Poissonの和公式
概要
Poissonの和公式（Poisson summation formula）とは、実数直線上の関数 $f$ の整数点での値の和が、Fourier 変換 $\hat f$ の整数点での値の和に等しいという公式 $\sum_n f(n)=\sum_k\hat f(k)$ である。$f$ を整数ずつずらして足した周期関数の Fourier 係数が $\hat f(k)$ になることから従い、$f$ が連続で、周期化が一様に収束し、$\sum_k|\hat f(k)|$ が有限なら成り立つ。Gauss 関数に当てるとテータ関数の変換公式が得られ、ゼータ関数や L 関数の関数等式の出発点になる。$\mathbb R^n$ の格子と双対格子についての一般化もある。
Poissonの和公式（Poisson summation formula）は、実数直線上の関数 $f$ について、整数点での値の和が、Fourier 変換 $\hat f$ の整数点での値の和に等しいという公式
$$
\sum_{n\in\mathbb Z}f(n)=\sum_{k\in\mathbb Z}\hat f(k)
$$
である。左辺は $f$ を $1$ ずつずらして足した周期関数（周期化）の $0$ での値であり、右辺はその周期関数の Fourier 級数の $0$ での値である。公式の中身は「周期化の Fourier 係数は、元の関数の Fourier 変換の整数点での値である」という一行の計算にある。
この公式は、ゆっくり減衰する和を速く減衰する和に書き換える道具として使われる。たとえば Gauss 関数に当てるとテータ関数の変換公式が得られ、それが Riemann ゼータ関数や Dirichlet L 関数の関数等式の出発点になる（Theta関数、Dirichlet L関数）。この記事では、公式が成り立つ条件を述べて証明し、条件を外すと成り立たない例を示す。さらに $\mathbb R^n$ の格子への一般化と、テータ関数・級数の計算への応用を扱う。
記号
Fourier 変換は Fourier変換 の定義「Fourier変換」と同じく、$f\in L^1(\mathbb R^n)$ に対して
$$
\hat f(\xi):=\int_{\mathbb R^n}f(x)e^{-2\pi ix\cdot\xi}\,dx
$$
とする。指数に $2\pi$ を入れるこの規格化では、公式に余分な定数が現れない。
周期 $1$ の関数 $G$ で $[0,1]$ 上可積分なものに対し、$c_k(G):=\int_0^1G(u)e^{-2\pi iku}\,du$（$k\in\mathbb Z$）を $G$ の Fourier 係数とよぶ。$g(\theta):=G(\theta/2\pi)$ とおくと $g$ は $2\pi$ 周期で、Fourier級数 の係数 $\hat g(k)$ は $c_k(G)$ に等しい。とくに Fejérの定理 の系「Fourier 係数による関数の決定」から、周期 $1$ の連続関数で Fourier 係数がすべて等しいものは一致する。
$f\in L^1(\mathbb R)$ に対し、級数が収束する点で
$$
Pf(x):=\sum_{n\in\mathbb Z}f(x+n)
$$
と定め、$Pf$ を $f$ の周期化という。
$f\in L^1(\mathbb R)$ とする。ほとんどすべての $x$ で $\sum_n|f(x+n)|<\infty$ であり、$Pf$ は周期 $1$ で $\int_0^1|Pf|\le\|f\|_{L^1(\mathbb R)}$ を満たす。さらにすべての $k\in\mathbb Z$ で
$$
c_k(Pf)=\hat f(k)
$$
である。
Tonelliの定理 により $\sum_n\int_0^1|f(x+n)|\,dx=\sum_n\int_n^{n+1}|f(y)|\,dy=\|f\|_1<\infty$ なので、ほとんどすべての $x\in[0,1]$ で $\sum_n|f(x+n)|<\infty$ であり、$\int_0^1|Pf|\le\|f\|_1$ である。周期 $1$ であることは $n\mapsto n+1$ のずらしによる。同じ評価から Fubiniの定理 で和と積分を入れ替えられ、$e^{-2\pi ik(y-n)}=e^{-2\pi iky}$ を使うと
$$
c_k(Pf)=\sum_{n\in\mathbb Z}\int_0^1f(x+n)e^{-2\pi ikx}\,dx=\sum_{n\in\mathbb Z}\int_n^{n+1}f(y)e^{-2\pi iky}\,dy=\int_{\mathbb R}f(y)e^{-2\pi iky}\,dy=\hat f(k)
$$
である。$\square$
$\hat f$ は実数直線全体で定義された関数で、周期化はそのうち整数点での値だけを取り出す。周期化すると $f$ の情報の一部が失われ（たとえば $f$ と $f(\cdot+1)$ は同じ周期化をもつ）、それに対応して $\hat f$ の整数点以外の値は使われない。
主定理
$f\in L^1(\mathbb R)$ は連続で、次の 2 条件を満たすとする。
- 級数 $\sum_{n\in\mathbb Z}f(x+n)$ は $x\in[0,1]$ について一様に収束する。
- $\sum_{k\in\mathbb Z}|\hat f(k)|<\infty$。
このとき、すべての $x\in\mathbb R$ で
$$ \sum_{n\in\mathbb Z}f(x+n)=\sum_{k\in\mathbb Z}\hat f(k)e^{2\pi ikx} $$
が成り立つ。とくに $\sum_nf(n)=\sum_k\hat f(k)$ である。
条件 1 と周期性から、$Pf$ は $\mathbb R$ 上の連続な周期 $1$ の関数である（一様収束 の定理「連続関数の一様極限の連続性」。各部分和は連続）。条件 2 から、右辺の級数 $G(x):=\sum_k\hat f(k)e^{2\pi ikx}$ は $\mathbb R$ 上で一様に収束し（一様収束 の定理「Weierstrassの優級数判定法」）、$G$ も連続な周期 $1$ の関数である。一様収束する級数は項別に積分できるので（同じ記事の定理「一様収束と積分の交換」）、$e^{2\pi ijx}$ の直交性から $c_k(G)=\hat f(k)$ である。一方 lem-ps-coefficient から $c_k(Pf)=\hat f(k)$ である。連続な周期関数 $Pf$ と $G$ の Fourier 係数がすべて等しいので、$Pf=G$ がすべての点で成り立つ。$\square$
証明の要は、lem-ps-coefficient の計算と、連続関数が Fourier 係数で決まることの 2 つである。条件 1・2 は、両辺を連続関数として比べるために使っている。実際に使うときは、次の減衰の条件で確かめることが多い。
$f$ が連続で、ある $C>0$、$\varepsilon>0$ について
$$
|f(x)|\le\frac C{(1+|x|)^{1+\varepsilon}},\qquad|\hat f(\xi)|\le\frac C{(1+|\xi|)^{1+\varepsilon}}\qquad(x,\xi\in\mathbb R)
$$
が成り立てば、thm-ps-main の結論が成り立つ。さらに $a>0$ について
$$
\sum_{n\in\mathbb Z}f(an)=\frac1a\sum_{k\in\mathbb Z}\hat f\Bigl(\frac ka\Bigr)
$$
である。とくに Schwartz 関数（Schwartz空間）ではつねに成り立つ。
$f$ の評価から $f\in L^1$ である。$x\in[0,1]$、$|n|\ge2$ なら $1+|x+n|\ge|n|$ なので $|f(x+n)|\le C|n|^{-1-\varepsilon}$ であり、一様収束 の定理「Weierstrassの優級数判定法」から条件 1 が成り立つ。条件 2 は $\hat f$ の評価から明らかである。後半は $f_a(x):=f(ax)$ に前半を当てる。$\hat{f_a}(\xi)=\frac1a\hat f(\xi/a)$（$y=ax$ と置換する）であり、$f_a$ と $\hat{f_a}$ も同じ形の評価を（別の定数で）満たす。Schwartz 関数 $f$ では $\hat f$ も Schwartz 関数であり（Schwartz空間 の定理「Schwartz空間上のFourier変換」）、評価は明らかである。$\square$
例
$t>0$ とし、$f(x):=e^{-\pi tx^2}$ とする。Gauss積分 の系「Gauss関数のFourier変換」で $a=\pi t$、$\xi=2\pi\eta$ とおくと $\hat f(\eta)=t^{-1/2}e^{-\pi\eta^2/t}$ である。$f$ と $\hat f$ は cor-ps-decay の評価を満たすので
$$
\sum_{n\in\mathbb Z}e^{-\pi t(n+x)^2}=\frac1{\sqrt t}\sum_{k\in\mathbb Z}e^{-\pi k^2/t}e^{2\pi ikx}\qquad(x\in\mathbb R)
$$
である。$x=0$ とおくと、$\theta(t):=\sum_ne^{-\pi tn^2}$ について $\theta(t)=t^{-1/2}\theta(1/t)$、すなわち $\theta(1/t)=\sqrt t\,\theta(t)$ を得る。これは Theta関数 の例「純虚数のパラメータ」の変換公式 $\vartheta(0;i/t)=\sqrt t\,\vartheta(0;it)$ である。
さらに上半平面 $\operatorname{Im}\tau>0$ で $\vartheta(0;\tau)=\sum_ne^{\pi in^2\tau}$ とおくと、級数は $\operatorname{Im}\tau\ge c>0$ で一様に収束するので $\vartheta(0;\tau)$ は正則である。$\tau/i$ の実部は $\operatorname{Im}\tau>0$ なので、主枝の平方根 $\sqrt{\tau/i}$ も上半平面で正則である。$\vartheta(0;-1/\tau)$ と $\sqrt{\tau/i}\,\vartheta(0;\tau)$ は上半平面で正則で、虚軸 $\tau=it$ の上で一致するから、一致の定理 により上半平面全体で
$$
\vartheta(0;-1/\tau)=\sqrt{\tau/i}\;\vartheta(0;\tau)
$$
である。
$t$ が小さいとき、左辺の $\theta(t)$ は多くの項が効くゆっくり収束する和だが、右辺の $t^{-1/2}\theta(1/t)$ は $1/t$ が大きいので $k=0$ の項でほぼ決まり、$\theta(t)\approx1/\sqrt t$ が分かる。和を速く収束する形に書き換えることが、和公式のもっとも基本的な使い方である。
$a>0$ とし、$f(x):=e^{-2\pi a|x|}$ とする。
$$
\hat f(\xi)=2\int_0^\infty e^{-2\pi ax}\cos(2\pi\xi x)\,dx=\frac{2\cdot2\pi a}{(2\pi a)^2+(2\pi\xi)^2}=\frac a{\pi(a^2+\xi^2)}
$$
であり（$f$ が偶関数なので $\cos$ の積分になり、$b>0$ で $\int_0^\infty e^{-bx}\cos cx\,dx=\frac b{b^2+c^2}$ を使う）、$f$ と $\hat f$ は cor-ps-decay の評価を満たす。和公式の左辺 $\sum_nf(n)$ は等比級数で、$q:=e^{-2\pi a}$ とすると $\sum_ne^{-2\pi a|n|}=1+\frac{2q}{1-q}=\frac{1+q}{1-q}=\coth\pi a$ である。よって
$$
\sum_{k\in\mathbb Z}\frac1{k^2+a^2}=\frac\pi a\coth\pi a
$$
を得る。$k=0$ の項を除いて 2 で割ると $\sum_{k\ge1}\frac1{k^2+a^2}=\frac\pi{2a}\coth\pi a-\frac1{2a^2}$ である。$\coth y=\frac1y+\frac y3+O(y^3)$（$y\to0$）から右辺は $a\to+0$ で $\frac{\pi^2}6$ に近づき、左辺は 単調収束定理 により $\sum_{k\ge1}\frac1{k^2}$ に近づく。こうして $\zeta(2)=\frac{\pi^2}6$ が再び得られる（Basel問題）。
格子への一般化
$\mathbb R^n$ の格子とは、ある可逆な実 $n$ 次正方行列 $A$ により $\Gamma=A\mathbb Z^n$ と書ける部分群のことである（格子(数論)）。$\operatorname{vol}(\Gamma):=|\det A|$ は基本領域 $A[0,1)^n$ の体積で、$A$ の取り方によらない。$\Gamma$ の双対格子を
$$
\Gamma^*:=\{w\in\mathbb R^n\mid\text{すべての }v\in\Gamma\text{ で }v\cdot w\in\mathbb Z\}
$$
で定める。$v=Am$ と書くと $v\cdot w=m\cdot A^{\mathsf T}w$ なので、$\Gamma^*=(A^{\mathsf T})^{-1}\mathbb Z^n$ である。
$\Gamma\subset\mathbb R^n$ を格子、$f$ を $\mathbb R^n$ 上の Schwartz 関数とする。すべての $x\in\mathbb R^n$ で
$$
\sum_{v\in\Gamma}f(x+v)=\frac1{\operatorname{vol}(\Gamma)}\sum_{w\in\Gamma^*}\hat f(w)\,e^{2\pi iw\cdot x}
$$
が成り立つ。両辺の級数は絶対収束する。
要点：$\Gamma=\mathbb Z^n$ の場合は thm-ps-main の証明と同じで、多変数の周期関数が Fourier 係数で決まることは 1 変数の場合を座標ごとに使って示す。一般の格子は $y\mapsto Ay$ で $\mathbb Z^n$ に帰着する。
詳しい証明を開く
$\Gamma=\mathbb Z^n$ の場合。 $f$ が Schwartz 関数なので $|f(x)|\le C(1+|x|)^{-n-1}$ であり、$x\in[0,1]^n$ について $\sum_{m\in\mathbb Z^n}f(x+m)$ は一様に絶対収束する（$|m|\ge2\sqrt n$ なら $1+|x+m|\ge|m|/2$ で、$\sum_{m\ne0}|m|^{-n-1}<\infty$）。よって $F(x):=\sum_mf(x+m)$ は各変数について周期 $1$ の連続関数である。$\hat f$ も Schwartz 関数なので $G(x):=\sum_{k\in\mathbb Z^n}\hat f(k)e^{2\pi ik\cdot x}$ も一様に絶対収束して連続である。$c_k(H):=\int_{[0,1]^n}H(x)e^{-2\pi ik\cdot x}\,dx$ とおくと、lem-ps-coefficient と同じ計算（$\mathbb R^n=\bigcup_m([0,1)^n+m)$ と Fubiniの定理）で $c_k(F)=\hat f(k)$、項別の積分で $c_k(G)=\hat f(k)$ である。
残りは、各変数について周期 $1$ の連続関数 $H$ で $c_k(H)=0$（すべての $k\in\mathbb Z^n$）なら $H=0$ であることを、$n$ についての帰納法で示すことである。$n=1$ は記号の節で述べた。$n\ge2$ とし、$x=(x_1,x')$ と書く。$k_1\in\mathbb Z$ を固定し $h_{k_1}(x'):=\int_0^1H(x_1,x')e^{-2\pi ik_1x_1}\,dx_1$ とおくと、$h_{k_1}$ は $n-1$ 変数の周期 $1$ の連続関数で（$H$ は一様連続）、Fubini の定理から $c_{k'}(h_{k_1})=c_{(k_1,k')}(H)=0$ である。帰納法の仮定から $h_{k_1}=0$ であり、各 $x'$ で 1 変数の関数 $x_1\mapsto H(x_1,x')$ の係数がすべて $0$ なので、$H(\cdot,x')=0$ である。よって $F=G$ である。
一般の場合。 $f_A(y):=f(Ay)$ とおくと $f_A$ も Schwartz 関数で、$x=Az$ と置換すると $\hat{f_A}(\eta)=\frac1{|\det A|}\hat f\bigl((A^{\mathsf T})^{-1}\eta\bigr)$ である（$Az\cdot(A^{\mathsf T})^{-1}\eta=z\cdot\eta$ による）。$\mathbb Z^n$ の場合を $f_A$ と点 $A^{-1}x$ に使うと、$\sum_mf(x+Am)=\frac1{|\det A|}\sum_k\hat f\bigl((A^{\mathsf T})^{-1}k\bigr)e^{2\pi ik\cdot A^{-1}x}$ で、$w=(A^{\mathsf T})^{-1}k$ と置けば $k\cdot A^{-1}x=w\cdot x$ である。$\square$
Neu99 の Chapter VII (3.2)（p. 447）は、$x=0$ の場合を Schwartz 関数について同じ帰着で証明している。
$t>0$ と格子 $\Gamma$ に対し $\Theta_\Gamma(t):=\sum_{v\in\Gamma}e^{-\pi t|v|^2}$ とおく。$f(x)=e^{-\pi|x|^2/t}$ の Fourier 変換は $\hat f(\xi)=t^{n/2}e^{-\pi t|\xi|^2}$ である（ex-ps-theta の 1 変数の計算を座標ごとに掛ける）。thm-ps-lattice で $x=0$ とおくと
$$
\Theta_\Gamma(1/t)=\frac{t^{n/2}}{\operatorname{vol}(\Gamma)}\,\Theta_{\Gamma^*}(t)
$$
である。$\Gamma^*=\Gamma$ かつ $\operatorname{vol}(\Gamma)=1$ のとき（ユニモジュラーな格子）は $\Theta_\Gamma(1/t)=t^{n/2}\Theta_\Gamma(t)$ となり、ex-ps-theta と同じく 一致の定理 で上半平面に延ばすと、格子(数論) の節「偶ユニモジュラー格子とテータ級数」で使われる変換公式 $\Theta_L(-1/\tau)=(\tau/i)^{n/2}\Theta_L(\tau)$ になる。
条件を外したときの反例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $f$ の連続性 | $f=1_{[0,1]}$（区間 $[0,1]$ の指示関数） | $x=0$ での等式：左辺は $f(0)+f(1)=2$、右辺は $\hat f(0)=1$（$k\ne0$ では $\hat f(k)=\int_0^1e^{-2\pi iky}\,dy=0$） |
| 条件 2（$\sum\lvert\hat f(k)\rvert<\infty$） | 下の $f=F\cdot\Delta$ | 右辺の級数の $x=0$ での収束 |
1 行目の $f$ では条件 1（和は有限個の項）と条件 2（$\sum_k|\hat f(k)|=1$）が成り立ち、外れているのは連続性だけである。$x\notin\mathbb Z$ では左辺も右辺も $1$ で、等式は成り立つ。整数点では左辺の値 $2$ が跳びの両側の値 $1$ と合わず、右辺の連続関数 $1$ に一致しない。
2 行目の $f$ は次のように作る。一様有界性原理 の定理「$0$ で Fourier 級数が発散する連続関数の存在」の $2\pi$ 周期の関数を $u$ とし、$F(x):=u(2\pi x)$ とおく。$\Delta(x):=\max\{0,1-|x|\}$ とすると $\sum_n\Delta(x+n)=1$（すべての $x$）なので、$f:=F\Delta$ は台がコンパクトな連続関数で（条件 1 を満たす）、周期化は $Pf=F$ である。lem-ps-coefficient から $\hat f(k)=c_k(F)$ なので、右辺の $x=0$ での対称な部分和 $\sum_{|k|\le N}\hat f(k)$ は $u$ の Fourier 級数の $0$ での部分和に等しく、有界でない。
補足
和公式は、超関数の言葉では「整数点に置いた Dirac 測度の和 $\sum_n\delta_n$ の Fourier 変換は、それ自身である」と言い表せる。実際、Schwartz 関数 $\varphi$ について $\sum_n\varphi(n)=\sum_k\hat\varphi(k)$ は、緩増加超関数 $T:=\sum_n\delta_n$ について $\langle T,\hat\varphi\rangle=\langle T,\varphi\rangle$ を意味し、これは $\hat T=T$ の定義そのものである（緩増加超関数とFourier変換）。
数論では、和公式は関数等式の源である。Dirichlet L関数 の補題「Gauss 関数の Poisson 和公式」は ex-ps-theta のずらした形と同じ式で、指標でひねったテータ関数の変換公式を経て関数等式を導く。Tateの学位論文 では、同じ役割をアデール上の和公式が果たす。
関連項目
- 前提: Fourier変換, Fourier級数, 一様収束, Fejérの定理
- 例: Theta関数, Gauss積分, Basel問題
- 応用: Dirichlet L関数, 格子(数論), Tateの学位論文, Dedekindゼータ関数
- 関連: Schwartz空間, 緩増加超関数とFourier変換, 一様有界性原理
- 分野: 調和解析
参考文献
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