不確定性原理(Fourier解析)
概要
不確定性原理(Fourier解析)（uncertainty principle）とは、$0$ でない関数とその Fourier 変換は同時に狭い範囲に集中できないという主張の総称である。代表は $f\in L^2(\mathbb R)$、$a,b\in\mathbb R$ についての Heisenberg の不等式 $\int(x-a)^2\lvert f\rvert^2dx\int(\xi-b)^2\lvert\widehat f\rvert^2d\xi\ge\|f\|_2^4/(16\pi^2)$ で、等号は Gauss 関数を平行移動・変調した関数に限る。ほかに、$f$ と $\widehat f$ が $0$ でない点の集合の測度がともに有限なら $f=0$ となる Benedicks の定理などがある。
前提知識: Fourier変換, Plancherelの定理
Fourier 解析の不確定性原理（uncertainty principle）は、「$0$ でない関数とその Fourier 変換は、同時に狭い範囲に集中することができない」という主張の総称である。何を「狭い」と測るかによっていくつもの定理があり、代表が $f\in L^2(\mathbb R)$、$a,b\in\mathbb R$ についての Heisenberg の不等式
$$
\Bigl(\int_{\mathbb R}(x-a)^2\lvert f(x)\rvert^2dx\Bigr)\Bigl(\int_{\mathbb R}(\xi-b)^2\lvert\widehat f(\xi)\rvert^2d\xi\Bigr)\ge\frac{\|f\|_2^4}{16\pi^2}
$$
である。左辺の 2 つの因子は、$\lvert f\rvert^2$ と $\lvert\widehat f\rvert^2$ をそれぞれ質量の分布とみたときの、点 $a$、$b$ のまわりの広がり（2 次のモーメント）である。$f\ne0$ なら、片方を小さくするともう片方は大きくならざるをえない。
信号 $f(t)$ でいえば、短い時間しか鳴らない音は広い周波数の成分を含む。量子力学では、同じ不等式が位置と運動量の不確定性関係 $\Delta x\,\Delta p\ge\frac\hbar2$ になる。ただし、測定などの物理的な解釈は数学の定理の内容ではない。この記事が扱うのは、Fourier 変換についての数学の定理である。
この記事では、Heisenberg の不等式を Schwartz 関数について等号の条件まで証明し、$\mathbb R^n$ への拡張を示す。続いて、広がりを台の大きさで測る形（台の測度の積は $1$ 以上、両方の台が有界なら $f=0$）を証明し、Benedicks の定理と Hardy の定理を紹介する。
記号と準備
$\mathbb R^n$ 上の関数 $f\in L^1(\mathbb R^n)$ の Fourier 変換を
$$
\widehat f(\xi):=\int_{\mathbb R^n}f(x)e^{-2\pi ix\cdot\xi}\,dx
$$
で定め、Plancherelの定理 によって $L^2(\mathbb R^n)$ 上のユニタリ作用素に延長したものも同じ記号で書く（Fourier変換 の定義「Fourier変換」と同じ規格化）。$\|f\|_2:=\bigl(\int\lvert f\rvert^2\bigr)^{1/2}$ である。すべての導関数が任意の多項式よりも速く減衰する滑らかな関数を Schwartz 関数 といい、その全体を $\mathcal S(\mathbb R^n)$ と書く（Schwartz空間）。$f\in\mathcal S(\mathbb R^n)$ なら $\widehat f\in\mathcal S(\mathbb R^n)$ であり、
$$
\widehat{\partial_jf}(\xi)=2\pi i\xi_j\widehat f(\xi),\qquad\|\widehat f\|_2=\|f\|_2
$$
が成り立つ（Fourier変換 の節「基本操作」と定理「Plancherelの等式」）。
$a,b\in\mathbb R$ について $f_{a,b}(x):=e^{2\pi ibx}f(x-a)$ とおくと、変数変換により $\widehat{f_{a,b}}(\xi)=e^{-2\pi ia(\xi-b)}\widehat f(\xi-b)$ である。したがって $\lvert f_{a,b}\rvert$ と $\lvert\widehat{f_{a,b}}\rvert$ は、$\lvert f\rvert$ と $\lvert\widehat f\rvert$ をそれぞれ $a$、$b$ だけ平行移動したものである。位置の移動は周波数側の位相の因子に、周波数の移動（変調）は位置側の位相の因子になり、どちらも絶対値を変えない。
主定理：Heisenberg の不等式
$f\in\mathcal S(\mathbb R)$、$a,b\in\mathbb R$ とする。このとき
$$
\Bigl(\int_{\mathbb R}(x-a)^2\lvert f(x)\rvert^2dx\Bigr)\Bigl(\int_{\mathbb R}(\xi-b)^2\lvert\widehat f(\xi)\rvert^2d\xi\Bigr)\ge\frac{\|f\|_2^4}{16\pi^2}
$$
が成り立つ。等号が成り立つのは、ある $C\in\mathbb C$ と $\gamma>0$ によって $f(x)=Ce^{2\pi ibx}e^{-\gamma(x-a)^2}$ と書けるときであり、そのときに限る。
証明の核心は、部分積分で $\|f\|_2^2$ を $xf$ と $f'$ の内積で表し、Cauchy–Schwarz の不等式で抑えることである。$\|f'\|_2$ は Plancherel の等式によって周波数側の広がりに等しい。
段 1（中心を $0$ に移す）。$g(x):=e^{-2\pi ibx}f(x+a)$ とおくと $g\in\mathcal S(\mathbb R)$ であり、前節の計算から $\int x^2\lvert g\rvert^2dx=\int(x-a)^2\lvert f\rvert^2dx$、$\lvert\widehat g(\xi)\rvert=\lvert\widehat f(\xi+b)\rvert$ より $\int\xi^2\lvert\widehat g\rvert^2d\xi=\int(\xi-b)^2\lvert\widehat f\rvert^2d\xi$、$\|g\|_2=\|f\|_2$ である。$f(x)=g(x-a)e^{2\pi ib(x-a)}$ なので、$g(x)=Ce^{-\gamma x^2}$ と $f(x)=Ce^{-2\pi iab}e^{2\pi ibx}e^{-\gamma(x-a)^2}$ は同値である。よって $a=b=0$ の場合を示せばよい。以下 $a=b=0$ とする。
段 2（部分積分）。$(\lvert f\rvert^2)'=f'\overline f+f\overline{f'}=2\operatorname{Re}\bigl(f\overline{f'}\bigr)$ である。$f$ は Schwartz 関数なので $x\lvert f(x)\rvert^2\to0$（$\lvert x\rvert\to\infty$）であり、部分積分により
$$
\|f\|_2^2=\int_{\mathbb R}1\cdot\lvert f(x)\rvert^2dx=\Bigl[x\lvert f(x)\rvert^2\Bigr]_{-\infty}^{\infty}-\int_{\mathbb R}x\,(\lvert f\rvert^2)'(x)\,dx=-2\operatorname{Re}\int_{\mathbb R}xf(x)\overline{f'(x)}\,dx
$$
である。
段 3（Cauchy–Schwarz の不等式と Plancherel の等式）。$\operatorname{Re}z\ge-\lvert z\rvert$ と Cauchy–Schwarzの不等式 から
$$
\|f\|_2^2\le2\Bigl\lvert\int_{\mathbb R}xf(x)\overline{f'(x)}\,dx\Bigr\rvert\le2\|xf\|_2\,\|f'\|_2
$$
である。$\widehat{f'}(\xi)=2\pi i\xi\widehat f(\xi)$ と Plancherel の等式から $\|f'\|_2^2=4\pi^2\int\xi^2\lvert\widehat f(\xi)\rvert^2d\xi$ なので、両辺を 2 乗すると $\|f\|_2^4\le16\pi^2\int x^2\lvert f\rvert^2\,dx\int\xi^2\lvert\widehat f\rvert^2\,d\xi$ を得る。
段 4（等号の条件）。$f=0$ なら両辺とも $0$ で等号が成り立ち、これは $C=0$ の場合である。$f\ne0$ とする。このとき $xf\ne0$ である。段 3 の 2 つ目の不等式で等号が成り立つのは、Cauchy–Schwarz の不等式の等号の条件により、ある $c\in\mathbb C$ で $f'=c\,xf$ となるときである。このとき $\int xf\overline{f'}=\overline c\,\|xf\|_2^2$、$\|f'\|_2=\lvert c\rvert\,\|xf\|_2$ なので、1 つ目の不等式の等号は $-\operatorname{Re}\overline c=\lvert c\rvert$、すなわち $c$ が $0$ 以下の実数であることと同値である。$c=-2\gamma$（$\gamma\ge0$）と書くと $\bigl(f(x)e^{\gamma x^2}\bigr)'=\bigl(f'(x)+2\gamma xf(x)\bigr)e^{\gamma x^2}=0$ なので $f(x)=Ce^{-\gamma x^2}$ である。$\gamma=0$ なら $f$ は $0$ でない定数で Schwartz 関数でないので、$\gamma>0$ である。
逆に $f(x)=Ce^{-\gamma x^2}$（$C\ne0$、$\gamma>0$）なら $f'=-2\gamma xf$ なので、$-2\operatorname{Re}\int xf\overline{f'}=4\gamma\|xf\|_2^2$、$2\|xf\|_2\|f'\|_2=4\gamma\|xf\|_2^2$ となり、段 3 の 2 つの不等式はどちらも等号である。$\square$
分散による言い換え
$\|f\|_2=1$ なら、Plancherel の等式から $\lvert f\rvert^2$ と $\lvert\widehat f\rvert^2$ はどちらも積分が $1$ の $0$ 以上の関数、すなわち確率密度である。確率密度 $p$ の分散を $V(p):=\inf_{a\in\mathbb R}\int(x-a)^2p(x)\,dx$ とおく（2 次のモーメントが有限なら、下限は平均 $a=\int xp(x)\,dx$ でとられる。分散）。thm-up-heisenberg で $a$、$b$ をそれぞれの平均にとると
$$
V\bigl(\lvert f\rvert^2\bigr)\,V\bigl(\lvert\widehat f\rvert^2\bigr)\ge\frac1{16\pi^2},\qquad\text{標準偏差の積は }\frac1{4\pi}\text{ 以上}
$$
である（FS97 Theorem 1.1 はこの形で述べる）。
拡大 $f_s(x):=s^{1/2}f(sx)$（$s>0$）は $\|f_s\|_2=\|f\|_2$ を保ち、$\widehat{f_s}(\xi)=s^{-1/2}\widehat f(\xi/s)$ である。変数変換により $\int x^2\lvert f_s\rvert^2=s^{-2}\int x^2\lvert f\rvert^2$、$\int\xi^2\lvert\widehat{f_s}\rvert^2=s^2\int\xi^2\lvert\widehat f\rvert^2$ となり、積は変わらない。$s$ を大きくして $f$ を位置の側で縮めると、周波数の側はちょうど同じ割合で広がる。不等式は、この縮め方と広がり方の釣り合いに下限があることを述べている。
例
$f(x)=e^{-\pi x^2}$ では $\widehat f=f$ である（Fourier変換 の節「Gauss関数と反転公式」）。Gauss積分 の定理「Gauss積分のモーメント」で $a=2\pi$ とすると
$$
\|f\|_2^2=\int e^{-2\pi x^2}dx=\frac1{\sqrt2},\qquad\int x^2e^{-2\pi x^2}dx=\frac1{2\cdot2\pi}\sqrt{\frac\pi{2\pi}}=\frac1{4\sqrt2\,\pi}
$$
なので、左辺は $\bigl(\frac1{4\sqrt2\,\pi}\bigr)^2=\frac1{32\pi^2}$、右辺は $\frac{(1/\sqrt2)^2}{16\pi^2}=\frac1{32\pi^2}$ であり、等号が成り立つ。$\lvert f\rvert^2$ と $\lvert\widehat f\rvert^2$ はどちらも分散 $\frac1{4\pi}$ の正規分布の密度（の定数倍）である。
$f(x)=e^{-\lvert x\rvert}$ は Schwartz 関数ではない（後の節「一般の $L^2$ 関数」の場合にあたる）が、両辺を計算できる。$\|f\|_2^2=\int e^{-2\lvert x\rvert}dx=1$、$\int x^2e^{-2\lvert x\rvert}dx=2\int_0^\infty x^2e^{-2x}dx=\frac12$ である。$\widehat f(\xi)=\frac2{1+4\pi^2\xi^2}$（Fourier変換 の節「両側指数関数」で $a=1$）であり、$u=2\pi\xi$ と置き換えると
$$
\int\xi^2\lvert\widehat f(\xi)\rvert^2d\xi=\frac1{2\pi^3}\int_{\mathbb R}\frac{u^2}{(1+u^2)^2}\,du=\frac1{2\pi^3}\Bigl(\pi-\frac\pi2\Bigr)=\frac1{4\pi^2}
$$
である（$\frac{u^2}{(1+u^2)^2}=\frac1{1+u^2}-\frac1{(1+u^2)^2}$ と $\int\frac{du}{(1+u^2)^2}=\frac\pi2$ を使った）。左辺は $\frac12\cdot\frac1{4\pi^2}=\frac1{8\pi^2}$ で、右辺 $\frac1{16\pi^2}$ のちょうど 2 倍である。
区間の指示関数 $f=1_{[-1/2,1/2]}$ では $\widehat f(\xi)=\frac{\sin\pi\xi}{\pi\xi}$ なので $\int\xi^2\lvert\widehat f\rvert^2d\xi=\frac1{\pi^2}\int\sin^2\pi\xi\,d\xi=\infty$ である。位置の側で台が有界でも、角があると周波数の側の 2 次のモーメントは有限にならない。
高次元
$f\in\mathcal S(\mathbb R^n)$ について
$$
\Bigl(\int_{\mathbb R^n}\lvert x\rvert^2\lvert f(x)\rvert^2dx\Bigr)\Bigl(\int_{\mathbb R^n}\lvert\xi\rvert^2\lvert\widehat f(\xi)\rvert^2d\xi\Bigr)\ge\frac{n^2}{16\pi^2}\|f\|_2^4
$$
である。$x$、$\xi$ を $x-a$、$\xi-b$（$a,b\in\mathbb R^n$）に替えても成り立つ。
各 $j$ について $x_j$ に関する部分積分（境界の項は $f$ の急減少で消える）から $\int x_j\,\partial_j\bigl(\lvert f\rvert^2\bigr)dx=-\int\lvert f\rvert^2dx$ である。$j=1,\dots,n$ について足し、$\partial_j\lvert f\rvert^2=2\operatorname{Re}\bigl(f\,\overline{\partial_jf}\bigr)$ を使うと
$$
n\|f\|_2^2=-2\operatorname{Re}\int_{\mathbb R^n}f(x)\sum_{j=1}^nx_j\overline{\partial_jf(x)}\,dx\le2\int\lvert x\rvert\lvert f\rvert\lvert\nabla f\rvert\,dx\le2\,\bigl\|\lvert x\rvert f\bigr\|_2\,\bigl\|\lvert\nabla f\rvert\bigr\|_2
$$
である（各点で $\mathbb C^n$ の Cauchy–Schwarz の不等式、次に積分の Cauchy–Schwarz の不等式）。$\widehat{\partial_jf}=2\pi i\xi_j\widehat f$ と Plancherel の等式から $\int\lvert\nabla f\rvert^2=\sum_j\int\lvert\partial_jf\rvert^2=4\pi^2\int\lvert\xi\rvert^2\lvert\widehat f\rvert^2$ なので、2 乗して主張を得る。$a,b$ のある場合は、prf-up-heisenberg の段 1 と同じく $e^{-2\pi ib\cdot x}f(x+a)$ に替えればよい。$\square$
$n$ 次元の Gauss 関数 $e^{-\pi\lvert x\rvert^2}$ は各座標の Gauss 関数の積なので、各座標で等号になり、この不等式でも等号が成り立つ。
一般の $L^2$ 関数
thm-up-heisenberg と prop-up-higher は、Schwartz 関数に限らず、すべての $f\in L^2(\mathbb R^n)$ と $a,b\in\mathbb R^n$ について成り立つ（左辺が $\infty$ になる場合も含む）。1 次元では等号の条件も同じで、$f(x)=Ce^{2\pi ibx}e^{-\gamma(x-a)^2}$（$C\in\mathbb C$、$\gamma>0$）のときに限る（FS97 Theorem 1.1、pp. 209–210。$n$ 次元は Corollary 2.8、p. 213）。この記事では一般の場合を証明しない。1 次元の証明は、$\int\xi^2\lvert\widehat f\rvert^2< \infty$ なら $f$ は絶対連続（ほとんど至る所等しい関数を選んで）で $f'\in L^2$ となることを確かめ、上と同じ部分積分を有界区間で行う。
台の大きさで測る不確定性原理
広がりを 2 次のモーメントではなく、関数が $0$ でない点の集合の大きさで測ることもできる。$f\in L^2(\mathbb R)$ について $\Sigma(f):=\{x\mid f(x)\ne0\}$ とし、その Lebesgue 測度を $\lvert\Sigma(f)\rvert$ と書く（$f$ をほとんど至る所等しい関数に替えても測度は変わらない）。この節では $\lvert\Sigma(f)\rvert$ を簡単に「台の測度」と呼ぶ。
$f\in L^2(\mathbb R)$、$f\ne0$ とする。$\lvert\Sigma(f)\rvert$ と $\lvert\Sigma(\widehat f)\rvert$ がどちらも有限なら、$\lvert\Sigma(f)\rvert\cdot\lvert\Sigma(\widehat f)\rvert\ge1$ である。
$A:=\lvert\Sigma(f)\rvert$、$B:=\lvert\Sigma(\widehat f)\rvert$ とおく。Cauchy–Schwarz の不等式から $\|f\|_1=\int_{\Sigma(f)}\lvert f\rvert\le A^{1/2}\|f\|_2$ なので $f\in L^1\cap L^2$ であり、$\widehat f$ は定義の積分で与えられ（Plancherelの定理 の定理「Plancherelの定理（$\mathbb{R}^n$）」の 2）、すべての $\xi$ で $\lvert\widehat f(\xi)\rvert\le\|f\|_1\le A^{1/2}\|f\|_2$ である。Plancherel の等式から
$$
\|f\|_2^2=\|\widehat f\|_2^2=\int_{\Sigma(\widehat f)}\lvert\widehat f(\xi)\rvert^2d\xi\le B\cdot A\,\|f\|_2^2
$$
であり、$\|f\|_2>0$ で割って $AB\ge1$ を得る。$\square$
同じ論法は有限アーベル群 $G$ の上で $\lvert\operatorname{supp}f\rvert\cdot\lvert\operatorname{supp}\widehat f\rvert\ge\lvert G\rvert$ を与え、そこでは部分群の指示関数で等号が成り立つ（離散Fourier変換 の定理「台の大きさについての不確定性原理」）。$\mathbb R$ の上ではずっと強いことが成り立ち、$f\ne0$ なら $\lvert\Sigma(f)\rvert$ と $\lvert\Sigma(\widehat f)\rvert$ がともに有限になること自体が起こらない。まず、$f$ と $\widehat f$ がともに有界な区間の外で $0$ になる場合を示す。
$f\in L^1(\mathbb R)$ が有界な区間 $[-R,R]$ の外でほとんど至る所 $0$ であり、$\widehat f$ が空でない開区間の上で $0$ であるとする。このとき $f=0$（ほとんど至る所）である。とくに、$f$ と $\widehat f$ の台がともに有界なら $f=0$ である。
複素数 $z$ について $F(z):=\int_{-R}^{R}f(x)e^{-2\pi ixz}\,dx$ とおく。$e^{-2\pi ixz}=\sum_{k\ge0}\frac{(-2\pi ixz)^k}{k!}$ で、$\lvert x\rvert\le R$ なら各項の絶対値は $\frac{(2\pi R\lvert z\rvert)^k}{k!}$ 以下であり、その和 $e^{2\pi R\lvert z\rvert}$ は有限なので、項別に積分してよい（優収束定理）。よって
$$
F(z)=\sum_{k\ge0}\Bigl(\frac{(-2\pi i)^k}{k!}\int_{-R}^{R}x^kf(x)\,dx\Bigr)z^k
$$
であり、係数の絶対値は $\frac{(2\pi R)^k}{k!}\|f\|_1$ 以下なので、右辺の冪級数はすべての $z$ で収束する。したがって $F$ は整関数で、実軸の上では $F=\widehat f$ である。$F$ は空でない開区間の上で $0$ なので、一致の定理 により $F\equiv0$、とくに $\widehat f\equiv0$ である。$\widehat f=0$ は $L^1$ に属するので、Fourier変換 の定理「Fourier反転公式」により $f=0$ がほとんど至る所で成り立つ。後半は、$\widehat f$ の台が有界なら $\widehat f$ は大きな $\lvert\xi\rvert$ の開区間の上で $0$ であることによる。$\square$
$L^2$ の関数についての同じ主張は Paley–Wienerの定理 の系「台がコンパクトな関数のFourier変換の零点」にある。台の有界性を測度の有限性に弱めても結論は変わらない。
$f\in L^1(\mathbb R^n)$ について $\lvert\Sigma(f)\rvert\cdot\lvert\Sigma(\widehat f)\rvert< \infty$ なら、$f=0$ である。
この定理はこの記事では証明しない（FS97 Theorem 7.2、p. 224 に、Poisson の和公式と、$0$ でない三角多項式は正の測度の集合の上で $0$ にならないことを使う Benedicks の証明がある）。prop-up-support-product は、この定理と比べると弱いが、有限アーベル群でも成り立つ形をしている。
減衰の速さで測る不確定性原理
Gauss 関数 $e^{-\pi x^2}$ は自分自身の Fourier 変換なので、$f$ と $\widehat f$ がともに $e^{-\pi x^2}$ 程度の速さで減衰することはありうる。$f\ne0$ なら、両方がそれより速く減衰すること（次の定理で $a>1$ かつ $b>1$ の場合）はできない。
$a,b>0$ とし、可測関数 $f$ がある $c>0$ について $\lvert f(x)\rvert\le ce^{-a\pi x^2}$、$\lvert\widehat f(\xi)\rvert\le ce^{-b\pi\xi^2}$ を満たすとする。
- $ab>1$ なら $f=0$ である。
- $ab=1$ なら、ある定数 $C$ で $f(x)=Ce^{-a\pi x^2}$ である。
- $ab< 1$ なら、このような $f$ の全体は無限次元のベクトル空間である。
この定理はこの記事では証明しない（FS97 Theorem 7.6、p. 227。証明は $\widehat f$ を整関数に延ばして増大度を調べる）。3 では、Fourier 変換の固有関数である Hermite 関数 $H_k(\sqrt{2\pi}x)e^{-\pi x^2}$ を拡大した $H_k(\sqrt{2\pi}\,sx)e^{-\pi s^2x^2}$（$a< s^2< \frac1b$）を使う（Hermite多項式）。
量子力学との関係
量子力学では、1 次元の粒子の状態を $\|\psi\|_2=1$ の関数 $\psi\in L^2(\mathbb R)$ で表し、$\lvert\psi(x)\rvert^2$ を位置の確率密度とする。運動量 $p$ の確率密度は、Planck 定数 $h=2\pi\hbar$ を使って $p=h\xi$ と変数を替えた $\lvert\widehat\psi(\xi)\rvert^2$ で与えられる。位置と運動量の標準偏差を $\Delta x$、$\Delta p$ とすると $\Delta p=h\,\Delta\xi$ なので、thm-up-heisenberg の分散の形から
$$
\Delta x\,\Delta p=h\,\Delta x\,\Delta\xi\ge\frac h{4\pi}=\frac\hbar2
$$
を得る。より一般に、自己共役作用素 $A$、$B$、実数 $\alpha$、$\beta$ と交換子 $[A,B]=AB-BA$ の定義域の元 $u$ について $\|(A-\alpha)u\|\,\|(B-\beta)u\|\ge\frac12\lvert\langle[A,B]u,u\rangle\rvert$ が成り立ち（Robertson の不等式）、位置と運動量の作用素に当てると同じ不等式になる（量子力学の関数解析的構造 の命題「Robertsonの不確定性不等式」）。作用素の定義域に注意が要ることは FS97 §2（pp. 210–211）で論じられている。
物理の不確定性原理は測定などの解釈を含むが、この記事の定理は Fourier 変換についての不等式であり、物理の解釈とは独立に使われる。
ほかの形との比較
| 測り方 | 主張 | 証明 |
|---|---|---|
| 2 次のモーメント | $\int(x-a)^2\lvert f\rvert^2\int(\xi-b)^2\lvert\widehat f\rvert^2\ge\frac{\|f\|_2^4}{16\pi^2}$ | Schwartz 関数で thm-up-heisenberg、一般は引用 |
| 台の測度 | $f\ne0$ なら積は $1$ 以上（prop-up-support-product）、実際には有限にならない（Benedicks） | 前者は証明、後者は引用 |
| 台の有界性 | 両方の台が有界なら $f=0$ | thm-up-compact-support |
| 減衰の速さ | $\lvert f\rvert\le ce^{-a\pi x^2}$、$\lvert\widehat f\rvert\le ce^{-b\pi\xi^2}$、$ab>1$ なら $f=0$ | 引用（Hardy） |
| 時間周波数平面の面積 | 規格化した短時間 Fourier 変換のエネルギー（全体で $1$）のうち、面積 $A$ の集合に入るのは $A$ 以下 | 時間周波数解析 の系「再構成公式と集中の限界」 |
| 有限アーベル群 | $\lvert\operatorname{supp}f\rvert\,\lvert\operatorname{supp}\widehat f\rvert\ge\lvert G\rvert$ | 離散Fourier変換 |
仮定を外したときの反例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| thm-up-heisenberg の定義域が $\mathbb R$ であること（周期 $2\pi$ の関数と Fourier 係数に替える） | 円周上の定数関数 $f=1$ | 正の下限（位置の広がりは有限で、周波数の広がりは $0$） |
| thm-up-compact-support の $f$ の台の有界性 | $\widehat f=\varphi$（$\varphi$ は $[1,2]$ に台をもつ $0$ でない滑らかな関数）となる Schwartz 関数 $f$ | $\widehat f$ が開区間 $(-1,1)$ で $0$ でも $f\ne0$ |
| thm-up-hardy の $ab>1$（$ab\ge1$ にする） | $a=b=1$、$f(x)=e^{-\pi x^2}$ | $f=0$ |
| thm-up-benedicks の $f$ が関数であること（超関数にする） | $\sum_{k\in\mathbb Z}\delta(x-k)$ | 台の測度が $0$ でも $0$ でない |
1・3 行目は直接の計算、2 行目は Fourier 変換の性質、4 行目は Poisson の和公式による。
各行の確かめを開く
1 行目。 周期 $2\pi$ の関数で、位置の広がりを $\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\lvert f\rvert^2dx$、周波数の広がりを $\sum_nn^2\lvert\hat f(n)\rvert^2$ で測る（$\hat f(n)$ は Fourier 係数。Fourier級数）。$f=1$ では前者は $\frac{\pi^2}3$、後者は $\hat f(0)=1$ 以外の係数が $0$ なので $0$ で、積は $0$ である。一方 $\frac1{2\pi}\int\lvert f\rvert^2=1$ なので、積を $\|f\|^4$ の正の定数倍で下から抑えることはできない。円周の上では周波数が整数に限られ、周波数がちょうど 1 つの関数 $e^{inx}$ も円周全体に一様に広がるだけで、位置の広がりは有限にとどまる。
2 行目。 $\varphi$ は Schwartz 関数なので $f:=\mathcal F^{-1}\varphi$ も Schwartz 関数で、$\widehat f=\varphi$ である（Fourier変換 の節「急減少関数での反転」）。$\varphi$ は $(-1,1)$ で $0$ であり、$\varphi\ne0$ なので $f\ne0$ である。thm-up-compact-support から、この $f$ の台は有界でない。
3 行目。 $\widehat f=f$ なので $c=1$、$a=b=1$ で 2 つの評価が成り立ち、$f\ne0$ である。これは thm-up-hardy の 2 の場合である。
4 行目。 Poisson の和公式は、超関数の言葉では $\sum_k\delta(x-k)$ の Fourier 変換が自分自身であることを述べる（Poissonの和公式、FS97 p. 225）。台 $\mathbb Z$ の測度は $0$ なので測度の積は $0$ だが、超関数として $0$ でない。
補足
Heisenberg の不等式の主張（$L^2$ の関数、等号の条件を含む）と、部分積分と Cauchy–Schwarz の不等式による証明は FS97 Theorem 1.1（pp. 209–210）にあり、この記事の証明はそれを Schwartz 関数に限って書いたものである。$n$ 次元の形は FS97 Corollary 2.8（p. 213）、台の測度の積の下限は同 (7.1)（p. 224）、Benedicks の定理は Theorem 7.2（p. 224）、Hardy の定理は Theorem 7.6（p. 227）にある。台がともに有界な場合の証明は、この記事で示した証明による。
関連項目
- 前提: Fourier変換, Plancherelの定理, Schwartz空間
- 比較: 量子力学の関数解析的構造, 離散Fourier変換, Paley–Wienerの定理
- 応用: 時間周波数解析, Gauss積分
- 発展: Hermite多項式, Poissonの和公式, 調和解析
参考文献
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