Hensel化

Kähler微分 の命題「対角線のイデアルによる構成」により $I/I^2\cong\Omega_{C/A}$ であり、エタール代数 の定理「エタール代数は平坦」により $\Omega_{C/A}=0$ である。よって $I=I^2$ である。$C$ は $A$ 上有限生成なので、生成元 $c_1,\dots,c_r$ をとれば $I$ は $c_j\otimes1-1\otimes c_j$ で生成される有限生成イデアルである。
$I=I^2$ で $I=(x_1,\dots,x_r)$ とする。$x_i=\sum_ja_{ij}x_j$（$a_{ij}\in I$）と書けるので、行列 $1-(a_{ij})$ は列ベクトル $(x_j)$ を零にする。左から余因子行列を掛けると $\delta x_j=0$（$\delta:=\det(1-(a_{ij}))$）であり、$\delta\in1+I$ である。$\delta=1-e$（$e\in I$）とおくと $(1-e)I=0$ なので、$e(1-e)=0$ から $e^2=e$、また $x\in I$ について $x=ex$ から $I=(e)$ である。$\square$

lem-henselization-diagonal の冪等元 $e$ の $\varphi\otimes\psi\colon C\otimes_AC\to D$ による像 $e'$ は $D$ の冪等元である。$D\to\kappa(\mathfrak{p})$ との合成 $C\otimes_AC\to\kappa(\mathfrak{p})$ は $c\otimes c'\mapsto\bar\varphi(c)\bar\psi(c')=\bar\varphi(cc')$（$\bar\varphi=\bar\psi$ は仮定の合成）なので $\mu$ を経由し、$e\in\ker\mu$ を $0$ に送る。よって $e'\in\mathfrak{p}$ であり、$d:=1-e'\notin\mathfrak{p}$ である。$D_d$ では $e'd=0$ と $d$ の可逆性から $e'=0$ である。$c\in C$ について $c\otimes1-1\otimes c\in I=(e)$ なので、$\varphi(c)-\psi(c)=(\varphi\otimes\psi)(c\otimes1-1\otimes c)\in e'D$ は $D_d$ で $0$ になる。$D$ が局所環で $\mathfrak{p}$ が極大イデアルなら、$d$ は単元なので $D=D_d$ である。$\square$

1：$(A,\mathfrak{m})$ は対象である。対象 $(B_1,\mathfrak{q}_1)$、$(B_2,\mathfrak{q}_2)$ に対し、$B:=B_1\otimes_AB_2$ はエタール $A$ 代数である（エタール代数 の命題「保存則」：底変換と合成）。$B_j\to B_j/\mathfrak{q}_j=k$ のテンソル積 $B\to k\otimes_Ak=k$ は全射で、その核 $\mathfrak{q}$ は剰余体 $k$ の素イデアルで $\mathfrak{q}_1,\mathfrak{q}_2$ の上にある。よって 2 つの包含は $(B,\mathfrak{q})$ への射である。平行な射 $\varphi,\psi$ については、合成 $B\to C\to C/\mathfrak{r}=k$ はどちらも $A$ 代数の射で、$B/\mathfrak{q}=k$ を経由する $k$ の $k$ 代数としての自己準同型なので一致する。lem-henselization-maps-agree により $d\in C\setminus\mathfrak{r}$ があって $\varphi,\psi$ は $C_d$ で一致する。$C_d$ はエタールで（同命題）、$(C_d,\mathfrak{r}C_d)$ は対象であり、$C\to C_d$ が求める $\chi$ である。
2：フィルター的な圏の上の帰納極限なので、$A^{\mathrm{h}}$ の元は $B_{\mathfrak{q}}$ の元 $x$ の像として表され、$x$ と $x'\in B'_{\mathfrak{q}'}$ が同じ元を表すのは、共通の対象への射で像が一致するときである（帰納極限）。遷移写像 $B_{\mathfrak{q}}\to C_{\mathfrak{r}}$ は局所準同型である。$x\notin\mathfrak{q}B_{\mathfrak{q}}$ なら $x$ は $B_{\mathfrak{q}}$ の単元なので像も単元である。$x\in\mathfrak{q}B_{\mathfrak{q}}$ の像は単元でない：単元なら、ある遷移先 $C_{\mathfrak{r}}$ で $xy=1$ となるが、$x$ の像は $\mathfrak{r}C_{\mathfrak{r}}$ に入るので矛盾する。よって単元でない元の全体は $\mathfrak{q}B_{\mathfrak{q}}$ たちの像の和集合 $\mathfrak{n}$ であり、フィルター性からこれはイデアルなので、$A^{\mathrm{h}}$ は極大イデアル $\mathfrak{n}$ の局所環である。$\mathfrak{q}B_{\mathfrak{q}}=\mathfrak{m}B_{\mathfrak{q}}$ なので $\mathfrak{n}=\mathfrak{m}A^{\mathrm{h}}$ で、剰余体は $\varinjlim\kappa(\mathfrak{q})=k$ である。$i$ は対象 $(A,\mathfrak{m})$ からの写像なので局所準同型である。
3：$F\in A^{\mathrm{h}}[t]$ をモニック、$a_0\in k$ を $\bar F$ の単根とする。$F$ の有限個の係数は、ある $B_{\mathfrak{q}}$ の元の像であり、分母をまとめた $s\notin\mathfrak{q}$ で $B$ を $B_s$ に取り替えれば、$B$ 上のモニックな $f$ の像としてよい。$C:=(B[t]/(f))_{f'}$ は $B$ 上エタール（エタール射 の命題「標準エタール射はエタール射である」）、したがって $A$ 上エタールである。$B\to B/\mathfrak{q}=k$ と $t\mapsto a_0$ で定まる $C\to k$ は、$\bar f(a_0)=0$、$\bar f'(a_0)\neq0$ から定義され、全射で、その核 $\mathfrak{r}$ は $\kappa(\mathfrak{r})=k$ の素イデアルで $\mathfrak{q}$ の上にある。$(B,\mathfrak{q})\to(C,\mathfrak{r})$ は射であり、$C_{\mathfrak{r}}$ で $t$ は $f$ の根で剰余類は $a_0$ である。その像 $a\in A^{\mathrm{h}}$ は $F(a)=0$、$\bar a=a_0$ を満たす。
4：$R$ を Hensel 局所環、$\varphi\colon A\to R$ を局所準同型とする。まず、各対象 $(B,\mathfrak{q})$ について、局所な $A$ 代数の射 $\beta\colon B_{\mathfrak{q}}\to R$ がただ一つあることを示す。
存在：$C:=B\otimes_AR$ はエタール $R$ 代数である。$B\to k$ と $R\to\kappa_R$ から $C\to k\otimes_A\kappa_R=\kappa_R$ が定まり、全射なので、その核 $\mathfrak{Q}$ は $\mathfrak{m}_R$ の上にある剰余体 $\kappa_R$ の素イデアルである。Hensel局所環 の命題「Hensel 局所環上のエタール代数の切断」により、$R$ 代数の射 $\tau\colon C\to R$ で $\tau^{-1}(\mathfrak{m}_R)=\mathfrak{Q}$ となるものがある。$\beta_0\colon B\to C\xrightarrow{\tau}R$ は $A$ 代数の射で、$\beta_0^{-1}(\mathfrak{m}_R)=\{b\mid b\otimes1\in\mathfrak{Q}\}=\mathfrak{q}$ である。よって $\beta_0$ は局所準同型 $\beta\colon B_{\mathfrak{q}}\to R$ に延びる。
一意性：$\beta_1,\beta_2\colon B_{\mathfrak{q}}\to R$ を局所な $A$ 代数の射とする。$B\to B_{\mathfrak{q}}$ と合成すると、$B\to R\to\kappa_R$ はどちらも核 $\mathfrak{q}$ をもち、$B/\mathfrak{q}=k\to\kappa_R$ は $\varphi$ から決まる写像なので一致する。lem-henselization-maps-agree（$D=R$、$\mathfrak{p}=\mathfrak{m}_R$）により $B$ 上で一致し、局所化の普遍性から $\beta_1=\beta_2$ である。
射 $(B,\mathfrak{q})\to(C,\mathfrak{r})$ について、$C_{\mathfrak{r}}$ の射と遷移写像の合成は $B_{\mathfrak{q}}$ の局所な $A$ 代数の射なので、一意性から $B_{\mathfrak{q}}$ の射と一致する。よって射たちは両立し、局所準同型 $\psi\colon A^{\mathrm{h}}\to R$ を定め、$\psi i=\varphi$ である。逆に $\psi'$ が同じ性質をもてば、$B_{\mathfrak{q}}\to A^{\mathrm{h}}$ は局所準同型なので、$\psi'$ の各 $B_{\mathfrak{q}}$ への制限は局所な $A$ 代数の射であり、一意性から $\psi'=\psi$ である。3 と合わせて、$i\colon A\to A^{\mathrm{h}}$ は Hensel 化である。$\square$

1：エタール代数は平坦（エタール代数 の定理「エタール代数は平坦」）で、局所化も平坦なので、各 $B_{\mathfrak{q}}$ は平坦 $A$ 加群である。フィルター的な帰納極限は完全列を保つので、$A^{\mathrm{h}}$ も平坦である。局所準同型で平坦なものは忠実平坦であり（忠実平坦加群）、忠実平坦な環準同型は単射である。
2：対象 $(B,\mathfrak{q})$ について $A_n:=A/\mathfrak{m}^n$、$E:=B_{\mathfrak{q}}/\mathfrak{m}^nB_{\mathfrak{q}}$ とおく。$E$ は平坦な局所 $A_n$ 代数で、$E/\mathfrak{m}E=B_{\mathfrak{q}}/\mathfrak{q}B_{\mathfrak{q}}=k$ である。$A_n\to E$ の像を $A'$ とすると $E=A'+\mathfrak{m}E$ で、これを繰り返すと $E=A'+\mathfrak{m}^nE=A'$ なので全射である。局所準同型で平坦なので忠実平坦、よって単射である。ゆえに $A_n\cong B_{\mathfrak{q}}/\mathfrak{m}^nB_{\mathfrak{q}}$ で、帰納極限をとれば（テンソル積は帰納極限と交換する）$A_n\cong A^{\mathrm{h}}/\mathfrak{m}^nA^{\mathrm{h}}$ である。$A^{\mathrm{h}}$ の極大イデアルは $\mathfrak{m}A^{\mathrm{h}}$ なので、右辺の射影極限は $A^{\mathrm{h}}$ の完備化である。
3：$A$ が Hensel 局所環なら、恒等写像 $A\to A$ は定義の普遍性をもつ（$\psi=\varphi$ がただ一つの延長）。普遍性をもつ組の一意性から $i$ は同型である。逆は $A^{\mathrm{h}}$ が Hensel 局所環であることから従う。
4：この記事では証明しない。Stacks More on Algebra, Lemma 15.46.3（Tag 06LJ、p. 1305）にあり、Noether のとき $\widehat A\to\widehat{A^{\mathrm{h}}}$ が同型であることも同じ箇所で示されている。$\square$

要点：thm-henselization-main の証明で、剰余体の一致 $\kappa(\mathfrak{q})=k$ の代わりに埋め込み $\iota$ を持ち運べばよい。

要点：$A^{\mathrm{h}}$ の元はエタール近傍の元なので代数的であり、逆に代数的な元は整閉包の局所化というエタール近傍に入る。