rigid解析空間

$\mathbb{B}^n=\operatorname{Sp}K\langle t_1,\dots,t_n\rangle$ は最も基本的な affinoid 空間である。$n=1$ のとき、$c\in K$ と $r=|\pi|^m$（$m\in\mathbb{N}$）について $\{x:|t(x)-c|\le r\}=\mathbb{B}((t-c)/\pi^m)$ は Weierstrass 部分領域で、その affinoid 代数は $K\langle(t-c)/\pi^m\rangle\cong K\langle T\rangle$ である。$\{x:|t(x)|\ge r\}$ は Laurent 部分領域 $\mathbb{B}(\pi^m/t)$ で、その affinoid 代数 $K\langle t,\pi^m/t\rangle$ は Laurent級数 $\sum_{i\in\mathbb{Z}}a_it^i$ で $i\to+\infty$ のとき $|a_i|\to0$、$i\to-\infty$ のとき $|a_i|r^i\to0$ となるものの全体である。任意の affinoid 空間 $\operatorname{Sp}A$ は、$A$ の表示 $K\langle t_1,\dots,t_n\rangle\to A$ に対応する閉埋め込み $\operatorname{Sp}A\hookrightarrow\mathbb{B}^n$ により、閉多重円板の中の「解析的閉部分集合」として実現される。

$\mathbb{D}:=\{x\in\mathbb{B}:|t(x)|<1\}$ を開単位円板とする。$\mathbb{D}=\bigcup_{m\ge1}\mathbb{D}_m$、$\mathbb{D}_m:=\mathbb{B}(t^m/\pi)=\{|t|\le|\pi|^{1/m}\}$ は affinoid 部分領域の増大列による被覆であり、$\mathbb{D}$ は強 $G$ 位相の許容開集合で $\{\mathbb{D}_m\}$ はその許容被覆である。実際、像が $\mathbb{D}$ に含まれる affinoid 空間の射 $\varphi\colon Y=\operatorname{Sp}B\to\mathbb{B}$ をとると、$g:=\varphi^\sharp(t)\in B$ は $Y$ のすべての点で $|g(y)|<1$ をみたす。affinoid 代数の元の絶対値は最大値をとる（最大値原理、BGR84 §6.2）ので $\max_{y\in Y}|g(y)|=:\rho<1$ であり、$|\pi|^{1/m}\ge\rho$ となる $m$ をとれば $\varphi(Y)\subset\mathbb{D}_m$、すなわち $\{\varphi^{-1}(\mathbb{D}_m)\}$ は 1 個の元 $\varphi^{-1}(\mathbb{D}_m)=Y$ で細分される。したがって $\mathbb{D}$ は rigid 解析空間であり、その関数環は
$$ \mathcal{O}(\mathbb{D})=\varprojlim_m K\langle t^m/\pi\rangle=\Bigl\{\sum_{i\ge0}a_it^i:\text{任意の }r<1\text{ について }|a_i|r^i\to0\Bigr\} $$
すなわち開単位円板で収束する冪級数の環である（射影極限）。一方 $\mathbb{D}$ は affinoid 空間ではない。もし $\mathbb{D}=\operatorname{Sp}A'$ であれば、恒等射 $\mathbb{D}\to\mathbb{D}$ に対して許容被覆 $\{\mathbb{D}_m\}$ は有限個の affinoid 部分領域で細分され、各 affinoid 部分領域はある $\mathbb{D}_m$ に含まれるので、ある $M$ について $\mathbb{D}=\mathbb{D}_M$ となる。しかし $\bar{K}$ には $|\pi|^{1/M}<|x|<1$ をみたす元 $x$（たとえば $\pi^{1/(M+1)}$）があり、$\mathbb{D}\ne\mathbb{D}_M$ である。これは、affinoid 空間が「準コンパクト」（任意の許容被覆が有限の許容細分をもつ）であるのに対し $\mathbb{D}$ がそうでないことを示している。

$\mathbb{A}^{1,\mathrm{an}}:=\bigcup_{m\ge0}\operatorname{Sp}K\langle\pi^mt\rangle$ を、半径 $|\pi|^{-m}$ の閉円板 $\{|t|\le|\pi|^{-m}\}$ の増大列を（各 $\operatorname{Sp}K\langle\pi^mt\rangle$ を次の円板の Weierstrass 部分領域とみなして）prop-rigid-space-gluing で貼り合わせた rigid 解析空間とする。その点は $\bar{K}$ の $\operatorname{Gal}(\bar{K}/K)$ 軌道、すなわち $\mathbb{A}^1_K$ の閉点の全体であり、関数環 $\mathcal{O}(\mathbb{A}^{1,\mathrm{an}})$ は $\bar{K}$ 全体で収束する冪級数（整関数）の環である。射影直線の解析化 $\mathbb{P}^{1,\mathrm{an}}$ は、2 枚の閉単位円板 $\mathbb{B}_0=\operatorname{Sp}K\langle t\rangle$ と $\mathbb{B}_\infty=\operatorname{Sp}K\langle s\rangle$ を、Laurent 部分領域 $\{|t|=1\}=\operatorname{Sp}K\langle t,t^{-1}\rangle$ と $\{|s|=1\}=\operatorname{Sp}K\langle s,s^{-1}\rangle$ の同型 $s\mapsto t^{-1}$ に沿って貼り合わせたものである。$\mathbb{P}^{1,\mathrm{an}}$ は 2 個の affinoid で覆えるので準コンパクトであり、$\mathbb{A}^{1,\mathrm{an}}$ は準コンパクトでない（ex-rigid-space-open-disk と同じ議論）。これは射影直線が固有（固有射）で affine 直線がそうでないことの反映である（thm-rigid-space-gaga）。$\{\mathbb{B}_0,\mathbb{B}_\infty\}$ は $\mathbb{P}^{1,\mathrm{an}}$ の許容被覆であり、Tate の非輪状定理と $\mathcal{O}(\mathbb{B}_0)=K\langle t\rangle$、$\mathcal{O}(\mathbb{B}_\infty)=K\langle t^{-1}\rangle$、$\mathcal{O}(\mathbb{B}_0\cap\mathbb{B}_\infty)=K\langle t,t^{-1}\rangle$ から $\mathcal{O}(\mathbb{P}^{1,\mathrm{an}})=K\langle t\rangle\cap K\langle t^{-1}\rangle=K$ が従う（複素射影直線の正則関数が定数に限ることの類似）。

$q\in K^\times$ を $|q|<1$ なる元とする。乗法群の解析化 $\mathbb{G}_m^{\mathrm{an}}=\mathbb{A}^{1,\mathrm{an}}\setminus\{0\}=\bigcup_{m}\{|\pi|^m\le|t|\le|\pi|^{-m}\}$ に $q^{\mathbb{Z}}$ が $t\mapsto qt$ で作用する（群作用）。閉円環 $\{|q|\le|t|\le1\}$ の 2 つの境界円周 $\{|t|=|q|\}$ と $\{|t|=1\}$ を $t\mapsto qt$ で同一視して貼り合わせた rigid 解析空間 $E_q:=\mathbb{G}_m^{\mathrm{an}}/q^{\mathbb{Z}}$ を Tate 曲線という。Tate の定理により、$E_q$ は $K$ 上の楕円曲線
$$ E_q\colon y^2+xy=x^3+a_4(q)x+a_6(q),\qquad a_4(q)=-5\sum_{n\ge1}\frac{n^3q^n}{1-q^n},\quad a_6(q)=-\frac{1}{12}\sum_{n\ge1}\frac{(5n^3+7n^5)q^n}{1-q^n} $$
の解析化に同型であり、$E_q$ の j不変量は $j(q)=q^{-1}+744+196884q+\cdots$ で $|j(q)|>1$ をみたす。逆に $|j(E)|>1$ なる $K$ 上の楕円曲線 $E$ は $K$ の高々 2 次の拡大の上で Tate 曲線に同型である（Tate、Sil94 V.3・V.5、FvdP04）。これは $\mathbb{C}^\times/q^{\mathbb{Z}}$ による複素楕円曲線の一意化の非アルキメデス版で、被覆空間 $\mathbb{G}_m^{\mathrm{an}}\to E_q$（$K$ 有理点では $E_q(K)=K^\times/q^{\mathbb{Z}}$）は rigid 解析空間の枠組みで初めて意味をもつ。Tate はこの例のために rigid 解析空間の理論を作った Tat71。

$k$ を標数 $p$ の完全体、$W=W(k)$ を Wittベクトル 環、$K=W[1/p]$ とする。affine 直線 $\mathbb{A}^1_k$ の形式的持上げ $\operatorname{Spf}W\{t\}$（形式スキーム）の生成ファイバーは閉単位円板 $\mathbb{B}=\operatorname{Sp}K\langle t\rangle$ で、$W\{t\}\otimes_WK=K\langle t\rangle$ はその関数環である。一方、過収束級数の環 $W\{t\}^\dagger$ について
$$ W\{t\}^\dagger\otimes_WK=\varinjlim_{r\to1^+}\mathcal{O}\bigl(\{|t|\le r\}\bigr) $$
すなわち、$\mathbb{B}$ を $\mathbb{P}^{1,\mathrm{an}}$ の中でわずかに広げた閉円板 $\{|t|\le r\}$（$r>1$、$r\in|\bar{K}^\times|$）の上の関数の帰納極限である。Monsky–Washnitzerコホモロジーは、滑らかな affine スキーム $X_0/k$ の持上げの「生成ファイバーの近傍」の上の de Rhamコホモロジー であり、$X_0$ を固有な多様体 $\bar{X}$ に埋め込んで $\bar{X}$ の持上げの生成ファイバーの中で $X_0$ の管状近傍 $]X_0[$ の狭義近傍をとる Berthelot の rigid コホモロジー（rigidコホモロジー）と一致する。管状近傍・狭義近傍・その上の de Rham 複体の超コホモロジーはいずれも rigid 解析空間の言葉で述べられ、$\{|t|\le1\}\subset\{|t|\le r\}$ の関係はその最も簡単な場合である（Ber86、LS07 第 2 章・第 3 章・第 8 章）。

$\mathbb{B}=\operatorname{Sp}K\langle t\rangle$ を $V:=\{|t|\le|\pi|\}$ と $W:=\{|t|>|\pi|\}$ に分ける。$V$ は affinoid 部分領域、$W=\bigcup_{m\ge1}W_m$、$W_m:=\{|t|\ge|\pi|^{1-1/m}\}=\mathbb{B}(\pi^{m-1}/t^m)$ は affinoid 部分領域の増大和である。このとき次が成り立つ。

• $V$ と $W$ はどちらも標準位相の開かつ閉集合であり（prop-rigid-space-totally-disconnected）、$\{V,W\}$ は標準位相の開被覆である。
• $V$ と $W$ はどちらも強 $G$ 位相の許容開集合である。$W$ については、像が $W$ に含まれる affinoid 空間の射 $\varphi\colon Y=\operatorname{Sp}B\to\mathbb{B}$ をとると、$g:=\varphi^\sharp(t)$ は $Y$ 上で零点をもたないので Nullstellensatz（thm-rigid-space-nullstellensatz）により $B$ の単元であり、$g^{-1}$ に最大値原理を適用して $\min_y|g(y)|=1/\max_y|g^{-1}(y)|>|\pi|$ を得る。よって $\varphi(Y)$ はある $W_m$ に含まれ、$\{\varphi^{-1}(W_m)\}$ は $Y$ 自身で細分される。
• しかし $\{V,W\}$ は $\mathbb{B}$ の許容被覆ではない。恒等射 $\mathbb{B}\to\mathbb{B}$ に対して $\{V,W\}$ の有限 affinoid 細分 $\{U_1,\dots,U_N\}$ があったとすると、$W$ に含まれる $U_j$ は上の議論によりある $W_{m_j}$ に含まれるので、$\mathbb{B}=V\cup W_M$（$M=\max m_j$）となる。ところが $\bar{K}$ の元 $x=\pi^{1-1/(2M)}$ は $|\pi|<|x|<|\pi|^{1-1/M}$ をみたし、$V$ にも $W_M$ にも属さない。
  したがって $\{V,W\}$ は「開被覆である」「各元が許容開集合である」という性質をみたし、「許容被覆である」という性質をみたさない。この被覆に層の公理を課すと矛盾が生じる（prop-rigid-space-no-sheaf）。一方、$V$ と $W':=\{|t|\ge|\pi|\}$ による被覆は affinoid 部分領域による有限被覆なので許容であり、$V\cap W'=\{|t|=|\pi|\}$ という重なりをもつ（prop-rigid-space-tate-two-cover）。