Weil予想

前提知識: 合同ゼータ関数, 有限体, ℓ進コホモロジー, Tate捻り

Weil予想とは

Weil予想は、有限体上の代数多様体の有理点の個数を数える母関数（合同ゼータ関数）について、A. Weil が1949年の論文 Wei49 で述べた一連の予想である。有理性、関数等式、Riemann 予想の類似、Betti 数との関係の4つからなる。
Weil は、曲線とアーベル多様体についてはこれらを証明しており、一般の場合の予想の背後に、有限体上の多様体にも位相空間のようなコホモロジー理論があって Lefschetz の不動点定理が成り立つはずだ、という見通しを置いた。この見通しは Grothendieck らの ℓ進コホモロジー として実現し、最後に残った Riemann 予想の類似は Deligne Del74 によって証明された。したがって今日では、Weil予想はすべて定理である。
「Weil予想」という語は、予想全体を指す場合と、そのうち Riemann 予想の類似（と特性多項式の整数性）だけを指す場合がある。本記事では予想全体を主題とし、後者は「Riemann 予想の部分」と呼んで区別する。

合同ゼータ関数

$\mathbb F_q$ を $q$ 元の有限体、$X$ を $\mathbb F_q$ 上の多様体（有限型の分離スキーム）とし、$N_m=\#X(\mathbb F_{q^m})$ とおく。

$Z(X,t)$ は、$X$ の閉点 $x$ の剰余体の次数を $\deg x$ として
$$ Z(X,t)=\prod_{x}\big(1-t^{\deg x}\big)^{-1} $$
とも書ける（対数微分をとると、$\deg x\mid m$ となる閉点 $x$ は $\mathbb F_{q^m}$ 点をちょうど $\deg x$ 個与えることから従う）。とくに $Z(X,t)$ の係数は非負整数である。この積表示は、Riemann ゼータ関数の素数にわたる Euler 積 $\prod_p(1-p^{-s})^{-1}$ の類似であり、閉点 $x$ が素数に、その剰余体の元の個数 $q^{\deg x}$ が $p$ に当たる。

予想の言明

3 のうち絶対値の条件は、$\zeta(X,s)$ の零点・極が、$P_j$ から来るものについて $\operatorname{Re}s=j/2$ の上にあることと同値である。$X$ が曲線のときは、零点がすべて $\operatorname{Re}s=1/2$ の上にあることになり、Riemann ゼータ関数の Riemann 予想と同じ形になる。これが名前の由来である。

例

$d=1$ の場合は $Z(\mathbb P^1,1/(qt))=qt^2Z(\mathbb P^1,t)$ であり、Har77 Appendix C, §1（p. 451）でも確かめられている。関数等式に符号 $(-1)^{d+1}$ が現れることは、定理の 2 の「$\pm$」が本当に必要であることを示している。

曲線の場合：点の数の評価との同値

曲線については、Riemann 予想の部分は「点の数が $q^m+1$ から $q^{m/2}$ の定数倍しかずれない」という評価と同値である。この同値は有理性と関数等式だけを使って示せるので、Riemann 予想の部分を点の数え上げの問題に移すことができる。
以下、$C$ を $\mathbb F_q$ 上の種数 $g$ の滑らかな射影曲線で幾何的に連結なものとし、有理性と関数等式（定理の 1 と 2）、および $\deg P_1=2g$（Har77 Appendix C, Exercise 5.7 の設定、p. 458）を認めて
$$ Z(C,t)=\frac{P_1(t)}{(1-t)(1-qt)},\qquad P_1(t)=\prod_{k=1}^{2g}(1-\alpha_kt),\quad \alpha_k\ne0 $$
と書く。関数等式は、重複度を込めた多重集合 $\{\alpha_1,\dots,\alpha_{2g}\}$ が $\alpha\mapsto q/\alpha$ で保たれることと同値である（Har77 Appendix C, §4 の $H^1$ の Poincaré 双対性による）。

この命題は Har77 Appendix C, Exercise 5.7（p. 458）の (a)〜(c) と同じ筋である。Weil は $|N_1-(q+1)|\le2g\sqrt q$ を、すべての $\mathbb F_{q^m}$ 上で同時に（$C$ を $\mathbb F_{q^m}$ 上の曲線とみて）示すことで Riemann 予想の部分を得た。

ℓ進コホモロジーによる証明の概略

以下、$\ell$ を $q$ と素な素数、$\bar k$ を $\mathbb F_q$ の代数閉包、$X_{\bar k}=X\otimes\bar k$ とする。

この規約では $F$ は Tate捻り $\mathbb Q_\ell(1)$ に $q^{-1}$ 倍で作用し、$H^j(X_{\bar k},\mathbb Q_\ell(-n))$ 上の固有値は $H^j(X_{\bar k},\mathbb Q_\ell)$ 上の固有値の $q^n$ 倍になる。算術的 Frobenius を使う文献では、固有値が逆数になり、捻りによる倍率も逆になる。

Lefschetz 跡公式と有理性

同じ公式は Lefschetz跡公式 の定理「Grothendieck の跡公式」でも扱う。$X(\mathbb F_{q^m})$ は、Frobenius 自己準同型の $m$ 乗の $X(\bar k)$ 上の不動点の集合であり、この公式は位相空間の Lefschetz の不動点定理の類似である。

跡公式とこの命題から、$X$ が滑らかな射影多様体なら
$$ Z(X,t)=\prod_{j=0}^{2d}\det\big(1-Ft\mid H^j(X_{\bar k},\mathbb Q_\ell)\big)^{(-1)^{j+1}} $$
を得る。右辺は $\mathbb Q_\ell$ 係数の有理関数である。左辺の係数は整数であり、形式的冪級数が有理関数であることは Hankel 行列式の消滅で判定でき、この判定は係数体の拡大によらないので、$Z(X,t)\in\mathbb Q(t)$ となる。$P_j(t):=\det(1-Ft\mid H^j)$ とおけば 1 の形になる。$H^0$ と $H^{2d}$ はともに1次元で、$F$ は $H^0$ に自明に、$H^{2d}\cong\mathbb Q_\ell(-d)$ に $q^d$ 倍で作用するので、$P_0=1-t$、$P_{2d}=1-q^dt$ である。ただし、この段階では $P_j$ 自身が $\ell$ によらない整数係数の多項式であることはまだ分からない。それは Riemann 予想の部分を使って示される（Del74、Har77 Appendix C, Theorem 4.5、p. 457）。

関数等式

Poincaré 双対性により、杯積 $H^j\times H^{2d-j}\to H^{2d}\cong\mathbb Q_\ell(-d)$ は Frobenius と両立する完全な対である。したがって $H^j$ の固有値を $\alpha$ とすると、$H^{2d-j}$ の固有値は $q^d/\alpha$ で与えられ（重複度も込めて）、$E=\sum_j(-1)^j\dim H^j$ とおいてこれを $Z(X,t)$ の表示に代入すると、2 の関数等式が得られる。符号は $H^d$ 上の $F$ の作用で決まる。

Betti 数

$X$ が標数 0 の滑らかな射影多様体 $Y$ のよい還元なら、固有滑らかな底変換定理により $H^j(X_{\bar k},\mathbb Q_\ell)$ の次元は $Y$ の $\ell$ 進コホモロジーの次元に等しく、Artin の比較定理によりそれは複素多様体 $Y(\mathbb C)$ の Betti 数に等しい（Har77 Appendix C の (3.6)・(3.7)、p. 454。この記事では証明しない）。$\deg P_j=\dim H^j$ なので 4 が従う。

Riemann 予想の部分

Riemann 予想の部分は Deligne Del74 により証明された。証明は、Lefschetz ペンシルによる次元の帰納法、消滅サイクルのモノドロミーの理論（Kazhdan–Margulis の定理によるモノドロミー群の大きさ）、および $L$ 関数のテンソル冪をとって評価を改良する論法（Rankin の方法の類似）を組み合わせる。概説として Kat76 がある。Deligne はのちに、この結果を一般の $\ell$ 進層の重みの理論へ拡張した（Del80）。
本記事では Riemann 予想の部分を証明しない。以下の節ではこれを Deligne の定理として引用する。

固有値についての帰結

Riemann 予想の部分は、部分多様体から来るコホモロジー類の固有値についての情報を与える。これは Tate予想 の Grothendieck による一般化の出発点になった。

この命題は、Gysin 写像の像の和という具体的な部分空間について述べたものである。余次元 $p$ 以上の閉集合の外で消える類全体（余次元フィルトレーション $N^pH^j$）がこの形の像の和で尽くされるかどうかは別の問題であり、特異点解消などの入力を要する。

条件を外したときの反例

定理は $X$ が滑らか・射影的・幾何的に連結であることを仮定している。これらを外すと、有理性は残っても（合同ゼータ関数 の定理「合同ゼータ関数の有理性」は任意の有限型スキームについて成り立つ）、ほかの主張は崩れる。

歴史

• Gauss と Artin：有限体上の方程式の解の個数は Gauss 以来調べられてきた。E. Artin は1924年に出版された学位論文で、二次関数体のゼータ関数を導入し、その Riemann 予想の類似を問題にした。
• Hasse：1930年代に、有限体上の楕円曲線について Riemann 予想の類似（Hasse の不等式）を証明した。
• Weil：1940年代に、有限体上の任意の曲線とアーベル多様体について Riemann 予想の類似を証明した。そして1949年の論文 Wei49 で、Fermat 型の対角的な方程式の解の個数を Gauss 和で計算した結果をもとに、一般の多様体についての予想を述べた。
• Dwork：1960年に、$p$ 進解析の方法で任意の多様体の合同ゼータ関数の有理性を証明した（Dwo60）。
• Grothendieck と Artin ら：1960年代に、エタールコホモロジーと $\ell$ 進コホモロジーの理論を建設し（SGA 4、SGA 5）、跡公式による有理性、Poincaré 双対性による関数等式、比較定理による Betti 数の解釈を与えた。Grothendieck は Riemann 予想の部分を標準予想から導く道筋も提案した。
• Deligne：1974年に、標準予想を経由せずに Riemann 予想の部分を証明し（Del74）、1980年にそれを重みの理論へ一般化した（Del80）。

関連する予想との関係

• **Tate予想**：有限体上の代数的サイクルの類を Frobenius の作用で特徴づける予想。Riemann 予想の部分は、その定式化（固有値の条件の言い換えや、ゼータ関数の極の位数との関係）に使われる。
• **標準予想**：Grothendieck の標準予想は、Riemann 予想の部分を含む Weil予想の別証明を与えるものとして提案された。Weil予想が証明された現在も、標準予想は一般には未解決である。
• Ramanujan 予想：Deligne は Riemann 予想の部分を使って、保型形式の Fourier 係数についての Ramanujan–Petersson 予想（重さ 2 以上の正則尖点形式の場合）を証明した。
• **Hodge予想**：複素数体上の類似の問題を扱う。Weil予想の Betti 数の部分は、有限体上の多様体と複素多様体のコホモロジーを結ぶ。

Grothendieck（Le groupe de Brauer III）との関係

Grothendieck は「Le groupe de Brauer III」Gro68 の §10 で、Weil予想のうち Riemann 予想の部分を、当時まだ予想であったものとして仮定し、そこから prop-weil-conjectures-gysin-eigenvalues の型の帰結を引き出した。そのうえで、余次元 $p$ 以上の部分多様体から来る類の固有値は $q^p$ で「割り切れる」という性質を、特異点解消を仮定しない一般の場合にも予想し、その逆（固有値の可除性をもつ類はそのような部分多様体から来る）を Tate予想 の一般化として予想した。この段で使われるのは Weil予想の全体ではなく、Riemann 予想の部分と特性多項式の整数性だけである。
同じ箇所で Grothendieck は、有限体上の曲面の $H^2$ についてさえ、当時は Weil予想も Tate予想も証明されていないことを述べている。前者はのちに Deligne により解決された。

現況（2026年9月時点）

この節は2026年9月時点の状況であり、今後の研究で更新されうる。

• Weil予想の4つの部分（有理性・関数等式・Riemann 予想の類似・Betti 数）はすべて証明されている（Dwo60、Del74、および Grothendieck らの $\ell$ 進コホモロジーの理論）。
• Deligne は重みの理論として一般化した（Del80）。
• Grothendieck が Weil予想への道として提案した標準予想は、一般には未解決である。
• 概説と教科書として Kat76、Har77 の付録 C、SGA4h がある。

関連項目

• 前提: 合同ゼータ関数, 有限体, ℓ進コホモロジー, Tate捻り
• 計算: 楕円曲線, Lefschetz跡公式, Frobenius固有値
• 直後に読む: Tate予想, 標準予想
• 発展: Hodge予想, 余次元フィルトレーション, エタールコホモロジーとfppfコホモロジーの比較定理