Schurの補題(表現論)

1：核 $\ker f$ は $M$ の部分加群であり（$f(x)=0$ なら $f(rx)=rf(x)=0$）、$f\neq0$ なので $\ker f\neq M$ である。$M$ は単純なので $\ker f=0$、すなわち $f$ は単射である。
2：像 $f(M)$ は $N$ の部分加群であり（$rf(x)=f(rx)$）、$f\neq0$ なので $f(M)\neq0$ である。$N$ は単純なので $f(M)=N$、すなわち $f$ は全射である。
3：1 と 2 から $f$ は全単射な準同型である。逆写像 $f^{-1}$ も準同型である：$y=f(x)$ と書くと $f^{-1}(ry)=f^{-1}(f(rx))=rx=rf^{-1}(y)$。よって $f$ は同型である。$M$ と $N$ が同型でなければ、$0$ でない準同型は存在しないので $\operatorname{Hom}_R(M,N)=0$ である。
4：$S\neq0$ なので $\mathrm{id}_S\neq0$ であり、$\operatorname{End}_R(S)$ は零環でない。$0$ でない $f\in\operatorname{End}_R(S)$ は 3 により同型であり、逆写像 $f^{-1}$ は $\operatorname{End}_R(S)$ に属して $ff^{-1}=f^{-1}f=\mathrm{id}_S$ を満たす。よって $\operatorname{End}_R(S)$ は斜体である。$\square$

1：$f\in\operatorname{End}_A(S)$ とする。$f$ は $0$ でない有限次元 $k$ ベクトル空間 $S$ の $k$ 線形変換で、$k$ は代数閉体なので、固有多項式 $\det(t\,\mathrm{id}_S-f)$ は $k$ に根 $\lambda$ をもつ。$k$ の像は $A$ の中心にあるので、$\lambda\,\mathrm{id}_S$ は $A$ 加群の準同型であり（$\lambda\,(ax)=a\,(\lambda x)$）、$g:=f-\lambda\,\mathrm{id}_S\in\operatorname{End}_A(S)$ である。$\lambda$ の固有ベクトル $v\neq0$ について $g(v)=0$ なので $g$ は単射でなく、thm-schur-lemma-ring の 1 の対偶により $g=0$、すなわち $f=\lambda\,\mathrm{id}_S$ である。写像 $\lambda\mapsto\lambda\,\mathrm{id}_S$ は単射な環準同型で（$S\neq0$）、いま全射であることが示されたので同型である。
2：$S\not\cong T$ なら thm-schur-lemma-ring の 3 により $\operatorname{Hom}_A(S,T)=0$ である。同型 $\varphi\colon S\to T$ があるとき、$f\mapsto\varphi^{-1}\circ f$ は $k$ 線形な全単射 $\operatorname{Hom}_A(S,T)\to\operatorname{End}_A(S)$ であり、1 によりその次元は $1$ である。$\square$

要点：$D:=\operatorname{End}_A(S)$ は斜体で、$f\mapsto f(v)$ により $S$ に埋め込まれるので可算次元である。一方、スカラーでない $f\in D$ があると、$(f-\lambda\,\mathrm{id}_S)^{-1}$（$\lambda\in\mathbb{C}$）が非可算個の一次独立な元になる。

$\operatorname{End}_K(V)\times\operatorname{End}_K(W)$ の中で、$(\rho_V(\lambda),\rho_W(\lambda))$（$\lambda\in\Lambda$）と $(c\,\mathrm{id}_V,c\,\mathrm{id}_W)$（$c\in K$）が生成する部分環を $A$ とすると、$A$ は $K$ 代数で、$V,W$ は成分への射影により $A$ 加群になる。$A$ の元は $\rho(\lambda)$ たちの積の一次結合なので、不変部分空間は $A$ 部分加群と、表現の射は $A$ 加群の準同型と一致する。よって既約な $V$ は単純 $A$ 加群であり、1・2 は thm-schur-lemma-ring の 3・4 から、3 は thm-schur-lemma-closed の 1 と prop-schur-lemma-countable から従う。$\square$

1：$T\in\operatorname{End}_\Lambda(V)$ なので、cor-schur-lemma-representations の 3 による。
2：各 $\rho_V(\mu)$ は $T=\rho_V(\mu)$ として 1 の仮定を満たすのでスカラー倍である。すると $V$ のどの部分空間も不変であり、既約性から $V\neq0$ の部分空間は $0$ と $V$ だけ、すなわち $\dim V=1$ である。
3：$z\in Z(G)$ と $g\in G$ について $\rho_V(z)\rho_V(g)=\rho_V(zg)=\rho_V(gz)=\rho_V(g)\rho_V(z)$ なので、1 により $\rho_V(z)=\omega_V(z)\,\mathrm{id}_V$ と書ける。$\rho_V(z)$ は可逆なので $\omega_V(z)\neq0$ であり、$\rho_V(zz')=\rho_V(z)\rho_V(z')$ から $\omega_V$ は準同型である。$\square$

直和の普遍性から、表現の射 $V\to W$ は、$V$ の各直和成分から $W$ の各直和成分への表現の射を成分とする行列と一対一に対応し、合成は行列の積に対応する。thm-schur-lemma-closed の 2（cor-schur-lemma-representations の証明と同じ帰着で表現にも当てはまる）により、$V_i$ から $V_j$ への表現の射の空間は $i=j$ のとき $K\,\mathrm{id}$、$i\neq j$ のとき $0$ である。よって射は、各 $i$ について $b_i\times a_i$ の $K$ 係数の行列を並べたものと一対一に対応し、1 が従う。2 は 1 を $V=V_i$、$W=V$ に当てはめたものである。3：1 により $\dim\operatorname{End}_\Lambda(V)=\sum_ia_i^2$ であり、これが $1$ であることは、ちょうど 1 つの $i$ で $a_i=1$、ほかは $0$、すなわち $V\cong V_i$ であることと同値である。$\square$

$s\in G$ について、和の添字を $g\mapsto gs$ と付け替えると
$$ \rho_2(s)^{-1}h^0\rho_1(s)=\frac{1}{\lvert G\rvert}\sum_{g}\rho_2(gs)^{-1}\,h\,\rho_1(gs)=h^0 $$
なので $h^0$ は表現の射である。1 は cor-schur-lemma-representations の 1 による。2：cor-schur-lemma-representations の 3 により $h^0=c\,\mathrm{id}$ と書ける。跡をとると、$\operatorname{tr}(\rho_1(g)^{-1}h\rho_1(g))=\operatorname{tr}h$ なので $nc=\operatorname{tr}h^0=\operatorname{tr}h$ である。標数 $0$ なので $n\neq0$ であり、$c=\operatorname{tr}h/n$ である。$\square$