伝達関数

1。 Laplace変換による微分方程式の解法 の定理「初期値を含む代数方程式」を、入力 $0$、初期値 $\varphi^{(j)}(0)$ に使う。初期値の項 $R(s)=\sum_k\alpha_k\sum_{j\le k-1}s^{k-1-j}\varphi^{(j)}(0)$（$\alpha_k$ は $a(s)$ の $s^k$ の係数で、$\alpha_n=1$）で残るのは $j=n-1$ だけで、それには $k=n$ の項（係数 $1$）しかないので $R=1$ である。よって $a(s)\mathcal L[\varphi]=1$ である。$m< n$ のとき、$k\le m\le n-1$ について $\varphi^{(j)}(0)=0$（$j\le k-1\le n-2$）なので、Laplace変換 の公式「微分の公式」から $\mathcal L[\varphi^{(k)}]=s^k\mathcal L[\varphi]$ である。足し合わせて $\mathcal L[b(D)\varphi]=b(s)/a(s)=G$ となり、逆Laplace変換 の定理「Lerchの一意性定理」により $b(D)\varphi=g$ である（両辺とも連続）。
2。 $f:=b(D)u$ は連続で指数オーダーなので、Laplace変換による微分方程式の解法 の命題「初期値問題の解は指数オーダー」により $y,y',\dots,y^{(n)}$ は指数オーダーである。$U=\mathcal L[u]$、$Y=\mathcal L[y]$ とおく。微分の公式で、$y$ の初期値はすべて $0$ なので $\mathcal L[y^{(k)}]=s^kY$（$k\le n$）、$u$ の $m-1$ 階までの初期値も $0$ なので $\mathcal L[u^{(k)}]=s^kU$（$k\le m$）である。方程式の両辺を変換すると
$$ a(s)Y(s)=b(s)U(s),\qquad Y=GU=dU+G_0U $$
である。$g_0$ は指数多項式なので指数オーダーであり、畳み込みとLaplace変換 の定理「片側の畳み込み定理」から $\mathcal L[g_0*u]=G_0U$ である。したがって $y$ と $du+g_0*u$ は十分右の半平面で同じ変換をもつ。どちらも連続なので、Lerch の一意性定理により一致する。$\square$

1。 $\sigma:=\max_j\operatorname{Re}\lambda_j< 0$ とすると、$\lvert p_j(t)\rvert e^{(\operatorname{Re}\lambda_j-\sigma/2)t}$ は有界なので、$\lvert h(t)\rvert\le Me^{\sigma t/2}$ となる定数 $M$ があり、右辺は $[0,\infty)$ で積分できる。
2。 $\alpha:=\max_j\operatorname{Re}\lambda_j\ge0$、実部が $\alpha$ の $\lambda_j$ のうち $p_j$ の次数の最大値を $k$ とし、実部が $\alpha$ で $\deg p_j=k$ となる $j$ の集合を $J$、$p_j$ の $t^k$ の係数を $c_j\ne0$、$\beta_j:=\operatorname{Im}\lambda_j$ とする（$j\in J$ の $\beta_j$ は相異なる）。$q(t):=\sum_{j\in J}c_je^{i\beta_jt}$ とおくと
$$ h(t)=t^ke^{\alpha t}\bigl(q(t)+r(t)\bigr),\qquad r(t)\to0\ (t\to\infty) $$
である。$r$ に入る項は、$t^k$ より低い次数か、$e^{\alpha t}$ より小さい指数をもつからである。
$S:=\sum_{j\in J}\lvert c_j\rvert$、$M^2:=\sum_{j\in J}\lvert c_j\rvert^2>0$ とおく。$\lvert q\rvert^2=\sum_{j,l}c_j\overline{c_l}e^{i(\beta_j-\beta_l)t}$ の $j\ne l$ の項は、$[0,T]$ で積分すると絶対値が $2\lvert c_jc_l\rvert/\lvert\beta_j-\beta_l\rvert$ 以下なので、$\frac1T\int_0^T\lvert q\rvert^2dt\to M^2$ である。$\lvert q\rvert\le S$ より $\lvert q\rvert^2\le S\lvert q\rvert$ なので、十分大きな $T$ で $\int_0^T\lvert q\rvert\,dt\ge\frac{M^2}{2S}T$ である。$t_1\ge1$ を $t\ge t_1$ で $\lvert r(t)\rvert\le\frac{M^2}{4S}$ となるようにとる。$t\ge t_1$ では $t^ke^{\alpha t}\ge1$ なので $\lvert h(t)\rvert\ge\lvert q(t)\rvert-\lvert r(t)\rvert\ge\lvert q(t)\rvert-\frac{M^2}{4S}$ であり（左辺が負になる $t$ でも成り立つ）、
$$ \int_{t_1}^T\lvert h\rvert\,dt\ge\frac{M^2}{2S}T-\int_0^{t_1}\lvert q\rvert\,dt-\frac{M^2}{4S}T\to\infty\qquad(T\to\infty) $$
となる。$\square$

$g_0=\sum_jp_j(t)e^{\lambda_jt}$ と書く。既約な表示では、各極 $\lambda_j$ で $G_0$ の主部の最高位の係数が $0$ でないので、逆Laplace変換 の定理「重根の展開公式」により $p_j\ne0$ であり、$\lambda_j$ は $G$ の極全体をちょうど動く。
2 ⇒ 1。 lem-tf-integrable の 1 により $N_1:=\int_0^\infty\lvert g_0\rvert dt<\infty$ である。$K:=\sup\lvert u\rvert$ とおくと、すべての $t$ で
$$ \lvert y(t)\rvert\le\lvert d\rvert\lvert u(t)\rvert+\int_0^t\lvert g_0(t-\tau)\rvert\lvert u(\tau)\rvert\,d\tau\le\bigl(\lvert d\rvert+N_1\bigr)K $$
である。
1 ⇒ 2。 ある極が $\operatorname{Re}\lambda_j\ge0$ を満たすとする。lem-tf-integrable の 2 により $\int_0^\infty\lvert g_0\rvert dt=\infty$ である。$T>0$ について入力を
$$ u_T(\tau):=\begin{cases}\overline{g_0(T-\tau)}/\lvert g_0(T-\tau)\rvert&(0\le\tau\le T,\ g_0(T-\tau)\ne0),\\0&(\text{それ以外})\end{cases} $$
と定める。$u_T$ は $\lvert u_T\rvert\le1$ で区分的に連続である（$g_0$ は $0$ でない指数多項式なので、$[0,T]$ での零点は有限個である）。時刻 $T$ での零状態応答は
$$ y(T)=du_T(T)+\int_0^Tg_0(T-\tau)u_T(\tau)\,d\tau=du_T(T)+\int_0^T\lvert g_0(t)\rvert\,dt $$
なので $\lvert y(T)\rvert\ge\int_0^T\lvert g_0\rvert dt-\lvert d\rvert\to\infty$ である。どの定数 $C$ をとっても、$T$ を大きくすれば $\sup\lvert y\rvert\le C\sup\lvert u_T\rvert\le C$ が破れるので、系は BIBO 安定でない。$\square$

$\tau\mapsto t-\tau$ と置き換えると $(g_0*u)(t)=\int_0^tg_0(\tau)e^{i\omega(t-\tau)}d\tau=e^{i\omega t}\int_0^tg_0(\tau)e^{-i\omega\tau}d\tau$ である。$\sigma:=\max_j\operatorname{Re}\lambda_j< 0$ なので、$g_0$ の Laplace 変換は $\operatorname{Re}s>\sigma$ で絶対収束して $G_0(s)$ に等しい（逆Laplace変換 の定理「重根の展開公式」）。$s=i\omega$ はこの半平面にあるので $\int_0^\infty g_0(\tau)e^{-i\omega\tau}d\tau=G_0(i\omega)$ であり、
$$ y(t)=de^{i\omega t}+e^{i\omega t}\Bigl(G_0(i\omega)-\int_t^\infty g_0(\tau)e^{-i\omega\tau}\,d\tau\Bigr) $$
となる。$d+G_0=G$ から 1 つ目の式を得る。第 2 項の絶対値は $\int_t^\infty\lvert g_0\rvert d\tau$ 以下で、lem-tf-integrable の 1 により $0$ に近づく。
実数係数なら $g_0$ と $d$ は実数で、$\cos\omega t=\operatorname{Re}e^{i\omega t}$ に対する応答は $e^{i\omega t}$ に対する応答の実部である。$G(i\omega)=\lvert G(i\omega)\rvert e^{i\arg G(i\omega)}$ と書けば、$\operatorname{Re}\bigl(G(i\omega)e^{i\omega t}\bigr)=\lvert G(i\omega)\rvert\cos(\omega t+\arg G(i\omega))$ である。$\square$