p進数体

前提知識: p進数, p進整数, p進付値, 局所体, Henselの補題

素数 $p$ を 1 つ固定する。有理数体 $\mathbb Q$ を $p$ 進絶対値について完備化した体が p進数体（field of $p$-adic numbers）$\mathbb Q_p$ である。構成・$p$ 進展開・$p$ 進整数環 $\mathbb Z_p$ の性質は p進数・p進整数 の記事が扱う。この記事は、でき上がった体 $\mathbb Q_p$ そのものを 1 つの数学的対象として眺め、次の問いに答える。

• $\mathbb Q_p$ はなぜ「$\mathbb Q$ の完備化」の候補として $\mathbb R$ と並ぶのか（Ostrowski の定理との関係）。
• 乗法群 $\mathbb Q_p^\times$ はどんな群か。どの元が平方数か。
• 体として $\mathbb R$ や他の $\mathbb Q_q$ とどう違うか（順序が入らないこと、自己同型が恒等写像だけであること）。
• 代数閉包 $\overline{\mathbb Q_p}$ と、その完備化 $\mathbb C_p$ はどんな体か。

定義と基本の形

以下、$v_p$ を $p$ 進付値、$|x|_p=p^{-v_p(x)}$（$|0|_p=0$）を $p$ 進絶対値とする（p進付値）。

$\mathbb Z_p$ は $\mathbb Q_p$ の部分環で、その単元群が $\mathbb Z_p^\times$ である（p進数 の記事の系「$p$ 進整数の単元判定」）。$\mathbb Q_p$ の元は、$\mathbb Z_p$ の元を $p$ の冪で割ったものとしてすべて書ける。

$\mathbb Q_p$ は 局所体 の記事の意味の局所体である（同記事の例「$p$ 進数体」：剰余体は $\mathbb F_p$、一意化元は $p$）。位相については次が基本である。

• $\mathbb Z_p$ はコンパクトな開部分集合であり、$\mathbb Q_p$ は局所コンパクト空間だがコンパクトではない（p進数 の記事の命題「$p$ 進整数環のコンパクト性」）。
• 各 $p^k\mathbb Z_p$（$k\in\mathbb Z$）は開かつ閉な加法部分群で、$0$ の近傍の基本系をなす。
• $\mathbb Q_p$ は完全不連結であり（局所体 の記事の命題「整数環のコンパクト性」の直後の段落）、濃度は連続体濃度である。$\mathbb Z_p$ の元は $p$ 進展開の桁の列 $(a_0,a_1,\dots)\in\{0,\dots,p-1\}^{\mathbb N}$ と 1 対 1 に対応し（p進数 の記事の定理「$p$ 進展開の存在と一意性」）、$\mathbb Q_p$ は可算個の集合 $p^{-k}\mathbb Z_p$ の和集合だからである。

直感：$\mathbb R$ と並ぶもう 1 つの完備化

$\mathbb R$ は「差が小さい」という近さで $\mathbb Q$ を完備化した体であり、$\mathbb Q_p$ は「差が $p$ の高い冪で割り切れる」という近さで完備化した体である。どちらも $\mathbb Q$ を稠密に含み、$\mathbb Q$ の方程式の解の有無を $\mathbb Q$ の外で調べる舞台になる。しかし 2 つの体の形はまったく違う。$\mathbb R$ は連結で順序が入り、$\mathbb Q_p$ は完全不連結で順序が入らない。$\mathbb R$ の乗法群は符号と正の数の積 $\{\pm1\}\times\mathbb R_{>0}$ に分かれ、$\mathbb Q_p$ の乗法群は付値と 1 の冪根と「$1$ に近い単元」の積に分かれる。

表の $\mathbb Q_p$ の列のうち、順序・乗法群・平方類・代数閉包・自己同型の行は以下の節で証明する。

Ostrowski の定理との関係

絶対値の同値

(ii) から $|1|=|1|^2$、$|1|\ne0$ なので $|1|=1$ であり、$|-1|^2=|1|=1$ から $|-1|=1$ である。同値な絶対値は同じ距離の位相を定め、同じ Cauchy 列と同じ $0$ に収束する列をもつ（$|x_n|_1\to0$ と $|x_n|_1^{\,t}\to0$ は同値）。したがって同値な絶対値についての完備化は同じ体になる。
$\mathbb Q$ の上では、通常の絶対値 $|\cdot|_\infty$ と、各素数 $p$ の $p$ 進絶対値 $|\cdot|_p$ が絶対値である。$p\ne q$ なら $|p|_p=p^{-1}<1$ だが $|p|_q=1$ なので、$|\cdot|_p$ と $|\cdot|_q$ は同値でない。$|\cdot|_\infty$ はアルキメデス的（$|1+1|_\infty=2>\max\{|1|_\infty,|1|_\infty\}$）なので、どの $|\cdot|_p$ とも同値でない。

定理の主張

アルキメデス的な場合（主張 1）はこの記事では証明しない。$|n|$ を $n$ の $m$ 進表記と三角不等式で評価し、$n$ を $n^k$ に替えて $k$ 乗根をとる議論で示される（Con26 Theorem 1、pp. 1–2。詳しくは Ostrowskiの定理 の記事）。$p$ 進数体に直接かかわる非アルキメデス的な場合を、ここで完全に証明する。

こうして、$\mathbb Q$ の「素点」は、素数 $p$ と、無限素点と呼ばれる $\infty$（通常の絶対値）で尽きる。すべての素点の絶対値をまとめると、$0$ でない有理数 $r$ について $|r|_\infty\prod_p|r|_p=1$ が成り立つ（p進付値 の記事の定理「積公式」）。有理数の問題を $\mathbb R$ とすべての $\mathbb Q_p$ で調べる考え方（局所大域原理、Hasse–Minkowskiの定理）は、この完全な一覧に支えられている。

乗法群 $\mathbb Q_p^\times$ の構造

3 つの因子への分解

局所体 の記事の系「乗法群の分解」を $\mathbb Q_p$ に当てはめると、Teichmüller 代表元のなす群 $\mu_{p-1}=\{\zeta\in\mathbb Q_p\mid \zeta^{p-1}=1\}$（位数 $p-1$ の巡回群）と $U^{(1)}=1+p\mathbb Z_p$ を使って、群の同型
$$ \mathbb Z\times\mu_{p-1}\times(1+p\mathbb Z_p)\xrightarrow{\ \sim\ }\mathbb Q_p^\times,\qquad (n,\zeta,u)\mapsto p^n\zeta u $$
が得られる。1 つ目の因子は付値 $v_p$、2 つ目は法 $p$ の剰余類（$\mathbb F_p^\times$ の持ち上げ）を表す。残る問題は、$1$ に近い単元の群 $1+p\mathbb Z_p$ がどんな群かである。答えは、$p$ が奇素数なら加法群 $\mathbb Z_p$ そのものである。
$p=2$ では $\mu_1=\{1\}$ なので、上の分解は $\mathbb Q_2^\times\cong\mathbb Z\times(1+2\mathbb Z_2)$ となる。$1+2\mathbb Z_2=\mathbb Z_2^\times$ はさらに $\{\pm1\}$ と $1+4\mathbb Z_2$ に分かれる。以下、$p$ に応じて
$$ q=\begin{cases}p&(p\text{ が奇素数}),\\ 4&(p=2),\end{cases}\qquad g=\begin{cases}1+p&(p\text{ が奇素数}),\\ 5&(p=2)\end{cases} $$
とおく。$g=1+q$ である。

$g=1+q$ にこの補題を $j$ 回使うと、各 $j\ge0$ について
$$ g^{p^j}=1+qp^j t_j,\qquad t_j\in\mathbb Z_p^\times $$
となる。たとえば $p=2$ では $5^{2^j}-1$ はちょうど $2^{j+2}$ で割り切れ、$p=3$ では $4^{3^j}-1$ はちょうど $3^{j+1}$ で割り切れる。

主定理：$1+q\mathbb Z_p$ は $\mathbb Z_p$ に同型

この分解から、$\mathbb Q_p^\times$ の有限位数の元は $\mu_{p-1}$（$p$ 奇素数）または $\{\pm1\}$（$p=2$）に限ることも分かる。$\mathbb Z$ と $\mathbb Z_p$ にはねじれ（有限位数の $0$ でない元）がないからである。とくに $\mathbb Q_p$ に含まれる 1 の冪根は、$p$ が奇素数なら $1$ の $(p-1)$ 乗根だけ、$p=2$ なら $\pm1$ だけである。

平方数と平方類

平方類が有限個であることから、2 次拡大の個数が数えられる。標数 $0$ の体 $K$ の 2 次拡大は $K(\sqrt d)$（$d\in K^\times$ は平方数でない）の形であり、$K(\sqrt d)=K(\sqrt{d'})$ となるのは $d'/d$ が平方数のときに限る。実際 $\sqrt{d'}=a+b\sqrt d$（$a,b\in K$）なら、2 乗して $d'=a^2+b^2d+2ab\sqrt d$ となり、$\sqrt d\notin K$ から $ab=0$ である。$b=0$ なら $d'=a^2$ が平方数になって仮定に反するので、$a=0$、$d'=b^2d$ である。したがって $\mathbb Q_p$ の 2 次拡大は、同型を除いて $p$ が奇素数なら $3$ 個、$p=2$ なら $7$ 個ある（平方類の個数から $1$ を引いたもの）。

体としての性質

$\mathbb R$ の自己同型も恒等写像だけである（正の数が平方数として代数的に特徴づけられ、順序が保たれるため）。$\mathbb Q_p$ ではその役割を、「$1$ に近い単元は $p$ と互いに素な指数の冪根をもつ」という性質が果たしている。一方、$\mathbb C$ には複素共役という恒等写像でない自己同型がある。

代数閉包と $\mathbb C_p$ への案内

$\mathbb Q_p$ は代数閉体でない（上の $X^2-p$）。$\mathbb R$ は 2 次拡大 $\mathbb C$ で代数閉になるが、$\mathbb Q_p$ ではそうはいかない。以下、$\overline{\mathbb Q_p}$ を $\mathbb Q_p$ の代数閉包とする。$\mathbb Q_p$ の有限次拡大 $L$ には、$L^\times$ から $\mathbb Z$ への全射で $\mathbb Q_p^\times$ 上では $e\,v_p$ となる離散付値 $w$ がただ 1 つあり（局所体 の記事の定理「標数0の局所体と有限次拡大」の 1）、$|x|=p^{-w(x)/e}$ は $|\cdot|_p$ を延長する絶対値である。一意性から、有限次拡大ごとの延長は互いに整合し、$\overline{\mathbb Q_p}$ 全体の非アルキメデス的な絶対値 $|\cdot|$ が 1 つ定まる。

$\overline{\mathbb Q_p}$ は $|\cdot|$ について完備でない。この記事では証明しない（Con20 p. 2、Remark 2 に続く段落。$|c_i|_p=1$ で $\mathbb Q_p$ 上の次数が限りなく大きくなる $c_i\in\overline{\mathbb Q_p}$ を係数にした級数 $\sum c_ip^i$ を適切に選び、極限の $p$ 進展開と比べて矛盾を導く、という証明の方針を述べている）。そこで $\overline{\mathbb Q_p}$ をさらに完備化した体を $\mathbb C_p$ と書く（p進複素数体）。$\mathbb C_p$ は、完備化の一般的な構成（p進数 の記事の命題「絶対値と体構造の延長」の証明は、$\mathbb Q$ を非アルキメデス的な絶対値をもつ体に替えても、値が $p$ の整数冪であるという最後の主張を除いてそのまま通る。延長した絶対値も強三角不等式を満たす）により、$\overline{\mathbb Q_p}$ を稠密に含む完備な体である。

こうして $\mathbb Q_p\subset\overline{\mathbb Q_p}\subset\mathbb C_p$ の 3 段で、完備かつ代数閉な体に到達する。$\mathbb R\subset\mathbb C$ の 1 段で済む実数の場合と違い、途中の $\overline{\mathbb Q_p}$ は無限次で完備でなく、$\mathbb C_p$ は $\overline{\mathbb Q_p}$ より真に大きい。$\mathbb C_p$ は $p$ 進解析や $p$ 進 Hodge 理論の舞台になる。

例と反例

次の表は、$\mathbb Q_p$ の性質を支える条件を外したときに何が崩れるかをまとめたものである。

関連項目

• 前提: p進数, p進整数, p進付値, 局所体
• 比較: 実数, Henselの補題, 中国剰余定理
• 直後に読む: Ostrowskiの定理, p進複素数体, 既約剰余類群
• 発展: 局所類体論, p進Hodge理論, Hasse–Minkowskiの定理