Lorenz方程式

段 1（虚軸上の根）． $\lambda\ge0$ の実数では $p(\lambda)\ge a_0>0$ なので、実数の根は負である。$\omega\ne0$ を実数とすると $p(i\omega)=(a_0-a_2\omega^2)+i\omega(a_1-\omega^2)$ なので、$p(i\omega)=0$ は $\omega^2=a_1$ かつ $a_0=a_2a_1$ と同値である。$a_0=a_2a_1$ なら展開して $p(\lambda)=(\lambda+a_2)(\lambda^2+a_1)$ が確かめられ、2 が従う。

段 2（個数は動かない）． $a=(a_2,a_1,a_0)$ について、実部が正の根の個数を $N(a)$ とする。$\Omega_+:=\{a_i>0,\ a_2a_1>a_0\}$ と $\Omega_-:=\{a_i>0,\ a_2a_1< a_0\}$ の上では、段 1 により $p$ は虚軸上に根をもたない。$a\in\Omega_\pm$ を固定する。根の絶対値は $R:=1+a_2+a_1+a_0$ 未満である（$\lvert\lambda\rvert\ge R$ なら $\lvert\lambda\rvert^3>(a_2+a_1+a_0)\lvert\lambda\rvert^2\ge\lvert a_2\lambda^2+a_1\lambda+a_0\rvert$）。$\gamma$ を半円板 $K:=\{\operatorname{Re}\lambda\ge0,\ \lvert\lambda\rvert\le 2R\}$ の境界を一周する閉曲線とすると、$p$ は $\gamma$ の上で $0$ にならず、$\gamma$ の上の $\lvert p\rvert$ の最小値 $m$ は正である。係数の差が十分小さい $\tilde a$ では、多項式 $\tilde p$ について $\gamma$ の上で $\lvert\tilde p-p\rvert< m\le\lvert p\rvert$ となり、$\tilde p$ の根も絶対値 $2R$ 未満にある。Rouchéの定理 の定理「Rouché の定理」により、$\gamma$ が囲む根の個数は $p$ と $\tilde p$ で等しいので、$N(\tilde a)=N(a)$ である。よって $N$ は $\Omega_\pm$ の上で局所定数である。

段 3（各領域の例）． $\theta:=a_0/(a_2a_1)$ とおくと、$\Omega_+$ は $(a_2,a_1,\theta)\in(0,\infty)^2\times(0,1)$、$\Omega_-$ は $(0,\infty)^2\times(1,\infty)$ と連続に 1 対 1 に対応するので、どちらも弧状連結であり、$N$ はそれぞれの上で定数である。$\Omega_+$ の点 $(3,3,1)$ では $p=(\lambda+1)^3$ で $N=0$ である。$\Omega_-$ の点 $(1,1,2)$ では $p=\lambda^3+\lambda^2+\lambda+2$ で、$p(-1)=1>0$、$p(-2)=-4< 0$ なので実数の根 $c$ が $(-2,-1)$ にある。残りの 2 根は $c$ 以外に実数の根がない（$p$ は $\lambda\le-2$ で負、$\lambda\ge-1$ で正、$(-2,-1)$ で $p'=3\lambda^2+2\lambda+1>0$）ので共役な虚数 $u\pm iv$ で、根の和 $c+2u=-1$ から $u=(-1-c)/2>0$ である。よって $N=2$ である。$\square$

prop-lz-symmetry の 1 の $S$ は $C_+$ と $C_-$ を入れ替え、$Df(Su)=S\,Df(u)\,S^{-1}$ なので、2 点で特性多項式は等しい。$c:=\sqrt{b(r-1)}$ とすると $C_+=(c,c,r-1)$ で、$\lambda I-Df(C_+)=\begin{pmatrix}\lambda+\sigma&-\sigma&0\\ -1&\lambda+1&c\\ -c&-c&\lambda+b\end{pmatrix}$ である（$y'$ の式の $x$ による偏微分は $r-z=1$）。第 1 行で展開すると、行列式は $(\lambda+\sigma)\{(\lambda+1)(\lambda+b)+c^2\}+\sigma\{-(\lambda+b)+c^2\}$ で、整理して $\lambda^3+(\sigma+b+1)\lambda^2+(b+\sigma b+c^2)\lambda+2\sigma c^2$ となる。$c^2=b(r-1)$ を代入すると上の形になる。

$a_2=\sigma+b+1$、$a_1=b(\sigma+r)$、$a_0=2\sigma b(r-1)$ は正で、$a_2a_1-a_0=b\{(\sigma+b+1)(\sigma+r)-2\sigma(r-1)\}=b\{\sigma(\sigma+b+3)-r(\sigma-b-1)\}$ である。$\sigma\le b+1$ なら括弧の中は $\sigma(\sigma+b+3)>0$ 以上で正、$\sigma>b+1$ なら $r< r_H$ のとき正、$r>r_H$ のとき負、$r=r_H$ で $0$ である。正のときは lem-lz-cubic の 1 と Lyapunovの安定性定理 の定理「線形化による安定性の判定」の 1 から指数安定、負のときは lem-lz-cubic の 3 と同じ定理の 2 から不安定である。$r=r_H$ では lem-lz-cubic の 2 から固有値は $-a_2$ と $\pm i\sqrt{a_1}$ で、$\sigma+r_H=2\sigma(\sigma+1)/(\sigma-b-1)$ から $a_1=\omega^2$ の式が出る。$\square$

段 1（軌道微分）． $\dot L=\nabla L\cdot f=2rx\cdot\sigma(y-x)+2\sigma y(rx-y-xz)+2\sigma z(xy-bz)=2\sigma(2rxy-rx^2-y^2-bz^2)$ で、$2rxy-rx^2-y^2=-r(x-y)^2-(1-r)y^2$ から上の式を得る。$r\le1$ なので $\dot L\le0$ である。

段 2（大域存在と極限）． 解 $u(t)$ に沿って $L(u(t))$ は増えないので、$u(t)$ はコンパクト集合 $K:=\{L\le L(u(0))\}$ にとどまる。常微分方程式 の定理「爆発の二者択一」により解はすべての $t\ge0$ で存在する。$L(u(t))$ は増えず下に有界なので極限 $\ell$ をもつ。

段 3（集積点）． $t_k\to\infty$ で $u(t_k)\to q$ とする（$K$ はコンパクトなので集積点はある）。各 $s\ge0$ で、初期値への滑らかな依存性 の定理「初期値への滑らかな依存性」による $\varphi_s$ の連続性から $\varphi_s(q)=\lim_k\varphi_s(u(t_k))=\lim_ku(t_k+s)$ なので、$L(\varphi_s(q))=\ell$ がすべての $s\ge0$ で成り立つ。$s$ で微分して $\dot L(\varphi_s(q))=0$ である。

段 4（$\dot L=0$ にとどまる解）． $r< 1$ なら $\dot L=0$ は原点だけで成り立つので $q=O$ である。$r=1$ なら $\dot L=0$ は $x=y$ かつ $z=0$ と同値である。$v(s)=\varphi_s(q)$ がずっとこの集合にあるなら $z\equiv0$ なので $z'=xy-bz=x^2\equiv0$、よって $x\equiv y\equiv0$ で、$q=O$ である。

段 5． 有界な $u(t)$ のどの集積点も $O$ なので、$u(t)\to O$ である（そうでなければ $\lvert u(t_k)\rvert\ge\varepsilon$ となる $t_k\to\infty$ があり、その部分列の集積点は $O$ でない）。$\square$

段 1（軌道微分）． $\dot V=2rx\cdot\sigma(y-x)+2\sigma y(rx-y-xz)+2\sigma(z-2r)(xy-bz)$ を展開すると、$xyz$ の項と $xy$ の項が打ち消し合って $\dot V=2\sigma(-rx^2-y^2-bz^2+2brz)=-2\sigma Q$ となる。

段 2（$\delta_c>0$）． $D:=\{Q\le0\}$ の点では $rx^2\le br^2$、$y^2\le br^2$、$(z-r)^2\le r^2$ なので $x^2\le br$、$0\le z\le2r$、$(z-2r)^2\le4r^2$ で、$V\le r\cdot br+\sigma br^2+4\sigma r^2=M$ である。よって閉集合 $F:=\{V\ge c\}$ は $D$ と交わらず、$F$ の上で $Q>0$ である。$Q$ は連続で $\lvert u\rvert\to\infty$ のとき $Q\to\infty$ なので、$F$ の上で正の最小値 $\delta_c$ をとる。

段 3（1 と 2）． 解 $u(t)$ の最大存在区間の正の部分を $[0,T)$ とし、$g(t):=V(u(t))$ とおく。$g(t)\ge c$ となる時刻では $g'(t)=-2\sigma Q(u(t))\le-2\sigma\delta_c< 0$ である。$g(t_2)>\max\{g(0),c\}$ となる $t_2$ があったとすると、$t_1:=\sup\{t\le t_2\mid g(t)\le\max\{g(0),c\}\}$ では $g(t_1)=\max\{g(0),c\}\ge c$ で、$[t_1,t_2]$ の上で $g\ge c$ なので $g$ は減り、$g(t_2)< g(t_1)$ となって矛盾する。よって $u(t)$ はコンパクト集合 $\{V\le\max\{g(0),c\}\}$ にとどまり、常微分方程式 の定理「爆発の二者択一」から $T=\infty$ である。$g(0)\le c$ の場合はこの議論から $g(t)\le c$ が続き、2 が従う。

段 4（3）． $g(0)>c$ とする。$g\ge c$ が $[0,t]$ で続く間は $g(t)\le g(0)-2\sigma\delta_ct$ なので、$t_0:=(g(0)-c)/(2\sigma\delta_c)$ までに $g$ は $c$ に達し、2 によりその後は $E_c$ にとどまる。$\square$

1：$\varphi_t$ は $\mathbb{R}^3$ からその像への $C^1$ 級の単射で、Jacobi 行列式は lem-lz-liouville により定数 $e^{-(\sigma+1+b)t}>0$ である。よって $\varphi_t$ は $\mathbb{R}^3$ から開集合 $\varphi_t(\mathbb{R}^3)$ への $C^1$ 級微分同相写像で、変数変換公式(多変数積分) の定理「変数変換公式」の 1 を $E=B$ に当てると $\lambda(\varphi_t(B))=\int_B e^{-(\sigma+1+b)t}\,d\lambda$ である。

2：$0\le s\le t$ なら、thm-lz-absorbing の 2 から $\varphi_{t-s}(E_c)\subset E_c$ なので $\varphi_t(E_c)=\varphi_s(\varphi_{t-s}(E_c))\subset\varphi_s(E_c)$ である。各 $\varphi_t(E_c)$ はコンパクト集合の連続像で空でないので、入れ子の共通部分 $\mathcal{A}$ は空でないコンパクト集合である。$\varphi_s$ は単射なので $\varphi_s(\mathcal{A})=\bigcap_t\varphi_{s+t}(E_c)=\bigcap_{t\ge s}\varphi_t(E_c)=\mathcal{A}$ である。平衡点 $p$ は $E_c$ に属し、$p=\varphi_t(p)\in\varphi_t(E_c)$ なので $p\in\mathcal{A}$ である。1 により $\lambda(\mathcal{A})\le\lambda(\varphi_t(E_c))=e^{-(\sigma+1+b)t}\lambda(E_c)\to0$ である。

3：thm-lz-absorbing の 3 により、ある $T$ 以降 $u(t)\in E_c$ である。$s\ge0$ を固定すると、$t\ge T+s$ で $u(t)=\varphi_s(u(t-s))\in\varphi_s(E_c)$ で、$\varphi_s(E_c)$ は閉集合なので、集積点は $\varphi_s(E_c)$ に属する。$s$ は任意なので集積点は $\mathcal{A}$ に属する。$\square$