ノルム空間

$F^n$ の元 $x=(x_1,\dots,x_n)$ について
$$ \|x\|_1:=\sum_{k=1}^n|x_k|,\qquad \|x\|_2:=\Bigl(\sum_{k=1}^n|x_k|^2\Bigr)^{1/2},\qquad \|x\|_\infty:=\max_{1\le k\le n}|x_k| $$
と定めると、3 つともノルムである。$\|\cdot\|_1$ と $\|\cdot\|_\infty$ の三角不等式は、各成分での $|x_k+y_k|\le|x_k|+|y_k|$（絶対値と三角不等式）を足し合わせるか最大をとれば得られる。$\|\cdot\|_2$ は標準内積 $\langle x,y\rangle=\sum_kx_k\overline{y_k}$ から定まるノルムであり、三角不等式は 内積空間 の記事の定理「三角不等式と平行四辺形の等式」による。
たとえば $x=(3,-4)\in\mathbb{R}^2$ では $\|x\|_1=7$、$\|x\|_2=5$、$\|x\|_\infty=4$ である。一般に
$$ \|x\|_\infty\le\|x\|_2\le\|x\|_1\le n\,\|x\|_\infty $$
が成り立つ。したがって 3 つのノルムは互いに同値である。

$1\le p<\infty$ とする。$F$ の数列 $x=(x_1,x_2,\dots)$ で $\sum_{k=1}^\infty|x_k|^p<\infty$ を満たすもの全体を $\ell^p$ と書き、
$$ \|x\|_p:=\Bigl(\sum_{k=1}^\infty|x_k|^p\Bigr)^{1/p} $$
と定める。$\ell^p$ は成分ごとの和とスカラー倍でベクトル空間になり、$\|\cdot\|_p$ はノルムである。三角不等式は Minkowski の不等式 $\|x+y\|_p\le\|x\|_p+\|y\|_p$ であり、$p=1$ なら成分ごとの三角不等式を足せばよいが、$1< p<\infty$ では Hölder の不等式を経由する（Axl20 7.14、p. 199。同書は測度空間の $L^p$ で述べており、自然数の上の数え上げ測度の場合が $\ell^p$ である。同書 Example 7.2、p. 194）。
有界な数列全体 $\ell^\infty$ には $\|x\|_\infty:=\sup_k|x_k|$ を入れる。$\ell^\infty$ の中で、$0$ に収束する数列全体を $c_0$、有限個の項を除いて $0$ である数列全体を $c_{00}$ と書く。$c_{00}\subset c_0\subset\ell^\infty$ であり、どれも $\|\cdot\|_\infty$ でノルム空間になる。$c_{00}$ には $\|\cdot\|_p$（$1\le p<\infty$）も入れられる。

$X$ を空でない集合とし、$X$ 上の有界な $F$ 値関数全体を $b(X)$ と書く。$b(X)$ には上限ノルム $\|f\|_\infty:=\sup_{t\in X}|f(t)|$ が入る。三角不等式は、各 $t$ で $|f(t)+g(t)|\le\|f\|_\infty+\|g\|_\infty$ が成り立つので上限をとればよい。$X=\{1,\dots,n\}$ なら $b(X)=F^n$ で、これは ex-normed-space-fn の $\|\cdot\|_\infty$ である。
閉区間 $[0,1]$ 上の連続な $F$ 値関数全体を $C([0,1])$ と書く。連続関数は $[0,1]$ 上で有界なので（コンパクト空間 の記事の定理「最大値・最小値の存在」）、$C([0,1])\subset b([0,1])$ であり、上限ノルムが入る。$C([0,1])$ にはもう 1 つ
$$ \|f\|_1:=\int_0^1|f(t)|\,dt $$
というノルムも入る。条件 (ii)・(iii) は積分の線形性と単調性から従い、条件 (i) では連続性が効く。

内積空間 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ では $\|x\|:=\sqrt{\langle x,x\rangle}$ がノルムであり（内積空間 の記事の定理「三角不等式と平行四辺形の等式」）、内積空間はノルム空間の例である。$F^n$ の $\|\cdot\|_2$ と $\ell^2$ の $\|\cdot\|_2$ はこの形をしている。$\ell^2$ の内積 $\sum_kx_k\overline{y_k}$ が収束することは、有限和の Cauchy–Schwarz の不等式で $\sum_{k\le m}|x_ky_k|$ を $\|x\|_2\|y\|_2$ で押さえ、$m\to\infty$ とすれば（絶対収束するので）わかる。

$F^2$ 上の $N(x)=(|x_1|^{1/2}+|x_2|^{1/2})^2$ は条件 (i)・(ii) を満たす。実際 $N(ax)=(|a|^{1/2})^2(|x_1|^{1/2}+|x_2|^{1/2})^2=|a|N(x)$ である。しかし $N((1,0))=N((0,1))=1$ に対して $N((1,1))=(1+1)^2=4>2$ であり、三角不等式を満たさない。満たす性質は正値性と斉次性、満たさない性質は三角不等式である。
図の右は $\{x\in\mathbb{R}^2\mid N(x)\le1\}$ で、4 本の弧が内側にへこんだ形をしている。$(1,0)$ と $(0,1)$ はこの集合に属するが、その中点 $(1/2,1/2)$ は $N((1/2,1/2))=\bigl(2\cdot(1/2)^{1/2}\bigr)^2=2>1$ なので属さない。三角不等式が破れていることと「単位球」が凸でないことは、prop-normed-space-convex により同じことである。

$F^2$ 上の $N(x)=|x_1|^{1/2}+|x_2|^{1/2}$ は条件 (i) と三角不等式を満たすが、$N((2,0))=\sqrt2\ne2=2N((1,0))$ なので斉次性を満たさない。

$C([0,3])$ に上限ノルムを入れ、$(Tf)(t):=t^2f(t)$ と定める。$\|Tf\|_\infty\le9\|f\|_\infty$ であり、定数関数 $f=1$ では $\|Tf\|_\infty=9=9\|f\|_\infty$ なので $\|T\|=9$ である（Axl20 Example 6.44、p. 167）。
$C([0,1])$ 上の線形汎関数 $\varphi(f):=f(0)$ を考える。上限ノルムについては $|\varphi(f)|\le\|f\|_\infty$ で、定数関数 $1$ で等号が成り立つので、$\varphi$ は有界で $\|\varphi\|=1$ である。ところが $\|\cdot\|_1$ については有界でない。$n\ge1$ について $f_n(t):=\max(0,1-nt)$ とおくと、$f_n$ は $[0,1/n]$ で $1$ から $0$ へ直線的に下がり、それ以後は $0$ である連続関数で、$\|f_n\|_1=\frac1{2n}$、$\varphi(f_n)=1$ だから $|\varphi(f_n)|/\|f_n\|_1=2n$ は有界でない。同じ線形写像でも、定義域のノルムを替えると連続性が変わる。

$C([0,1])$ の上限ノルムと $\|\cdot\|_1$ は同値でない。ex-normed-space-operators の $f_n(t)=\max(0,1-nt)$ について $\|f_n\|_\infty=1$、$\|f_n\|_1=\frac1{2n}$ なので、$\|f\|_\infty\le C\|f\|_1$ となる定数 $C$ は存在しない。実際、$f_n$ は $\|\cdot\|_1$ では $0$ に収束するが、$\|\cdot\|_\infty$ では $\|f_n-0\|_\infty=1$ なので $0$ に収束しない。満たす性質は「どちらもノルム」、破る含意は「同じベクトル空間上のノルムは同値」である（有限次元では thm-normed-space-finite-dim-equivalent により正しい）。

$c_{00}$ に $\|\cdot\|_\infty$ を入れ、$\varphi(x):=\sum_{k}kx_k$ と定める（有限和なので意味がある）。$\varphi$ は線形だが、第 $k$ 成分だけが $1$ の数列 $e_k$ について $\|e_k\|_\infty=1$、$\varphi(e_k)=k$ なので $\|\varphi\|=\infty$ であり、thm-normed-space-bounded により $\varphi$ は連続でない。具体的には $e_k/k\to0$ だが $\varphi(e_k/k)=1$ である。

$c_0$ の中で $x^{(n)}:=(1,\tfrac12,\dots,\tfrac1n,0,0,\dots)\in c_{00}$ を考えると、$y:=(1,\tfrac12,\tfrac13,\dots)\in c_0$ について $\|x^{(n)}-y\|_\infty=\frac1{n+1}\to0$ である。$y\notin c_{00}$ なので $c_{00}$ は $c_0$ の閉集合でない。とくに $(x^{(n)})$ は $c_{00}$ の Cauchy 列で $c_{00}$ の中に極限をもたないので、$(c_{00},\|\cdot\|_\infty)$ は完備でない。$C([0,1])$ に $\|\cdot\|_1$ を入れた空間も完備でない（Axl20 Example 6.39、p. 165）。
閉単位球については、$\ell^\infty$ の $e_1,e_2,\dots$ が閉単位球に属し、$j\ne k$ なら $\|e_j-e_k\|_\infty=1$ なので、thm-normed-space-riesz-compact の証明と同じ議論でコンパクトでないことが直接わかる。