変数変換公式(多変数積分)

要点：$A$ を基本行列の積に分け、基本行列ごとに半開直方体の像の体積を計算し、測度の一意性で Borel 集合へ、零集合の保存で可測集合へ広げる。
$\det A\ne0$ とする。$A$ は次の 3 種類の基本行列の積である（基本変形）：(i) 1 つの座標を $c\ne0$ 倍する $D$、(ii) 2 つの座標を入れ替える $P$、(iii) $i\ne j$ について座標 $x_i$ を $x_i+cx_j$ に取り替える $S$。$\lvert\det\rvert$ は積を保ち（行列式）、$E\mapsto ME$ は行列の積と両立するので、基本行列 $M$ について示せばよい。
Borel 集合 $B$ について $\mu_M(B):=\lambda(MB)/\lvert\det M\rvert$ とおく。$M$ は同相写像なので $MB$ は Borel 集合であり、$\mu_M$ は Borel 集合の上の測度である。半開直方体 $R=\prod_k(a_k,b_k]$ について、$DR$ と $PR$ は直方体で体積はそれぞれ $\lvert c\rvert\lambda(R)$、$\lambda(R)$ なので、$\mu_D(R)=\mu_P(R)=\lambda(R)$ である。Dynkinのπ-λ定理 の系「区間の長さで決まる測度」により、Borel 集合の上で $\mu_D=\mu_P=\lambda$ である。とくに座標の入れ替えは Borel 集合の測度を変えないので、$S$ については $x_i$ を最後の座標としてよい。このとき $SR$ の、最後の座標以外を $\hat x$ に止めた切り口は、$\hat x\in\prod_{k\ne i}(a_k,b_k]$ なら区間 $(a_i+cx_j,b_i+cx_j]$、そうでなければ空集合である。Fubiniの定理 の命題「Euclid空間のLebesgue測度と積測度」と定理「Tonelliの定理」により $\lambda(SR)=\prod_k(b_k-a_k)=\lambda(R)$ であり、$\det S=1$ なので同じく $\mu_S=\lambda$ である。
可測集合 $E=B\setminus N$（$B$ は Borel 集合、$N$ は零集合）について、$MN$ は零集合である（Sardの定理 の補題「$C^1$ 級写像は測度零集合を保つ」）。よって $ME=MB\setminus MN$ は可測で、$\lambda(ME)=\lambda(MB)=\lvert\det M\rvert\lambda(B)=\lvert\det M\rvert\lambda(E)$ である。
$\det A=0$ なら、$A\mathbb R^n$ は $n-1$ 次元以下の部分空間なので、正則行列 $T$ で $TA\mathbb R^n\subset\{x\mid x_n=0\}$ となるものがある。右辺の超平面は零集合である（Sardの定理 の補題「超平面と立方体」）。正則な場合に示したことを $T^{-1}$ に使うと $AE\subset T^{-1}\{x_n=0\}$ は零集合であり、可測で $\lambda(AE)=0$ である。$\square$

$A:=D\varphi(c)$、$\psi:=A^{-1}\circ\varphi$ とおくと $D\psi(x)=A^{-1}D\varphi(x)$ である。$x\in Q$ とし、$g(t):=\psi(c+t(x-c))-t(x-c)$（$0\le t\le1$）とおく。$Q$ は凸なので線分は $Q$ に含まれ、$g'(t)=\bigl(D\psi(c+t(x-c))-I\bigr)(x-c)$ である。各成分に微分積分学の基本定理を使うと
$$ \lvert\psi(x)-\psi(c)-(x-c)\rvert_\infty=\lvert g(1)-g(0)\rvert_\infty\le\max_{0\le t\le1}\lvert g'(t)\rvert_\infty\le\eta\,\lvert x-c\rvert_\infty\le\frac{\eta s}2 $$
である。よって $\lvert\psi(x)-\psi(c)\rvert_\infty\le(1+\eta)s/2$、すなわち $\psi(Q)\subset Q(\psi(c),(1+\eta)s)$ である。$\varphi(Q)=A\psi(Q)$ はコンパクトなので可測であり、prop-cov-linear により
$$ \lambda(\varphi(Q))\le\lvert\det A\rvert\,\lambda\bigl(Q(\psi(c),(1+\eta)s)\bigr)=(1+\eta)^nJ_\varphi(c)\,\lambda(Q) $$
である。$\square$

2 つの 2 進立方体は、一方が他方を含むか、交わらない。$W$ に含まれる 1 辺 $2^{-k}$ 以下の 2 進立方体のうち、同じ条件をみたす 2 進立方体に真に含まれないもの（極大なもの）を集める。$x\in W$ なら、$x$ を含む 1 辺 $2^{-l}$ の 2 進立方体は直径が $\sqrt n\,2^{-l}$ なので、$l$ が大きければ $W$ に入る。$x$ を含み条件をみたす 2 進立方体は 1 辺の大きさの順に並ぶ入れ子の列なので、そのうち最大のものが極大である。よって極大な 2 進立方体は $W$ を覆い、互いに交わらない。2 進立方体は可算個なので、可算個の和である。$\square$

1. 可測性。 $E\subset U$ を可測集合とし、$E=B\setminus N$（$B$ は Borel 集合、$N$ は零集合）と書く。開集合 $G_k$ を $U$ との共通部分に取り替えて、$B\subset U$ としてよい。$\varphi(B)$ は連続写像 $\varphi^{-1}$ による Borel 集合 $B$ の逆像なので Borel 集合であり、$\varphi(N)$ は零集合である（Sardの定理 の補題「$C^1$ 級写像は測度零集合を保つ」）。$\varphi$ は単射なので $\varphi(E)=\varphi(B)\setminus\varphi(N)$ は可測である。$\varphi^{-1}$ についても同じことが言えるので、可測な $F\subset V$ について $\varphi^{-1}(F)$ は可測であり、可測関数 $f$ について $f\circ\varphi$ は可測である。
2. 相対コンパクトな開集合での上からの評価。 $W$ を開集合で、閉包 $K:=\overline W$ がコンパクトで $U$ に含まれるものとし、$\lambda(\varphi(W))\le\int_WJ_\varphi\,d\lambda$ を示す。逆行列の成分は余因子の式で与えられるので $x\mapsto D\varphi(x)^{-1}$ は連続であり、$M:=\max_{x\in K}\|D\varphi(x)^{-1}\|<\infty$ である。$\eta>0$ とする。$D\varphi$ と $J_\varphi$ は $K$ 上で一様連続なので、$k$ を大きくとると、$x,y\in K$、$\lvert x-y\rvert_\infty\le2^{-k}$ のとき $M\|D\varphi(x)-D\varphi(y)\|\le\eta$ かつ $\lvert J_\varphi(x)-J_\varphi(y)\rvert\le\eta$ となる。lem-cov-dyadic で $W=\bigsqcup_jQ_j$ と分け、$Q_j$ の中心を $c_j$ とする。$\overline{Q_j}\subset K$ であり、$x\in\overline{Q_j}$ について
$$ \|D\varphi(c_j)^{-1}D\varphi(x)-I\|\le\|D\varphi(c_j)^{-1}\|\,\|D\varphi(x)-D\varphi(c_j)\|\le\eta $$
である。lem-cov-cube と、$Q_j$ 上で $J_\varphi(c_j)\le J_\varphi+\eta$ であることから
$$ \lambda(\varphi(W))\le\sum_j\lambda\bigl(\varphi(\overline{Q_j})\bigr)\le(1+\eta)^n\sum_jJ_\varphi(c_j)\lambda(Q_j)\le(1+\eta)^n\Bigl(\int_WJ_\varphi\,d\lambda+\eta\,\lambda(W)\Bigr) $$
である。$\lambda(W)\le\lambda(K)<\infty$ なので、$\eta\to0$ として結論を得る。
3. 可測集合での上からの評価。 2 の $W$ と可測集合 $E\subset W$ をとる。$\varepsilon>0$ に対し、開集合 $G$ で $E\subset G\subset W$、$\lambda(G\setminus E)\le\varepsilon$ となるものがある。$\overline G\subset K$ なので 2 を $G$ に使えて、
$$ \lambda(\varphi(E))\le\lambda(\varphi(G))\le\int_GJ_\varphi\,d\lambda\le\int_EJ_\varphi\,d\lambda+\varepsilon\max_KJ_\varphi $$
である。$\varepsilon\to0$ として $\lambda(\varphi(E))\le\int_EJ_\varphi\,d\lambda$ を得る。一般の可測集合 $E\subset U$ については、$W_k:=\{x\in U\mid\lvert x\rvert< k,\ \operatorname{dist}(x,\mathbb R^n\setminus U)>1/k\}$（$U=\mathbb R^n$ なら距離の条件は外す）が 2 の条件をみたし $U$ に増加して近づくので、$E\cap W_k$ に使って $k\to\infty$ とすると（左辺は測度の連続性、右辺は Lebesgue積分 の定理「単調収束定理」）、
$$ \lambda(\varphi(E))\le\int_EJ_\varphi\,d\lambda\qquad(\ast) $$
を得る。
4. 関数への拡張。 可測な $F\subset V$ について $(\ast)$ を $E=\varphi^{-1}(F)$ に使うと、$\chi_F\circ\varphi=\chi_{\varphi^{-1}(F)}$ なので $\int_V\chi_F\,d\lambda\le\int_U(\chi_F\circ\varphi)J_\varphi\,d\lambda$ である。両辺は $f$ について線形なので $0$ 以上の単関数についても成り立ち、可測な $f\ge0$ には単関数の増加列 $f_k\uparrow f$ をとって両辺に単調収束定理を使うと
$$ \int_Vf\,d\lambda\le\int_U(f\circ\varphi)\,J_\varphi\,d\lambda\qquad(\ast\ast) $$
を得る。
5. 逆向きの不等式。 $(\ast\ast)$ を、$\varphi^{-1}\colon V\to U$ と $U$ 上の可測関数 $g:=(f\circ\varphi)J_\varphi\ge0$ に使う。連鎖律から $D\varphi(\varphi^{-1}(y))\,D\varphi^{-1}(y)=I$ なので $J_\varphi(\varphi^{-1}(y))\,J_{\varphi^{-1}}(y)=1$ であり、
$$ \int_U(f\circ\varphi)J_\varphi\,d\lambda\le\int_Vf\cdot(J_\varphi\circ\varphi^{-1})\cdot J_{\varphi^{-1}}\,d\lambda=\int_Vf\,d\lambda $$
である。$(\ast\ast)$ と合わせて 2 を得る。1 は 2 を $f=\chi_{\varphi(E)}$ に使ったものである。3 は、2 を $\lvert f\rvert$ に使えば可積分性の同値を得て、$f$ の実部と虚部それぞれの正の部分と負の部分に 2 を使って足し引きすればよい。$\square$