有向同境環

要点：$p(\mathbb{CP}^{2J})=\prod_s(1+h_s^2)^{2j_s+1}$ なので、$s$ 数は単項対称多項式の単項式の数え上げになり、Chern数 の定理「Chern 数の 1 次独立性（Thom）」の証明と同じく、分割の細分について対角成分が $0$ でない三角行列になる。

有理数 $\lambda_J$ について $\sum_J\lambda_J[\mathbb{CP}^{2J}]\otimes1=0$ とする。分母を払った整数の組 $\mu_J$ について $\sum_J\mu_J[\mathbb{CP}^{2J}]$ は $\Omega_{4r}$ の捩れ元であり、準同型 $p_K\colon\Omega_{4r}\to\mathbb Z$ で $0$ に写るので、$\sum_J\mu_Jp_K[\mathbb{CP}^{2J}]=0$ がすべての $K$ で成り立つ。prop-ocr-cp-matrix により $\mu_J=0$ である。$\square$

$n\ge1$ を固定する（$n=0$ では $\Omega_0\cong\mathbb Z$ である）。整数 $k\ge\max\{n+2,3\}$ と $\ell\ge n+1$ を十分大きくとり、$G:=\widetilde{\mathrm{Gr}}_k(\mathbb R^{k+\ell})$ を $\mathbb R^{k+\ell}$ の向き付けられた $k$ 次元部分空間のなす多様体（向き付けられたGrassmann多様体）、$\tilde\gamma$ をその上のトートロジー的な向き付けられた階数 $k$ の束、$T:=\mathrm{Th}(\tilde\gamma)$ をその Thom空間 とする。
段 1：Thom 空間からの全射．写像 $S^{n+k}\to T$ を、零切断に横断的に変形して逆像をとると、準同型
$$ \pi_{n+k}(T)\to\Omega_n $$
が得られ、$k>n$、$\ell\ge n$ ならこれは全射である（MS74 Theorem 18.6、p. 211 と Lemma 18.7、p. 215。この記事では証明しない）。全射性は、$n$ 次元の向き付けられた閉多様体 $M$ を $\mathbb R^{n+k}$ に埋め込み、法束の Gauss 写像と Pontryagin–Thom の潰し写像（Thom空間 の命題「Pontryagin–Thom の潰し写像」）を合成した写像が $M$ を逆像にもつことによる。向きを考えない場合の同じ構成は Pontryagin–Thomの定理 にある。
段 2：有限生成性．$G$ はコンパクトな多様体なので有限単体複体に三角形分割でき（Whitehead三角形分割 の定理「Cairns–Whitehead の定理」）、有限 CW 複体である。Thom空間 の命題「Thom 空間の胞体構造と連結度」により、$T$ は $(k-1)$ 連結な有限 CW 複体で、$k\ge3$ なので単連結である。単連結有限CW複体のホモトピー群の有限生成性 の定理「単連結空間のホモトピー群の有限生成性」により $\pi_{n+k}(T)$ は有限生成であり、その商である $\Omega_n$ も有限生成である。これで 1 が示された。
段 3：階数の上からの評価．$k\ge n+2$ なので $n+k\le 2k-2$ であり、単連結有限CW複体のホモトピー群の有限生成性 の系「安定域での Hurewicz 準同型」により
$$ \pi_{n+k}(T)\otimes\mathbb Q\cong H_{n+k}(T;\mathbb Q) $$
である。向き付けられた束の Thom 同型により $\tilde H_{n+k}(T)\cong H_n(G)$ である（MS74 Lemma 18.2、p. 206）。$k$、$\ell$ が十分大きければ、$H_n(G;\mathbb Q)$ の次元は $n=4r$ なら $p(r)$、$n$ が $4$ の倍数でなければ $0$ である（MS74 p. 216。$\widetilde{\mathrm{Gr}}_k(\mathbb R^\infty)$ の有理コホモロジーは Pontryagin 類と、$k$ が偶数のときの $k$ 次の Euler 類の多項式環であり（同 Theorem 15.9、p. 179）、$G$ はその中で次数 $\ell$ 以下の胞体をすべて含む部分複体である。この記事では証明しない）。$\otimes\mathbb Q$ は右完全なので、段 1 から
$$ \dim_{\mathbb Q}\Omega_n\otimes\mathbb Q\le\dim_{\mathbb Q}H_n(G;\mathbb Q) $$
である。
段 4：階数の決定．$n$ が $4$ の倍数でなければ右辺は $0$ で、有限生成アーベル群 $\Omega_n$ の階数が $0$ なので有限群である。これで 2 が示された。$n=4r$ なら右辺は $p(r)$ で、cor-ocr-lower-bound の $p(r)$ 個の 1 次独立な元と合わせて $\dim\Omega_{4r}\otimes\mathbb Q=p(r)$ であり、それらは基底である。これで 3 が示された。
段 5：多項式環．$J=(j_1,\dots,j_q)$ について $[\mathbb{CP}^{2J}]=z_{j_1}\cdots z_{j_q}$ であり、次数 $4r$ の単項式 $z_{j_1}\cdots z_{j_q}$ は $r$ の分割 $J$ と 1 対 1 に対応する。$\Omega_*\otimes\mathbb Q$ は $4$ の倍数の次数にしか $0$ でない成分をもたないので可換環であり、$\mathbb Q[z_1,z_2,\dots]\to\Omega_*\otimes\mathbb Q$ が環準同型として定まる。3 によりこれは各次数で基底を基底に写すので、同型である。これで 4 が示された。$\square$

要点：捩れ元は準同型 $p_K$ で $0$ に写り、逆は thm-ocr-thom の 3 の基底で展開して prop-ocr-cp-matrix の正則性を使う。

段 1：$p_1=3\sigma$．$p_1$ と $\sigma$ はどちらも $\Omega_4$ から $\mathbb Z$ への準同型である（Pontryagin類 の系「向き付けられた同境不変性」、符号数(多様体) の系「向き付けられた同境不変性」）。thm-ocr-thom の 3 により、任意の $\omega\in\Omega_4$ について、整数 $D>0$ と $c$ で $D\omega-c[\mathbb{CP}^2]$ が捩れ元となるものがある。準同型 $3\sigma-p_1$ は捩れ元で $0$ であり、$\sigma(\mathbb{CP}^2)=1$（符号数(多様体) の例「基本的な例」）、$p_1[\mathbb{CP}^2]=3$（Pontryagin類 の例「複素射影平面」）なので $[\mathbb{CP}^2]$ でも $0$ である。よって $D(3\sigma-p_1)(\omega)=0$ で、$\mathbb Z$ は捩れをもたないので $p_1=3\sigma$ である。
段 2：Stiefel–Whitney 数．$M$ を向き付けられた 4 次元の閉多様体とする。$w_1(M)=0$ なので、$0$ でありうる Stiefel–Whitney 数は $w_2^2[M]$ と $w_4[M]$ だけである。Wu の公式で $v_1=w_1=0$、$v_i=0$（$i\ge3$）だから、$w_2=v_2$、$w_4=\mathrm{Sq}^2v_2=v_2^2=w_2^2$ である。また $w_4[M]\equiv\chi(M)\pmod2$（MS74 Corollary 11.12、p. 130）である。Poincaré 双対により $b_i=b_{4-i}$（$b_i$ は有理係数の Betti 数）なので $\chi(M)=2b_0-2b_1+b_2\equiv b_2$ であり、交叉形式は非退化なので $b_2=b_++b_-\equiv b_+-b_-=\sigma(M)\pmod2$ である。よって 2 つの Stiefel–Whitney 数はどちらも $\sigma(M)\bmod2$ に等しい。
段 3：同型．$p_1[M]=0$ とする。段 1 により $\sigma(M)=0$ で、段 2 により Stiefel–Whitney 数もすべて $0$ である。4 次元の Pontryagin 数は $p_1[M]$ だけなので、$M$ と空多様体の Stiefel–Whitney 数と Pontryagin 数はすべて等しく、rem-ocr-wall の 1 により $[M]=0$ である。よって $p_1\colon\Omega_4\to\mathbb Z$ は単射で、段 1 によりその像は $3\sigma(\Omega_4)$ に含まれ、$p_1[\mathbb{CP}^2]=3$ を含むので $3\mathbb Z$ である。したがって $[M]\mapsto p_1[M]/3$ は同型 $\Omega_4\to\mathbb Z$ で、$[\mathbb{CP}^2]$ を $1$ に写す。$\square$

$x,y\in H^1(\mathbb{RP}^4\times\mathbb{RP}^2;\mathbb Z/2)$ を 2 つの因子の生成元の引き戻しとし、$Y$ への制限も同じ文字で書く。Milnor超曲面 の命題「法束と安定接束」の 3 により $w(Y)=(1+x)^5(1+y)^3(1+x+y)^{-1}$ である。$y^3=0$ を使って 3 次まで展開すると
$$ w_1(Y)=0,\qquad w_2(Y)=xy+y^2,\qquad w_3(Y)=x^2y+xy^2 $$
である（計算は下の折りたたみ）。
1．$Y$ の 4 重被覆 $\tilde Y:=\{(u,v)\in S^4\times S^2\mid u_0v_0+u_1v_1+u_2v_2=0\}$ は向き付け可能で、被覆変換がすべてその向きを保つので、向きが $Y$ に降りる。