半群

$a^ma^n$ は $a$ を $m+n$ 個並べた積を括弧で二つに分けたものなので、一般化結合律により $a^{m+n}$ に等しい。$(a^m)^n$ は $a$ を $mn$ 個並べた積を $m$ 個ずつ $n$ 組に区切ったものなので $a^{mn}$ に等しい。最後の主張について、$\{a^n\mid n\ge1\}$ は第一の等式から閉じていて $a$ を含み、$a$ を含む部分半群は積で閉じているので各 $a^n$ を含む。$\square$

1. 冪がすべて異なれば、$n\mapsto a^n$ は $\mathbb Z_{>0}$ から $\langle a\rangle=\{a^n\mid n\ge1\}$ への全単射であり、prop-sg-powers の $a^{p+q}=a^pa^q$ により準同型である。
2. 仮定から $m$ が定まる。$m$ の定め方から $a^m=a^j$ となる $j>m$ があるので、$r$ も定まる。
   まず次を示す：$n\ge m$、$t\ge0$ なら $a^{n+tr}=a^n$。$n>m$ なら $a^{n+r}=a^{m+r}a^{n-m}=a^ma^{n-m}=a^n$、$n=m$ なら $r$ の定義である。これを $t$ 回くり返せばよい。
   (a) $i,j\ge m$ かつ $j=i+tr$（$t\ge0$）なら、上の事実から $a^j=a^i$ である。逆に $a^i=a^j$、$i< j$ とする。$m$ の最小性から $i\ge m$ である。$j-i=qr+s$（$q\ge0$、$0\le s< r$）と書くと、$i+s\ge m$ なので $a^j=a^{(i+s)+qr}=a^{i+s}$、よって $a^i=a^{i+s}$ である。$s>0$ と仮定して矛盾を導く。$t\ge0$ を $tr\ge i-m$ となるようにとり、$k:=tr-(i-m)\ge0$ とおくと、$i+k=m+tr$ である。$a^i=a^{i+s}$ の両辺に右から $a^k$ を掛けると（$k=0$ なら何もしない）
   $$ a^{m+tr}=a^{m+s+tr} $$
   となる。上の事実により左辺は $a^m$、右辺は $a^{m+s}$ に等しい。よって $a^{m+s}=a^m$ で $0< s< r$ となり、$r$ の最小性に反する。したがって $s=0$、すなわち $i\equiv j\pmod r$ である。
   (b) $1\le i< j\le m+r-1$ で $a^i=a^j$ とすると、(a) より $i,j\ge m$ かつ $r\mid j-i$ だが、$0< j-i\le r-1$ なので不可能である。よって $a,\dots,a^{m+r-1}$ は相異なる。$n\ge m+r$ なら、$n$ と $r$ を法として合同な $n'$ を $m\le n'\le m+r-1$ の範囲にとれて、(a) より $a^n=a^{n'}$ である。prop-sg-powers と合わせて (b) を得る。
   (c) $p,q\ge m$ なら $a^pa^q=a^{p+q}$ で $p+q\ge m$ なので、$K_a$ は閉じている。写像 $\psi\colon K_a\to\mathbb Z/r\mathbb Z$、$\psi(a^n):=n\bmod r$（$n\ge m$）は、(a) により代表の指数のとり方によらず定まり、しかも単射である。$m,\dots,m+r-1$ は $r$ を法とするすべての剰余類を代表するので全射でもある。$\psi(a^pa^q)=\psi(a^{p+q})=\psi(a^p)+\psi(a^q)$ なので、$\psi$ は半群の同型である。$\mathbb Z/r\mathbb Z$ は群なので $K_a$ も群であり、その単位元は $\psi^{-1}(0)$、すなわち $m\le k\le m+r-1$ の範囲にある $r$ の倍数 $k$ についての $a^k$ である。$\square$

$S$ は有限なので、thm-sg-monogenic の 1 は起こらず 2 が成り立つ。$a$ の指数を $m$、周期を $r$ とする。

1. $K_a$ の単位元 $a^k$ は冪等である。逆に $a^n$ が冪等なら $a^{2n}=a^n$ であり、thm-sg-monogenic の (a) により $n\ge m$ かつ $r\mid n$ である。すると $\psi(a^n)=0$ なので $a^n=a^k$ である。
2. (b) より $m+r-1=\#\langle a\rangle\le\#S$ なので $m,r\le\#S$ である。よって $N\ge m$ であり、$r\mid N$ である。1 の議論から $a^N$ は冪等である。$\square$

語 $w=a_1\cdots a_n$（$n\ge1$）に対し $\overline u(w):=u(a_1)u(a_2)\cdots u(a_n)$ と定める。語は文字の有限列として一通りに書けるので写像が定まり、右辺は結合律により括弧の付け方によらない。$w=a_1\cdots a_m$、$v=b_1\cdots b_n$ なら
$$ \overline u(wv)=u(a_1)\cdots u(a_m)u(b_1)\cdots u(b_n)=\overline u(w)\,\overline u(v) $$
なので準同型であり、長さ $1$ の語で $u$ に一致する。$\Sigma^+$ は $\iota(\Sigma)$ で生成されるので、マグマ の命題「準同型と生成系」の 2 により、$\iota(\Sigma)$ の上で $u$ に一致する準同型はこれだけである。$\square$

$S^1$ はモノイドなので結合律が成り立ち、$a,b\in S$、$x\in S^1$ について $\lambda(ab)(x)=(ab)x=a(bx)=\lambda(a)(\lambda(b)(x))$ である。よって $\lambda(ab)=\lambda(a)\circ\lambda(b)$ であり、$\lambda$ は準同型である。$\lambda(a)=\lambda(b)$ なら、$x=1$ での値を比べて $a=a1=b1=b$ となるので単射である。最後の主張は、$\lambda$ の像が $T_{S^1}$ の部分半群であり、$\lambda$ がそれへの同型を与えることによる。$\square$

$\sim_I$ は、$I$ を一つの類、それ以外の元をそれぞれ一点の類とする分割に対応するので、同値関係である。$x\sim_Ix'$、$y\sim_Iy'$ とする。$x=x'$ かつ $y=y'$ なら $xy=x'y'$ である。それ以外なら、$x,x'\in I$ または $y,y'\in I$ であり、イデアルの条件から $xy,x'y'\in I$ となるので $xy\sim_Ix'y'$ である。よって合同関係であり、商は半群である。$x\in I$ なら任意の $s$ について $sx,xs\in I$ だから、$[s][I]=[I][s]=[I]$ である。$\square$

$S$ は有限なので、イデアルは有限個 $I_1,\dots,I_t$ である（$S$ 自身がイデアルなので $t\ge1$）。各 $I_j$ から元 $x_j$ を選ぶと、積 $x_1x_2\cdots x_t$ は、$j$ 番目の因子 $x_j\in I_j$ に左右から $S$ の元を掛けたものなので $I_j$ に属する。よって $K:=I_1\cap\cdots\cap I_t$ は空でない。$K$ の元に左右から $S$ の元を掛けると各 $I_j$ に属するので、$K$ はイデアルである。$K$ はすべてのイデアルに含まれ、そのようなイデアルが二つあれば互いに含み合うので一致する。$\square$