G_δ-集合

同義語：Gδ集合G-delta set

概要

定義

G_δ-集合

位相空間 $X$ の部分集合 $A$ が $G_\delta$-集合（$G_\delta$ set）であるとは、可算個の開集合 $U_0,U_1,U_2,\dots$ が存在して
$$ A=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}U_n $$
が成り立つことをいう。すなわち、$A$ が可算個の開集合の共通部分として表せることをいう。有限個の開集合の共通部分（開集合自身を含む）は、残りの $U_n$ を $X$ で埋めれば可算個の共通部分とみなせるので、$G_\delta$-集合である。
双対的に、可算個の閉集合の和集合として表される部分集合をF_σ-集合という。

記号 $G$ は開集合を、添字 $\delta$ は共通部分をとる操作を表す。同様に $F$ は閉集合を、$\sigma$ は和集合をとる操作を表し、$G_\delta$-集合の可算和として表される集合を $G_{\delta\sigma}$-集合と呼ぶなど、記号は入れ子にして使われる（Engelking89 §1.5）。

直感

開集合は「共通部分」について有限個までしか閉じていない。可算個まで許して交わらせて得られる集合のクラスが $G_\delta$-集合であり、開集合よりわずかに広いが、可算演算という制御された範囲にとどまる。距離空間では閉集合がすべて $G_\delta$-集合になるので、$G_\delta$-集合のクラスは開集合と閉集合の両方を含む最初の共通の枠になる。一方で、$G_\delta$-集合でない集合（有理数全体が代表例）を見つけるにはBaireのカテゴリー定理という非自明な定理が必要になる。

例と反例

実数直線の区間と一点集合

$X=\mathbb{R}$ とする。開区間 $(a,b)$ は開集合なので $G_\delta$-集合である。閉区間と一点集合も
$$ [a,b]=\bigcap_{n\ge 1}\Bigl(a-\frac1n,\ b+\frac1n\Bigr),\qquad \{a\}=\bigcap_{n\ge 1}\Bigl(a-\frac1n,\ a+\frac1n\Bigr) $$
により $G_\delta$-集合である。実際、左辺が右辺に含まれることは明らかであり、右辺の点 $x$ は任意の $n\ge 1$ について $a-1/n< x< b+1/n$ を満たすので $a\le x\le b$ である（一点集合の場合も同様）。

無理数全体

有理数全体 $\mathbb{Q}$ は可算集合なので $\mathbb{Q}=\{q_0,q_1,q_2,\dots\}$ と番号づけできる。各 $\mathbb{R}\setminus\{q_n\}$ は一点を除いた開集合なので、
$$ \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}\bigl(\mathbb{R}\setminus\{q_n\}\bigr) $$
により無理数全体は $\mathbb{R}$ の $G_\delta$-集合である。

連続関数の零点集合

位相空間 $X$ 上の連続写像 $f\colon X\to\mathbb{R}$ に対し、零点集合 $f^{-1}(0)$ は $G_\delta$-集合である。実際
$$ f^{-1}(0)=\bigcap_{n\ge 1}f^{-1}\Bigl(\Bigl(-\frac1n,\frac1n\Bigr)\Bigr) $$
であり、各 $f^{-1}((-1/n,1/n))$ は開集合の連続写像による逆像なので開集合である。$f^{-1}(0)$ は閉集合でもあるので、これは閉な $G_\delta$-集合の例である（零点集合）。

反例：有理数全体

$\mathbb{R}$ の部分集合 $\mathbb{Q}$ は、一点集合（$\mathbb{R}$ では閉かつ $G_\delta$）の可算和であり $F_\sigma$-集合であるが、$G_\delta$-集合ではない。したがって $G_\delta$-集合の可算個の和集合は一般に $G_\delta$-集合でなく（prop-g-delta-closure の可算和への拡張は成り立たない）、また $F_\sigma$-集合は一般に $G_\delta$-集合でない。証明は $\mathbb{R}$ が完備距離空間であることとBaireのカテゴリー定理を用いる。$F_\sigma$-集合の側に固有の例なので、証明は F_σ-集合に置く（Mun00 §48 も参照）。

反例：閉集合がG_δ-集合でない空間

非可算集合 $X$ に余可算位相（開集合は $\emptyset$ と、補集合が可算な集合）を入れる。一点集合 $\{x\}$ は補集合が開なので閉集合である。しかし空でない開集合の可算個の共通部分は、De Morganの法則により補集合が可算個の可算集合の和集合、すなわち可算集合となるので（$\emptyset$ を含む場合は共通部分が $\emptyset$ になる）、$X$ が非可算であることから一点集合にはならない。ゆえに $\{x\}$ は閉集合だが $G_\delta$-集合でない。これは「閉集合ならば $G_\delta$-集合」という含意が距離空間の外では成り立たないことを示す（prop-g-delta-closed-in-metric の仮定が落とせないこと）。

性質

可算共通部分・有限和・逆像に関する閉包性

$X$ を位相空間とする。

$A_0,A_1,A_2,\dots$ が $X$ の $G_\delta$-集合ならば $\bigcap_{k\in\mathbb{N}}A_k$ も $G_\delta$-集合である。
$A,B$ が $G_\delta$-集合ならば $A\cup B$ も $G_\delta$-集合である。したがって有限個の $G_\delta$-集合の和集合は $G_\delta$-集合である。
$f\colon Y\to X$ を連続写像とする。$A$ が $X$ の $G_\delta$-集合ならば $f^{-1}(A)$ は $Y$ の $G_\delta$-集合である。

各 $k$ について $A_k=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}U_{k,n}$（$U_{k,n}$ は開集合）と表す。$\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ は可算集合なので、族 $\{U_{k,n}\}_{(k,n)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}}$ は可算個の開集合からなり、
$$ \bigcap_{k\in\mathbb{N}}A_k=\bigcap_{k\in\mathbb{N}}\bigcap_{n\in\mathbb{N}}U_{k,n}=\bigcap_{(k,n)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}}U_{k,n} $$
は可算個の開集合の共通部分である。
$A=\bigcap_{i}U_i$、$B=\bigcap_{j}V_j$（$U_i,V_j$ は開集合）と表す。和集合と共通部分の分配法則により
$$ A\cup B=\bigcap_{(i,j)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}}(U_i\cup V_j) $$
である。実際、$x\in A\cup B$ なら $x$ はすべての $U_i$ に属するかすべての $V_j$ に属するので、すべての $(i,j)$ について $x\in U_i\cup V_j$ である。逆に $x\notin A\cup B$ なら $x\notin U_{i_0}$ かつ $x\notin V_{j_0}$ となる $i_0,j_0$ があり、$x\notin U_{i_0}\cup V_{j_0}$ である。各 $U_i\cup V_j$ は開集合で、添字集合は可算なので $A\cup B$ は $G_\delta$-集合である。有限個への一般化はこれを繰り返せばよい。
$A=\bigcap_n U_n$ と表すと $f^{-1}(A)=\bigcap_n f^{-1}(U_n)$ であり、$f$ の連続性により各 $f^{-1}(U_n)$ は $Y$ の開集合である。$\square$

補集合によるF_σ-集合との対応

位相空間 $X$ の部分集合 $A$ について、$A$ が $G_\delta$-集合であることと、補集合 $X\setminus A$ が $F_\sigma$-集合であることは同値である。

$A=\bigcap_n U_n$（$U_n$ は開集合）ならば、De Morgan の法則により $X\setminus A=\bigcup_n(X\setminus U_n)$ であり、各 $X\setminus U_n$ は閉集合なので $X\setminus A$ は $F_\sigma$-集合である。逆に $X\setminus A=\bigcup_n F_n$（$F_n$ は閉集合）ならば $A=X\setminus\bigcup_n F_n=\bigcap_n(X\setminus F_n)$ であり、各 $X\setminus F_n$ は開集合なので $A$ は $G_\delta$-集合である。$\square$

この対応により、$G_\delta$-集合についての各性質は補集合をとることで $F_\sigma$-集合の性質に翻訳される。たとえば prop-g-delta-closure (1)(2) は「$F_\sigma$-集合は可算和と有限共通部分で閉じる」に対応する。

距離空間の閉集合はG_δ-集合

$(X,d)$ を距離空間とする。任意の閉集合 $C\subset X$ は $G_\delta$-集合であり、任意の開集合 $U\subset X$ は $F_\sigma$-集合である。

$C=\emptyset$ なら $C=\bigcap_n\emptyset$ なのでよい。$C\neq\emptyset$ とし、点 $x$ から $C$ への距離を $d(x,C):=\inf_{c\in C}d(x,c)$ とおく。任意の $x,y\in X$、$c\in C$ について $d(x,C)\le d(x,c)\le d(x,y)+d(y,c)$ なので、$c$ について下限をとって $d(x,C)\le d(x,y)+d(y,C)$、$x$ と $y$ を入れ替えて $|d(x,C)-d(y,C)|\le d(x,y)$ を得る。よって $x\mapsto d(x,C)$ は連続であり、
$$ U_n:=\{x\in X\mid d(x,C)<1/n\}\quad(n\ge 1) $$
は開集合である。$C\subset U_n$ は明らかである。逆に $x\in\bigcap_{n\ge 1}U_n$ とすると $d(x,C)=0$ なので、各 $n$ について $d(x,c_n)<1/n$ となる $c_n\in C$ がとれ、$c_n\to x$ である。$C$ は閉集合なので $x\in C$ である（距離空間では閉集合は点列の極限で閉じている。点列の収束も参照）。ゆえに $C=\bigcap_{n\ge 1}U_n$ は $G_\delta$-集合である。
開集合 $U$ については $X\setminus U$ が閉集合なので前半により $G_\delta$-集合であり、prop-g-delta-complement により $U$ は $F_\sigma$-集合である。$\square$

一点集合がG_δ-集合になる条件

T1空間 $X$ が第1可算公理を満たすならば、$X$ の任意の一点集合は $G_\delta$-集合である。特に第1可算なHausdorff空間の一点集合は $G_\delta$-集合である。
$T_1$ 空間 $X$ の点 $x$ について、$\{x\}$ が $G_\delta$-集合であることと、$x$ の擬指標 $\psi(x,X)$（共通部分が $\{x\}$ になる開集合の族の最小濃度）が高々可算であることは同値である。したがって $X$ の擬指標 $\psi(X):=\sup_{x\in X}\psi(x,X)$ が $\aleph_1$ 以上ならば、$G_\delta$-集合でない一点集合が存在する。

$x\in X$ とし、$x$ の可算な基本近傍系 $\{V_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ をとる。各 $V_n$ は $x$ の近傍なので、$x\in U_n\subset V_n$ となる開集合 $U_n$ がとれる。$y\neq x$ とすると、$T_1$ 性により $X\setminus\{y\}$ は $x$ の開近傍なので、ある $n$ について $V_n\subset X\setminus\{y\}$、したがって $y\notin U_n$ である。ゆえに $\bigcap_n U_n=\{x\}$ であり、$\{x\}$ は $G_\delta$-集合である。Hausdorff 空間は $T_1$ 空間なので後半が従う。
$T_1$ 空間では $\{x\}=\bigcap_{y\neq x}(X\setminus\{y\})$ なので、共通部分が $\{x\}$ になる開集合の族は存在し、$\psi(x,X)$ が定まる。$\{x\}$ が $G_\delta$-集合であることは、そのような族で可算なものがあることと同値であり、これは $\psi(x,X)\le\aleph_0$ と同値である。$\psi(X)\ge\aleph_1$ ならば $\psi(x,X)\ge\aleph_1$ となる点 $x$ があり、$\{x\}$ は $G_\delta$-集合でない。$\square$

正規空間における閉集合の分離

$X$ を正規空間とし、$A,B\subset X$ を交わらない閉集合とする。このとき、閉な $G_\delta$-集合 $F\supset A$、$G\supset B$ で $F\cap G=\emptyset$ となるものが存在する。

Urysohnの補題（Mun00 §33）により、連続写像 $f\colon X\to[0,1]$ で $A$ 上で $0$、$B$ 上で $1$ となるものが存在する。$F:=f^{-1}(0)$、$G:=f^{-1}(1)$ とおくと、$A\subset F$、$B\subset G$、$F\cap G=\emptyset$ であり、$F,G$ は一点集合の連続写像による逆像なので閉集合である。さらに ex-g-delta-zero-set と同様に
$$ F=\bigcap_{n\ge 1}f^{-1}\bigl([0,1/n)\bigr),\qquad G=\bigcap_{n\ge 1}f^{-1}\bigl((1-1/n,1]\bigr) $$
であり、$[0,1/n)$ と $(1-1/n,1]$ は $[0,1]$ の開集合なので、$F,G$ は $G_\delta$-集合である。$\square$

補足

Borel集合の階層（Borel階層）では、開集合の族を $\boldsymbol{\Sigma}^0_1$、閉集合の族を $\boldsymbol{\Pi}^0_1$ とし、閉集合の可算和である $F_\sigma$-集合の族を $\boldsymbol{\Sigma}^0_2$、開集合の可算共通部分である $G_\delta$-集合の族を $\boldsymbol{\Pi}^0_2$ と書く。以下 $\boldsymbol{\Sigma}^0_3$ は $G_{\delta\sigma}$-集合の族、$\boldsymbol{\Pi}^0_3$ は $F_{\sigma\delta}$-集合の族と続き、この階層を可算順序数にわたって続けたものが Borel 集合全体である（Kec95 §11.B）。$G_\delta$-集合は、開集合・閉集合の次に現れる階層の第 2 段に位置する。距離化可能空間、たとえばBaire空間 $\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ や $\mathbb{R}$ では、prop-g-delta-closed-in-metric により $\boldsymbol{\Pi}^0_1\subset\boldsymbol{\Pi}^0_2$ かつ $\boldsymbol{\Sigma}^0_1\subset\boldsymbol{\Sigma}^0_2$ であり、階層は増大列をなす。
$G_\delta$-集合は解析学・記述集合論の随所に現れる。実数直線上の関数 $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ の連続点全体は $G_\delta$-集合であり、prop-g-delta-complement により不連続点全体は $F_\sigma$-集合である（証明は F_σ-集合に置く）。また、Polish空間（可分空間である完備距離化可能空間）の部分空間が再び Polish 空間であるための必要十分条件は、それが $G_\delta$-集合であることである（Kec95 Theorem 3.11）。この事実の証明は Polish空間に委ねる。