac8{2^2}=2$ を超えている。同じデータの標準偏差は $s=\sqrt{\frac48}=0.707\ldots$ で、$2s=1.41\ldots$ 以上離れたデータは $0$ 個だから、thm-chb-data とは矛盾しない。
平均偏差で測るときに正しく言えるのは、$\dfrac nk$ 個以下ということである。平均から $kd$ 以上離れたデータの個数を $L$ とすると、thm-chb-data の証明と同じく和を分けて
$$ nd=\sum_{i=1}^n\lvert x_i-\bar x\rvert\ge L\cdot kd $$
となり、$d>0$ なら $L\le\dfrac nk$ である。上の例では $L=4=\dfrac82$ でちょうど等号になっている。2 乗の和を使う標準偏差だから、上界が $\dfrac1{k^2}$ と速く小さくなる。

反例：正規分布の割合をどんなデータにも使う

「平均から $2\sigma$ 以上離れるのは約 $4.55\%$」は、分布が正規分布のときの値である。ex-chb-sharp-first のデータでは、平均から $2s$ 以上離れたデータの割合は $25\%$ で、$4.55\%$ よりずっと大きい。18 個のデータ $-1,1,0,\ldots,0$（$0$ が 16 個）では、分散は $\dfrac2{18}=\dfrac19$、標準偏差は $s=\dfrac13$ で、平均から $3s=1$ 以上離れたデータの割合は $\dfrac2{18}=11.1\ldots\%$ である。正規分布の $0.27\%$ の 40 倍以上になる。分布の形が分からないときに保証されるのは、Chebyshev の不等式の $\dfrac1{k^2}$ だけである。

大学数学で見る：Markov の不等式から導く

thm-chb-data の証明は、次の形の不等式を 1 つ使っているとみることもできる。$0$ 以上の数のデータ $y_1,\dots,y_n$ の平均を $\bar y$ とし、$a>0$ とすると、$y_i\ge a$ を満たすデータは $\dfrac{n\bar y}{a}$ 個以下である。$n\bar y=\sum y_i$ の和で、$a$ 未満の項を捨て、残りの各項を $a$ で押さえればよい。これをデータ $y_i=(x_i-\bar x)^2$（平均は $s^2$）と $a=k^2s^2$ に当てはめると thm-chb-data になる。

確率変数の場合と、教科書・事典での扱いを開く

確率変数で同じ形の不等式 $P(X\ge a)\le\dfrac{E[X]}a$（$X\ge0$）を Markov の不等式という。大数の法則とさいころの平均は、定理「Markov の不等式」を証明し、そこから系「Chebyshev の不等式」を導いている。Wei26 も、Markov の不等式を $(x-\mu)^2$ に当てはめる形で Chebyshev の不等式を導き、$P(\lvert x-\mu\rvert\ge k\sigma)\le\dfrac1{k^2}$ の形を述べている。

この記事では、とる値が有限個の確率変数に限って証明した。確率密度関数をもつ確率変数（連続型）でも、分散が有限なら同じ不等式が成り立つ。和を積分に替えて同じ分け方をすればよい（この記事では証明しない。大学向けの分散の記事を参照）。

GS06 は、Theorem 8.1 の不等式が一般にはこれ以上よくできないことを、値 $\pm\varepsilon$ を確率 $\frac12$ ずつとる確率変数で示している。prop-chb-equality と同じ考え方である。

演習

何人までありうるか

50 人のテストで、平均が 60 点、標準偏差が 10 点だった。85 点以上または 35 点以下の人は、多くても何人か。分布の形は分からないものとする。

解答を開く

85 点以上または 35 点以下は、平均 60 点から 25 点以上離れていることで、$25=2.5\times10$ だから $k=2.5$ である。thm-chb-data より、そのような人は $\dfrac{50}{2.5^2}=\dfrac{50}{6.25}=8$ 人以下である。等号の例も作れる。8 人が 85 点と 35 点に 4 人ずつ、残り 42 人が 60 点なら、平均 60 点、分散 $\dfrac{8\cdot625}{50}=100$ で標準偏差 10 点になり、ちょうど 8 人である。

さいころを何回投げればよいか

さいころを $n$ 回投げた目の平均を $\bar X$ とする。$\bar X$ の平均は $\dfrac72$、分散は $\dfrac{35}{12n}$ である（標本平均の分散）。$P\bigl(\lvert\bar X-3.5\rvert\ge0.5\bigr)\le0.1$ が thm-chb-rv から保証されるには、$n$ をいくつ以上にすればよいか。

解答を開く

$\bar X$ の標準偏差を $\sigma_n=\sqrt{\dfrac{35}{12n}}$ とし、$k\sigma_n=0.5$ となる $k=\dfrac{0.5}{\sigma_n}$ をとる。thm-chb-rv より $P\bigl(\lvert\bar X-3.5\rvert\ge0.5\bigr)\le\dfrac1{k^2}=\dfrac{\sigma_n^2}{0.25}=\dfrac{35}{12n}\cdot4=\dfrac{35}{3n}$ である（$\bar X$ のとる値は有限個）。$\dfrac{35}{3n}\le0.1$ を解くと $n\ge\dfrac{350}3=116.6\ldots$ なので、$n\ge117$ ならよい。

さらに先へ

標本平均の分散が $\dfrac{\sigma^2}n$ に縮むことと Chebyshev の不等式を組み合わせると、標本平均が母平均の近くにある確率が $1$ に近づくこと（大数の法則）が分かる。証明は大数の法則とさいころの平均にある。
平均から遠い値を見つける別の基準として、四分位範囲を使う外れ値の基準がある（四分位数と箱ひげ図の定義「箱ひげ図と外れ値の基準」）。Chebyshev の不等式が平均と標準偏差で割合を押さえるのに対し、そちらは四分位数を使う。
分布が正規分布に近いことが分かれば、中心極限定理（高校数学）と正規分布（高校数学）の表を使って、Chebyshev の不等式よりずっと小さい確率の見積もりができる。
大学向けの Chebyshevの不等式では、一般の確率変数について同じ不等式を扱う。