Poisson核

1．$w:=re^{i(\theta-t)}$ とおくと $|w|=r< 1$ なので、$\sum_{k\ge0}w^k$ と $\sum_{k\ge1}\overline w^{\,k}$ は $\sum_kr^k< \infty$ を優級数として一様に絶対収束し、
$$ \sum_{k\ge0}w^k+\sum_{k\ge1}\overline w^{\,k}=\frac1{1-w}+\frac{\overline w}{1-\overline w}=\frac{(1-\overline w)+\overline w(1-w)}{|1-w|^2}=\frac{1-|w|^2}{|1-w|^2} $$
である。左辺は $\sum_kr^{|k|}e^{ik(\theta-t)}$ であり、$|1-w|^2=1-2r\cos(\theta-t)+r^2$ なので右辺は $P(re^{i\theta},e^{it})$ に等しい。
2．$g$ は有界なので、1 の一様収束から項別に積分できて
$$ P[g](re^{i\theta})=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}g(e^{it})\sum_kr^{|k|}e^{ik\theta}e^{-ikt}\,dt=\sum_kr^{|k|}e^{ik\theta}\,\hat g(k) $$
となる。$\square$

1．$v(x):=1-|x|^2$、$w(x):=|x-\zeta|^{-n}$ とおき、Laplace作用素 の命題「積の Laplace 作用素」$\Delta(vw)=w\Delta v+2\nabla v\cdot\nabla w+v\Delta w$ を使う。$\Delta v=-2n$、$\nabla v=-2x$、$\nabla w=-n|x-\zeta|^{-n-2}(x-\zeta)$ であり、調和関数 の記事の例「基本解の形の関数」の式 $\Delta|y|^t=t(t+n-2)|y|^{t-2}$ を $t=-n$、$y=x-\zeta$ で使うと $\Delta w=2n|x-\zeta|^{-n-2}$ である。よって $x\ne\zeta$ で
$$ \Delta(vw)=2n|x-\zeta|^{-n-2}\Bigl(-|x-\zeta|^2+2x\cdot(x-\zeta)+1-|x|^2\Bigr) $$
である。括弧の中を展開すると $-|x|^2+2x\cdot\zeta-1+2|x|^2-2x\cdot\zeta+1-|x|^2=0$（$|\zeta|=1$ を使った）なので、$\Delta(vw)=0$ である。
2．$|x|< 1$ なので分子 $1-|x|^2$ は正である。
3．$x=0$ なら $P(0,\zeta)=1$ である。$x\ne0$ とし、$\eta:=x/|x|\in S$ とおく。$\zeta\in S$ について
$$ \bigl||x|\zeta-\eta\bigr|^2=|x|^2-2|x|\,\zeta\cdot\eta+1=|x|^2-2\,x\cdot\zeta+1=|x-\zeta|^2 $$
であり、$1-|x|^2=1-\bigl||x|\zeta\bigr|^2$ だから、$P(x,\zeta)=h(|x|\zeta)$、$h(y):=(1-|y|^2)|y-\eta|^{-n}$ と書ける。1 により $h$ は $\mathbb{R}^n\setminus\{\eta\}$ で調和なので、$y\mapsto h(|x|y)$ は $|y|< 1/|x|$ で調和であり、この開球は閉球 $\overline B$ を含む。調和関数 の記事の定理「平均値の性質」により
$$ \int_SP(x,\zeta)\,d\sigma(\zeta)=\int_Sh(|x|\zeta)\,d\sigma(\zeta)=h(0)=1 $$
である。
4．$|x-\eta|< \delta/2$ かつ $|\zeta-\eta|\ge\delta$ なら $|x-\zeta|\ge|\zeta-\eta|-|x-\eta|>\delta/2$ なので、$P(x,\zeta)\le(1-|x|^2)(2/\delta)^n$ である。$x\to\eta$ のとき $|x|\to1$ なので右辺は $0$ に収束する。
5．三角不等式から $1-|x|\le|x-\zeta|\le1+|x|$ であり、$1-|x|^2=(1-|x|)(1+|x|)$ である。分母を上と下から押さえれば 2 つの不等式が出る。
6．$|Tx|=|x|$、$|Tx-T\zeta|=|T(x-\zeta)|=|x-\zeta|$ による。$\square$

$0< \rho< 1$ を固定する。$|x|\le\rho$、$\zeta\in S$ では $|x-\zeta|\ge1-\rho>0$ なので、$P(x,\zeta)$ の $x$ についての任意の階数の偏導関数は、コンパクト集合 $\overline B(0,\rho)\times S$ の上で連続、したがって有界である。$g$ は有界なので、$|x|< \rho$ で積分記号の下で何回でも微分でき、$P[g]$ は $C^\infty$ 級で、1 から
$$ \Delta P[g](x)=\int_Sg(\zeta)\,\Delta_xP(x,\zeta)\,d\sigma(\zeta)=0 $$
である。$\rho$ は任意なので $B$ 全体で成り立つ。最後の不等式は prop-pk-basic の 2・3 から $|P[g](x)|\le\sup|g|\int_SP(x,\zeta)\,d\sigma=\sup|g|$ である。$\square$

$\varepsilon>0$ をとる。$g$ の $\eta$ での連続性から、$\delta>0$ があって、$\zeta\in S$、$|\zeta-\eta|< \delta$ なら $|g(\zeta)-g(\eta)|< \varepsilon$ である。$M:=\sup_S|g|$ とおく。prop-pk-basic の 3 から $g(\eta)=\int_Sg(\eta)P(x,\zeta)\,d\sigma(\zeta)$ なので、2 も使って
$$ |P[g](x)-g(\eta)|\le\int_S|g(\zeta)-g(\eta)|\,P(x,\zeta)\,d\sigma(\zeta)\le\varepsilon\int_{|\zeta-\eta|< \delta}P(x,\zeta)\,d\sigma(\zeta)+2M\int_{|\zeta-\eta|\ge\delta}P(x,\zeta)\,d\sigma(\zeta) $$
である。第 1 項は 3 から $\varepsilon$ 以下である。第 2 項は $2M\sup\{P(x,\zeta)\mid|\zeta-\eta|\ge\delta\}$ 以下で、4 から $x\to\eta$ のとき $0$ に収束する。よって $\limsup_{x\to\eta}|P[g](x)-g(\eta)|\le\varepsilon$ であり、$\varepsilon>0$ は任意なので $P[g](x)\to g(\eta)$ である。$\square$

$g(\zeta):=f(a+r\zeta)$ は $S$ 上の連続関数で、$P_{a,r}[f](x)=P[g]\bigl((x-a)/r\bigr)$ である。調和関数を平行移動・拡大したものは調和なので（Laplace作用素 の定理「平行移動・拡大・直交変換との関係」）、lem-pk-harmonic から $u$ は $B(a,r)$ 上で調和である。$B(a,r)$ の中での連続性は調和性から、球面の上の点どうしの連続性は $f$ の連続性から出る。残るのは、$y\in\partial B(a,r)$ に $B(a,r)$ の中から近づくときで、これは $g$ が $S$ のすべての点で連続なので thm-pk-boundary による。$\square$

境界値 $u|_{\partial B(a,r)}$ に対して cor-pk-dirichlet で作った関数 $w$ をとると、$u-w$ は $\overline B(a,r)$ 上で連続、$B(a,r)$ 上で調和で、球面の上で $0$ である。調和関数 の記事の系「境界値による一意性」により $u=w$ であり、$B(a,r)$ の上で $w=P_{a,r}[u|_{\partial B(a,r)}]$ である。$\square$

1．調和性は lem-pk-harmonic である。$P>0$ で、$g=1$ となる弧も $g=0$ となる弧も $\sigma$ 測度が正なので、$u(x)=\int gP\,d\sigma>0$、$1-u(x)=\int(1-g)P\,d\sigma>0$ である。
2．複素共役 $c(\zeta):=\overline\zeta$ は実軸に関する鏡映で、直交変換である。$\sigma$ は $c$ で不変で、prop-pk-basic の 6 から $P(\overline x,\overline\zeta)=P(x,\zeta)$ である。$\zeta\ne\pm1$ なら $g(\overline\zeta)=1-g(\zeta)$ であり、$\{\pm1\}$ は $\sigma$ 測度 $0$ なので
$$ u(\overline x)=\int_Sg(\zeta)P(\overline x,\zeta)\,d\sigma(\zeta)=\int_Sg(\overline\zeta)P(\overline x,\overline\zeta)\,d\sigma(\zeta)=\int_S\bigl(1-g(\zeta)\bigr)P(x,\zeta)\,d\sigma(\zeta)=1-u(x) $$
である（2 つ目の等号は変数 $\zeta$ を $\overline\zeta$ に替えた）。$x$ が実数なら $\overline x=x$ なので $u(x)=\frac12$ である。
3．$g$ は開いた弧の各点で連続（そこで局所的に定数）なので、thm-pk-boundary による。
4．$k\ge1$ について $\eta_k:=e^{i/k}$ は上半分の開いた弧の点なので、3 により $|x_k-\eta_k|< 1/k$、$|u(x_k)-1|< 1/k$ となる $x_k\in B$ がとれる。$x_k\to1$ かつ $u(x_k)\to1$ である。一方、実数 $x\to1^-$ では 2 により $u(x)=\frac12$ である。極限が 2 通りになるので、$x\to1$ の極限は存在しない。$-1$ でも同様である。$\square$