G_δ-集合

概要

位相空間$X$の部分集合$A$が$G_\delta$-集合であるとは、可算個の開集合$U_1,\ldots,U_n,\ldots$が存在して$A=\bigcap_{i\in\mathbb{N}}U_i$が成り立つことをいう。

$G_\delta$-集合の可算個の共通集合は$G_\delta$-集合である。
位相空間$X$について、$X$のpseudo-characterが$\aleph_1$以上ならば、一点集合であって$G_\delta$-集合でないものが存在する。
Hausdorffかつ第一可算な位相空間$X$について、任意の一点集合は$G_\delta$-集合である。
Baire空間の$G_\delta$-集合は、Borel階層に於いて$\mathbf{\Pi}^0_2$である。

正規空間と$G_\delta$-集合

（Hausdorffな）正規空間$X$と、その中の交わらない閉集合$A, B$ について、$G_\delta$な閉集合$F \supset A, G \supset B$であって$F \cap G = \emptyset$なるものが存在する。

F_σ-集合についても参照されたい。