Eilenberg–Zilberの定理

自然性は、面をとる操作が連続写像との合成と可換であることによる。次数 $0$ では $\operatorname{AW}(x,y)=x\otimes y$ なので正規化されている。鎖写像であることを示す。特異単体の集合を基底とする自由 $R$ 加群をとって得られる単体 $R$ 加群 $A=R[\operatorname{Sing}X]$、$B=R[\operatorname{Sing}Y]$ を考える（特異単体的集合 の定義「特異単体的集合」）。次数ごとのテンソル積 $(A\otimes_RB)_n=A_n\otimes_RB_n$ は $\operatorname{Sing}_nX\times\operatorname{Sing}_nY=\operatorname{Sing}_n(X\times Y)$ を基底とし、面写像も成分ごとなので、その非正規化複体は $C(X\times Y)$ である。$A$、$B$ の非正規化複体は $C(X)$、$C(Y)$ である。この同一視のもとで $\operatorname{AW}$ は Jacobi–Zariski完全列 の Alexander–Whitney 写像 $x\otimes y\mapsto x|_{\le p}\otimes y|_{\ge p}$ と同じ式であり、同じ記事の補題「Alexander–Whitney 写像は鎖写像」により鎖写像である。$\square$

連続性。$t_0<1$ の範囲で連続であることは式から明らかである。$\kappa(\Delta^r)$ はコンパクトなので $\|\kappa(s)-v\|\le M$ となる $M$ があり、$\| c(\kappa)(t)-v\|=(1-t_0)\|\kappa(\cdots)-v\|\le(1-t_0)M$ なので $e_0$ でも連続である。値は凸性により $K$ に入る。

面。$i$ 番目の余面写像 $d_i\colon\Delta^r\to\Delta^{r+1}$ は $i$ 番目に座標 $0$ を挿入する写像である。$i=0$ では $t_0=0$ なので $c(\kappa)\circ d_0=\kappa$ である。$r\ge1$、$1\le i\le r+1$ では、点 $s=(s_0,\dots,s_r)$ について $d_is$ の第 $0$ 座標は $s_0$ で、残りの座標を $1-s_0$ で割った点は $(s_1,\dots,s_r)/(1-s_0)$ の $i-1$ 番目に $0$ を挿入した点だから、$c(\kappa)\circ d_i=c(\kappa\circ d_{i-1})$ である。$r=0$ では $c(x)$ は $v$ から点 $x$ への線分で、$c(x)\circ d_0=x$、$c(x)\circ d_1=v$ である。

等式。$r\ge1$ では $\partial c(\kappa)=\kappa+\sum_{i=1}^{r+1}(-1)^ic(\kappa\circ d_{i-1})=\kappa-c(\partial\kappa)$、つまり $(\partial c+c\partial)\kappa=\kappa$ である。$r=0$ では $\partial c(x)=x-v$ で $c\partial=0$ なので、$(\partial c+c\partial)x=x-\pi(x)$ である。$\square$

$a\in A_p$、$b\in B_q$ とする。$\pi(a)\ne0$ なら $p=0$ であり、次数 $0$ の元の $\partial$ は $0$ である。

$$\partial H(a\otimes b)=\partial c(a)\otimes b+(-1)^{p+1}c(a)\otimes\partial b+\pi(a)\otimes\partial c(b),$$

$$H\partial(a\otimes b)=c(\partial a)\otimes b+\pi(\partial a)\otimes c(b)+(-1)^p\bigl(c(a)\otimes\partial b+\pi(a)\otimes c(\partial b)\bigr).$$

$\pi\partial=0$ なので 2 式目の 2 項目は消え、$c(a)\otimes\partial b$ の 2 項は打ち消し合う。最後の項は $p=0$ のときだけ残り、符号は $+$ である。和は $(\partial c+c\partial)(a)\otimes b+\pi(a)\otimes(\partial c+c\partial)(b)=(a-\pi a)\otimes b+\pi(a)\otimes(b-\pi b)=a\otimes b-\pi(a)\otimes\pi(b)$ である。$\square$

1：$C_p(X)$ は特異 $p$ 単体を基底とする自由加群なので、$T_n(X,Y)$ は $p+q=n$ と特異単体の組 $(\sigma,\tau)$ ごとの $\sigma\otimes\tau=T(\sigma,\tau)(\iota_p\otimes\iota_q)$ を基底とし、組 $(p,q,\sigma,\tau)$ が違えば基底の元も違う。$P_n(X,Y)$ の基底は特異 $n$ 単体 $(\sigma_1,\sigma_2)\colon\Delta^n\to X\times Y$ の全体で、$(\sigma_1,\sigma_2)=(\sigma_1\times\sigma_2)\circ\delta_n=P(\sigma_1,\sigma_2)(\delta_n)$ であり、組 $(\sigma_1,\sigma_2)$ は単体からただ 1 つに決まる。

2：$\Delta^p$ と $\Delta^q$ は凸集合なので、lem-ez-cone の $c$、$\pi$（頂点 $e_0$ を $v$ にとる）は $C(\Delta^p)$、$C(\Delta^q)$ の上で lem-ez-tensor-contraction の仮定をみたす（$\pi\partial=0$ は $\varepsilon\partial=0$ による）。よって $T(M_{p,q})$ と $T^\tau(M_{p,q})$ には $\partial H+H\partial=1-\pi\otimes\pi$ となる $H$ がある。$\Delta^p\times\Delta^q\subset\mathbb R^{p+1}\times\mathbb R^{q+1}$ も凸集合なので、$P(M_{p,q})$ と $P^\tau(M_{p,q})$ には lem-ez-cone により $\partial c+c\partial=1-\pi$ となる $c$ がある。どちらの場合も、輪体 $z$ について $z=\partial(Hz)+(\pi\otimes\pi)z$（または $z=\partial(cz)+\pi z$）であり、$(\pi\otimes\pi)z$ と $\pi z$ は正の次数では $0$、次数 $0$ では $\varepsilon(z)$ と点の組の積である。よって正の次数の輪体と、$\varepsilon(z)=0$ となる次数 $0$ の元は境界である。点の組は $\varepsilon$ で $1$ に写るので、$\varepsilon$ は全射である。$\square$

自然な写像の決め方。各 $b\in B_n$ について $w_b\in G_m(M_b)$ を任意に選ぶ。基底の元 $F(h)(u_b)$ に $G(h)(w_b)$ を対応させて $R$ 線型に延ばした写像 $\Psi\colon F_n(X,Y)\to G_m(X,Y)$ は自然である。実際、射 $k\colon(X,Y)\to(X',Y')$ について $\Psi(F(k)F(h)u_b)=\Psi(F(kh)u_b)=G(kh)w_b=G(k)\Psi(F(h)u_b)$ である。逆に、自然な写像 $\Psi$ は $\Psi(F(h)u_b)=G(h)\Psi(u_b)$ をみたすので、値 $\Psi(u_b)$ たちで決まる。とくに、2 つの自然な写像 $F_n\to G_m$ は、すべての $u_b$ で値が一致すれば等しい。

1。次数 $0$ では、$\varepsilon_G$ が全射なので $\varepsilon_G(w_b)=\varepsilon_F(u_b)$ となる $w_b\in G_0(M_b)$ を選び、$\Phi_0(u_b)=w_b$ で $\Phi_0$ を定める。添加の自然性から $\varepsilon_G(G(h)w_b)=\varepsilon_G(w_b)=\varepsilon_F(u_b)=\varepsilon_F(F(h)u_b)$ なので、$\Phi_0$ は正規化されている。$n\ge1$ とし、$\Phi_0,\dots,\Phi_{n-1}$ が $\partial\Phi_k=\Phi_{k-1}\partial$（$1\le k\le n-1$）をみたすとする。$b\in B_n$ について $z_b:=\Phi_{n-1}(\partial u_b)\in G_{n-1}(M_b)$ とおく。$n\ge2$ なら $\partial z_b=\Phi_{n-2}(\partial\partial u_b)=0$ で、$z_b$ は正の次数の輪体である。$n=1$ なら $\varepsilon_G(z_b)=\varepsilon_F(\partial u_b)=0$ である。どちらの場合も非輪状性から $z_b=\partial w_b$ となる $w_b\in G_n(M_b)$ があり、$\Phi_n(u_b):=w_b$ で $\Phi_n$ を定める。$\partial\Phi_n$ と $\Phi_{n-1}\partial$ は自然で、$u_b$ での値はどちらも $z_b$ なので等しい。

2。$\Delta:=\Phi-\Phi'$ とおき、自然な $D_n\colon F_n\to G_{n+1}$ で $\partial D_n+D_{n-1}\partial=\Delta_n$（$D_{-1}:=0$）をみたすものを帰納的に作る。$b\in B_n$ について $z_b:=\Delta(u_b)-D_{n-1}(\partial u_b)$ とおく。$n=0$ では $z_b=\Delta(u_b)$ で、正規化から $\varepsilon_G(z_b)=0$ である。$n\ge1$ では、帰納法の仮定 $\partial D_{n-1}=\Delta_{n-1}-D_{n-2}\partial$ と $\Delta$ が鎖写像であることから $\partial z_b=\Delta(\partial u_b)-\Delta(\partial u_b)+D_{n-2}(\partial\partial u_b)=0$ であり、$z_b$ は正の次数の輪体である。どちらの場合も $z_b=\partial w_b$ となる $w_b$ があり、$D_n(u_b):=w_b$ とおく。$\partial D_n+D_{n-1}\partial$ と $\Delta_n$ は自然で、$u_b$ での値はどちらも $z_b+D_{n-1}(\partial u_b)=\Delta(u_b)$ なので等しい。$\square$

$R=F$ として thm-ez-main の 2 を使うと、$\mathrm{EZ}_*\colon H_n(C(X;F)\otimes_FC(Y;F))\to H_n(X\times Y;F)$ は自然な同型である。左辺は、Künnethの公式 の定理「体上の代数的な Künneth の定理」により、代数的なクロス積によって $\bigoplus_{i+j=n}H_i(X;F)\otimes_FH_j(Y;F)$ と同型である。2 つを合成したものが上の写像である。$\square$

1。$t$ が鎖写像であること：$\partial t(a\otimes b)=(-1)^{pq}\bigl(\partial b\otimes a+(-1)^qb\otimes\partial a\bigr)$、$t\partial(a\otimes b)=(-1)^{(p-1)q}b\otimes\partial a+(-1)^{p+p(q-1)}\partial b\otimes a$ で、符号は $(-1)^{pq+q}=(-1)^{pq-q}$、$(-1)^{pq}=(-1)^{p+pq-p}$ と一致する。$t$ は自然で、次数 $0$ で $t(x\otimes y)=y\otimes x$ である。よって 2 つの合成はどちらも自然で、点の組 $(x,y)$ を $y\otimes x$ に写すので正規化されている。prop-ez-free-acyclic により $P$ は模型の上で自由、$T^\tau$ は非輪状なので、lem-ez-acyclic-models の 2 から自然な鎖ホモトピー $D$ で $t\operatorname{AW}-\operatorname{AW}s_\sharp=\partial D+D\partial$ となるものがある。

2。余鎖 $\varphi\in C^p(X)$、$\psi\in C^q(X)$ について、$C(X)\otimes C(X)$ 上の $R$ 線型写像 $\varphi\otimes\psi$ を、$x\in C_p$、$y\in C_q$ なら $(\varphi\otimes\psi)(x\otimes y)=\varphi(x)\psi(y)$、ほかの次数の組では $0$ と定める。直接の計算で $(\varphi\otimes\psi)\circ\partial=\delta\varphi\otimes\psi+(-1)^p\varphi\otimes\delta\psi$、$(\psi\otimes\varphi)\circ t=(-1)^{pq}\,\varphi\otimes\psi$ である。対角写像を $\Delta\colon X\to X\times X$ とすると、カップ積 の定義「カップ積」から $(\varphi\smile\psi)(\sigma)=(\varphi\otimes\psi)\bigl(\operatorname{AW}(\Delta\circ\sigma)\bigr)$ である。$\varphi$、$\psi$ が余輪体なら $(\psi\otimes\varphi)\circ\partial=0$ なので、特異 $(p+q)$ 単体 $\sigma$ について、1 の等式を $\Delta_\sharp\sigma$ に当てて $\psi\otimes\varphi$ で評価すると、$s\circ\Delta=\Delta$ と $\partial\Delta_\sharp=\Delta_\sharp\partial$ から

$$(-1)^{pq}(\varphi\smile\psi)(\sigma)-(\psi\smile\varphi)(\sigma)=(\psi\otimes\varphi)\bigl(D\Delta_\sharp\partial\sigma\bigr)=(\delta w)(\sigma),\qquad w:=(\psi\otimes\varphi)\circ D\circ\Delta_\sharp$$

となる。$(-1)^{pq}$ を掛ければ主張を得る。$\square$

自然性と正規化。連続写像 $f,g$ について $(f\times g)\circ(\sigma\hat a_w,\tau\hat b_w)=(f\sigma\hat a_w,g\tau\hat b_w)$ なので自然である。$p=q=0$ では語は空語だけで $\operatorname{sh}(x\otimes y)=(x,y)$ だから正規化されている。

示すこと。$\partial\operatorname{sh}(\sigma\otimes\tau)=\operatorname{sh}(\partial\sigma\otimes\tau)+(-1)^p\operatorname{sh}(\sigma\otimes\partial\tau)$ を示す。左辺は、$w\in\mathrm{Sh}(p,q)$ と $0\le i\le n$ の組 $(w,i)$ ごとの項 $(-1)^{\operatorname{inv}(w)+i}(\sigma\widehat{a_w\delta^i},\tau\widehat{b_w\delta^i})$ の和である。$w$ の $k$ 番目の文字は頂点 $k-1$ から $k$ への $1$ 歩であり、$0< i< n$ のとき頂点 $i$ は $i$ 番目と $i+1$ 番目の文字の間にある。以下 $w'$ は $w$ から文字を $1$ つ除いた語を表す。

(a) $0< i< n$ で、$i$ 番目と $i+1$ 番目の文字が異なる。この 2 文字を入れ替えた語を $\bar w$ とすると、$a_w$ と $a_{\bar w}$、$b_w$ と $b_{\bar w}$ は頂点 $i$ でしか値が違わないので $a_w\delta^i=a_{\bar w}\delta^i$、$b_w\delta^i=b_{\bar w}\delta^i$ であり、$\operatorname{inv}(\bar w)=\operatorname{inv}(w)\pm1$ である。よって $(w,i)$ と $(\bar w,i)$ の項は打ち消し合う。$(w,i)\mapsto(\bar w,i)$ はこの型の組の上の固定点のない対合なので、この型の項の和は $0$ である。

(b) $0< i< n$ で、2 文字がともに $\mathsf X$。$k:=a_w(i)$ とおくと $1\le k\le p-1$ で、$a_w(i-1)=k-1$、$a_w(i+1)=k+1$ である。片方の $\mathsf X$ を除いた $(p-1,q)$ シャッフルを $w'$ とすると、$a_w\delta^i=\delta^ka_{w'}$、$b_w\delta^i=b_{w'}$ である（頂点 $j< i$ では両辺とも $a_w(j)$、$j\ge i$ では両辺とも $a_w(j+1)$）。除いた $\mathsf X$ の前にある $\mathsf Y$ の個数を $m:=b_w(i)$ とすると $\operatorname{inv}(w)=\operatorname{inv}(w')+m$、$i=k+m$ なので、符号は $(-1)^{\operatorname{inv}(w')+k}$ である。これは $\operatorname{sh}(\partial\sigma\otimes\tau)$ の項 $(-1)^k(-1)^{\operatorname{inv}(w')}(\sigma\widehat{\delta^k}\hat a_{w'},\tau\hat b_{w'})$ である。

(c) $0< i< n$ で、2 文字がともに $\mathsf Y$。$l:=b_w(i)$（$1\le l\le q-1$）、片方の $\mathsf Y$ を除いた語を $w'$ とすると $b_w\delta^i=\delta^lb_{w'}$、$a_w\delta^i=a_{w'}$ である。除いた $\mathsf Y$ の後にある $\mathsf X$ は $p-a_w(i)$ 個なので $\operatorname{inv}(w)=\operatorname{inv}(w')+p-a_w(i)$、$i=a_w(i)+l$ で、符号は $(-1)^{\operatorname{inv}(w')+p+l}$ である。これは $(-1)^p\operatorname{sh}(\sigma\otimes\partial\tau)$ の項である。

(d) $i=0$。最初の文字が $\mathsf X$ なら、それを除いた $w'$ について $a_w\delta^0=\delta^0a_{w'}$、$b_w\delta^0=b_{w'}$、$\operatorname{inv}(w)=\operatorname{inv}(w')$ で、$\operatorname{sh}(\partial\sigma\otimes\tau)$ の $d_0\sigma$ の項になる。最初の文字が $\mathsf Y$ なら、$b_w\delta^0=\delta^0b_{w'}$ で、除いた $\mathsf Y$ は $p$ 個の $\mathsf X$ すべての前にあるので $\operatorname{inv}(w)=\operatorname{inv}(w')+p$ であり、$(-1)^p\operatorname{sh}(\sigma\otimes\partial\tau)$ の $d_0\tau$ の項になる。

(e) $i=n$。最後の文字が $\mathsf X$ なら $a_w\delta^n=\delta^pa_{w'}$ で、除いた $\mathsf X$ の前に $q$ 個の $\mathsf Y$ があるので $\operatorname{inv}(w)=\operatorname{inv}(w')+q$、符号は $(-1)^{\operatorname{inv}(w')+q+n}=(-1)^{\operatorname{inv}(w')+p}$ で、$\operatorname{sh}(\partial\sigma\otimes\tau)$ の $(-1)^pd_p\sigma$ の項になる。最後の文字が $\mathsf Y$ なら $b_w\delta^n=\delta^qb_{w'}$、$\operatorname{inv}(w)=\operatorname{inv}(w')$、符号は $(-1)^{\operatorname{inv}(w')+p+q}$ で、$(-1)^p\operatorname{sh}(\sigma\otimes\partial\tau)$ の $(-1)^qd_q\tau$ の項になる。

対応が全単射であること。$\operatorname{sh}(\partial\sigma\otimes\tau)$ の項は、$0\le k\le p$ と $w'\in\mathrm{Sh}(p-1,q)$ の組で添字付けられる。$k=0$ なら $w'$ の先頭に、$k=p$ なら末尾に $\mathsf X$ を足し、$1\le k\le p-1$ なら $w'$ の $k$ 番目の $\mathsf X$ を $\mathsf{XX}$ に重ねると、(d)、(e)、(b) の組 $(w,i)$ がただ 1 つ得られ、これは上の対応の逆である。$\operatorname{sh}(\sigma\otimes\partial\tau)$ の項も $\mathsf Y$ について同様である。よって (a) の和 $0$ と (b)〜(e) の和を合わせて主張の等式を得る。$p=0$ や $q=0$ では、対応する文字も面もないので、もう一方の項だけが残る。

現れる符号はすべて $\pm1$ で、係数環の性質は使っていない。後半は、$\operatorname{sh}$ が正規化された自然な鎖写像であることと thm-ez-main の 2・3 から従う。$\square$

どの等式も両辺が双線型なので、特異単体 $\sigma$、$\tau$、$\upsilon$ について示せばよい。

1。左辺は、$u\in\mathrm{Sh}(p,q)$ と、$p+q$ 個の文字 $\mathsf P$ と $r$ 個の $\mathsf Z$ からなる語 $v$ の組ごとの項 $(-1)^{\operatorname{inv}(u)+\operatorname{inv}(v)}(\sigma\hat a_u\hat a_v,\tau\hat b_u\hat a_v,\upsilon\hat b_v)$ の和である。$v$ の $j$ 番目の $\mathsf P$ を $u$ の $j$ 番目の文字に置き換えると、$\mathsf X$、$\mathsf Y$、$\mathsf Z$ の 3 文字の語 $w$ が得られる。逆に $w$ から $\mathsf Z$ を除けば $u$、$\mathsf X$ と $\mathsf Y$ をともに $\mathsf P$ に替えれば $v$ が戻るので、これは全単射である。$w$ の最初の $k$ 文字のうちの $\mathsf X$、$\mathsf Y$、$\mathsf Z$ の個数を $a_w(k)$、$b_w(k)$、$c_w(k)$ とすると、最初の $k$ 文字のうちの $\mathsf P$ は $a_v(k)$ 個で、それは $u$ の最初の $a_v(k)$ 文字なので、$a_ua_v=a_w$、$b_ua_v=b_w$、$b_v=c_w$ である。符号は、$\operatorname{inv}(u)$ が「$\mathsf Y$ が $\mathsf X$ より前」、$\operatorname{inv}(v)$ が「$\mathsf Z$ が $\mathsf X$ または $\mathsf Y$ より前」の組の個数なので、和は $w$ の中の「後の因子の文字が前の因子の文字より前にある組」の個数 $\operatorname{inv}(w)$ である。右辺も、$\mathsf Y$ と $\mathsf Z$ の語 $u'$ と、$\mathsf X$ と $\mathsf Q$ の語 $v'$ の組から同じように $w$ への全単射があり、$a_{v'}=a_w$、$b_{u'}b_{v'}=b_w$、$c_{u'}b_{v'}=c_w$（$c_{u'}$ は $u'$ の中の $\mathsf Z$ の個数）、符号の和も $\operatorname{inv}(w)$ である。よって両辺はともに $\sum_w(-1)^{\operatorname{inv}(w)}(\sigma\hat a_w,\tau\hat b_w,\upsilon\hat c_w)$ に等しい。

2。$w\in\mathrm{Sh}(p,q)$ の $\mathsf X$ と $\mathsf Y$ を入れ替えた語を $\tilde w\in\mathrm{Sh}(q,p)$ とすると、$a_{\tilde w}=b_w$、$b_{\tilde w}=a_w$ なので $s\circ(\sigma\hat a_w,\tau\hat b_w)=(\tau\hat a_{\tilde w},\sigma\hat b_{\tilde w})$ である。$w$ の $\mathsf X$ と $\mathsf Y$ の $pq$ 個の組はそれぞれ「$\mathsf Y$ が前」か「$\mathsf X$ が前」のどちらかなので $\operatorname{inv}(w)+\operatorname{inv}(\tilde w)=pq$ である。$w\mapsto\tilde w$ は全単射なので、$s_\sharp\operatorname{sh}(\sigma\otimes\tau)=\sum_{\tilde w}(-1)^{pq-\operatorname{inv}(\tilde w)}(\tau\hat a_{\tilde w},\sigma\hat b_{\tilde w})=(-1)^{pq}\operatorname{sh}(\tau\otimes\sigma)=\operatorname{sh}(t(\sigma\otimes\tau))$ である。

3。$p=0$ の語は $\mathsf Y^q$ だけで、$a_w$ は定値、$b_w=\mathrm{id}$、符号は $+$ なので $\operatorname{sh}(\ast\otimes\tau)=(c_\ast,\tau)$ であり、これは $\mathrm{pt}\times Y=Y$ で $\tau$ にあたる。右の単位も語 $\mathsf X^p$ から同様である。$\square$

$\operatorname{AW}$ と退化。$n$ 単体 $(\sigma_1,\sigma_2)=(\rho_1,\rho_2)\circ\widehat{\sigma^j}$ をとり、$\lambda_r\colon[r]\to[n]$ を $k\mapsto k$、$\lambda'_r\colon[n-r]\to[n]$ を $k\mapsto k+r$ とする。$\operatorname{AW}$ の $r$ 番目の項は $\rho_1\widehat{\sigma^j\lambda_r}\otimes\rho_2\widehat{\sigma^j\lambda'_r}$ である。$r\ge j+1$ なら $\lambda_r$ の像は $j$、$j+1$ を含むので $\sigma^j\lambda_r$ は単射でなく、前の因子は $(\ast)$ により退化している。$r\le j$ なら $\lambda'_r$ の像が $j$、$j+1$ を含み、後ろの因子が退化している。

$\operatorname{sh}$ と退化。$\sigma=\rho\circ\widehat{\sigma^j}$（$\rho\colon\Delta^{p-1}\to X$）とする。$w\in\mathrm{Sh}(p,q)$ の $j+1$ 番目の $\mathsf X$ を $k$ 番目の文字とすると、$\sigma^ja_w$ と $b_w$ はともに頂点 $k-1$ と $k$ で同じ値をとるので、$\sigma^ja_w=\alpha'\sigma^{k-1}$、$b_w=\beta'\sigma^{k-1}$ と分解し、$(\sigma\hat a_w,\tau\hat b_w)=(\rho\hat\alpha',\tau\hat\beta')\circ\widehat{\sigma^{k-1}}$ は退化している。$\tau$ が退化している場合も $\mathsf Y$ について同様である。

$\operatorname{AW}\circ\operatorname{sh}$。$\operatorname{AW}(\operatorname{sh}(\sigma\otimes\tau))$ は、$w\in\mathrm{Sh}(p,q)$ と $0\le r\le n$ の組ごとの項 $(-1)^{\operatorname{inv}(w)}\sigma\widehat{a_w\lambda_r}\otimes\tau\widehat{b_w\lambda'_r}$ の和である（$\lambda_r$、$\lambda'_r$ は上と同じ）。$a_w\lambda_r$ が単射であることは $w$ の最初の $r$ 文字がすべて $\mathsf X$ であることと、$b_w\lambda'_r$ が単射であることは最後の $n-r$ 文字がすべて $\mathsf Y$ であることと同値である。両方が成り立つのは $r=p$、$w=\mathsf X^p\mathsf Y^q$ のときだけで、そのとき $\operatorname{inv}(w)=0$、$a_w\lambda_p=\mathrm{id}$、$b_w\lambda'_p=\mathrm{id}$ なので項は $\sigma\otimes\tau$ である。ほかの項はどちらかの因子が $(\ast)$ により退化している。

$C(X)\otimes C(Y)$ を $D(X)\otimes C(Y)+C(X)\otimes D(Y)$ で割った商はテンソル積の右完全性により $N(X)\otimes N(Y)$ なので、最後の主張が従う。$\square$