Hadamardの因数分解定理

要点：$|u|\leq\frac12$ では $E_h(u)=\exp(-\sum_{k>h}u^k/k)$ から、$|u|>\frac12$ では各項を $|u|^{h+1}$ と比べて評価する。

要点：$|B_\rho|=1$ が円周 $|z|=\rho$ 上で成り立つので、$\operatorname{Re}L_\rho$ は円周上で $\log|f|\leq\log M(\rho)$ である。Taylor 係数を円周上の $\operatorname{Re}L_\rho$ の Fourier 係数で表して評価する。

$[2r,3r]$ には零点の絶対値が有限個しかないので、零点が円周 $|z|=\rho$ にない $\rho\in[2r,3r]$ がとれる。lem-hf-disk の 2 で、$|b_i|\leq r$ の項は $\log(\rho/|b_i|)\geq\log2$、それ以外の項は $0$ 以上なので、$n(r)\log2\leq\log M(\rho)-\log|f(0)|\leq\log M(3r)-\log|f(0)|$ である。$\square$

$f_1(z):=f(z)/z^m$ は $f_1(0)\neq0$ の整関数で、零点の列は $(a_n)$、位数は $\lambda$ である。$(a_n)$ を $|a_1|\leq|a_2|\leq\cdots$ と並べておく。
1． まず、どの $\varepsilon>0$ についても、定数 $C$ があって十分大きい $r$ で $n(r)\leq Cr^{\lambda+\varepsilon}$ となることを示す。十分大きい $r$ で $\log M_{f_1}(3r)\leq(3r)^{\lambda+\varepsilon}$ なので、cor-hf-counting から $n(r)\leq((3r)^{\lambda+\varepsilon}+|\log|f_1(0)||)/\log2$ であり、$C:=2\cdot3^{\lambda+\varepsilon}/\log2$ ととればよい。次に $\varepsilon:=(s-\lambda)/2$ とする。零点が有限個なら和は有限和なので、無限個とする。$n\leq n(|a_n|)$ かつ $|a_n|\to\infty$ だから、十分大きい $n$ で $n\leq C|a_n|^{\lambda+\varepsilon}$、すなわち $|a_n|^{-s}\leq(C/n)^{s/(\lambda+\varepsilon)}$ である。指数 $s/(\lambda+\varepsilon)$ は $1$ より大きいので、$\sum_n|a_n|^{-s}$ は収束する。
2． $q+1>\lambda$ なので 1 により $\sum_n|a_n|^{-q-1}<\infty$ であり、種数の最小性から $h\leq q$ である。$\sum_n(r/|a_n|)^{h+1}<\infty$ なので、Weierstrassの因数分解定理 の定理「Weierstrass の因数分解定理」により $P:=\prod_nE_h(z/a_n)$ は整関数で、整関数 $g$ によって $f_1=e^gP$ と書ける。$g(z)=\sum_j\beta_jz^j$ とし、$j\geq q+1$ で $\beta_j=0$ を示す。
$\delta>0$ を $|a_1|/2$ とする（零点がなければ $\delta:=1$）。$E_h'(u)=-u^he^{u+\cdots+u^h/h}$（同じ記事の補題「基本因子の評価」の証明）から $E_h'/E_h=-u^h/(1-u)$ であり、$\frac{d}{dz}\log E_h(z/a)=\frac{(z/a)^h}{z-a}$ である。部分積 $P_N$ は $|z|\leq\delta$ で $P$ に一様収束し、$P$ はそこで零点をもたないので、Cauchyの積分公式 の系「Weierstrass の定理」により $P_N'/P_N\to P'/P$（一様）であって
$$\frac{P'(z)}{P(z)}=\sum_n\frac{(z/a_n)^h}{z-a_n}=-\sum_n\sum_{i\geq0}\frac{z^{h+i}}{a_n^{h+i+1}}\qquad(|z|<\delta)$$
である。二重級数は $\sum_n2\delta^h|a_n|^{-h-1}<\infty$ で押さえられて絶対収束するので、並べ替えてよい。$j\geq h+1$ について、$z^{j-1}$ の係数は $-\sum_na_n^{-j}$ である。
$\rho>\delta$ を零点の絶対値でない数とし、lem-hf-disk を $f_1$ に当てる。$|z|<\delta$ で $f_1'/f_1=g'+P'/P=L_\rho'+B_\rho'/B_\rho$ であり、
$$\frac{B_\rho'(z)}{B_\rho(z)}=\sum_{|a_n|<\rho}\Bigl(\frac1{z-a_n}+\frac{\overline{a_n}}{\rho^2-\overline{a_n}z}\Bigr)$$
の $z^{j-1}$ の係数は $\sum_{|a_n|<\rho}(-a_n^{-j}+\overline{a_n}^{\,j}\rho^{-2j})$ である。$j\geq q+1$ として $z^{j-1}$ の係数を比べると
$$j\beta_j=jc_j+\sum_{|a_n|\geq\rho}a_n^{-j}+\rho^{-2j}\sum_{|a_n|<\rho}\overline{a_n}^{\,j}$$
を得る。$\varepsilon:=(q+1-\lambda)/2$ とすると $\lambda+\varepsilon< j$ であり、1 の前半の $C$ をこの $\varepsilon$ でとる。$\rho\to\infty$ とすると、lem-hf-disk の 3 から $|jc_j|\leq2j\rho^{-j}(\rho^{\lambda+\varepsilon}+|\log|f_1(0)||)\to0$、第 2 項は 1 により収束する級数の尾部なので $\to0$、第 3 項は絶対値が $\rho^{-j}n(\rho)\leq C\rho^{\lambda+\varepsilon-j}$ 以下で $\to0$ である。よって $\beta_j=0$ であり、$g$ は次数 $q$ 以下の多項式である。
3． 2 により $f$ は有限の種数 $\mu=\max(h,\deg g)\leq q\leq\lambda$ をもつ。逆に、$S:=\sum_n|a_n|^{-h-1}$ とおくと、$P(z)\neq0$ の点では $\log|P(z)|=\lim_N\sum_{n\leq N}\log|E_h(z/a_n)|\leq3\cdot2^hS|z|^{h+1}$（lem-hf-elementary-upper）なので、$M_P(r)\leq\exp(3\cdot2^hSr^{h+1})$ である。$d:=\deg g$ とすると、ある定数 $A$ について $r\geq1$ で $|e^{g(z)}|\leq e^{|g(z)|}\leq e^{A r^d}$ である。よって $r\geq1$ で $\log M(r)\leq m\log r+Ar^d+3\cdot2^hSr^{h+1}$ であり、$d\leq\mu$、$h+1\leq\mu+1$ から右辺は十分大きい $r$ で $(A+3\cdot2^hS+1)r^{\mu+1}$ 以下である。したがって $\lambda\leq\mu+1$ である。$\square$

多項式の位数は $0$ なので $f$ は多項式でない。$|M_{f-a}(r)-M_f(r)|\leq|a|$ かつ $M_f(r)\to\infty$ なので、$f-a$ の位数も $\lambda$ である。$f-a$ の零点が有限個だと仮定すると、thm-hf-main の 2 で積は有限積になり、$f-a=Q\,e^{g}$（$Q$ は多項式、$g$ は多項式）と書ける。$f-a$ は多項式でないので $d:=\deg g\geq1$ である。$g(z)=bz^d+\cdots$（$b\neq0$）とし、$be^{id\theta_0}=|b|$ となる $\theta_0$ をとる。$z=re^{i\theta_0}$ では、定数 $A$ について $r\geq1$ で $\operatorname{Re}g(z)\geq|b|r^d-Ar^{d-1}$ であり、十分大きい $r$ で $|Q(z)|\geq|Q(z)/z^{\deg Q}|\geq c>0$（$c$ は $Q$ の最高次係数の絶対値の半分）なので、$\log M_{f-a}(r)\geq|b|r^d-Ar^{d-1}+\log c$ である。上からは $\log M_{f-a}(r)\leq\deg Q\log r+A'r^d$ である。よって $f-a$ の位数は整数 $d$ に等しく、$\lambda$ が整数でないことに反する。$\square$