Sierpinski空間

概要

Sierpinski空間とは、二点集合$\{0,1\}$の上に位相$\mathcal{O}=\{\emptyset, \{0\}, \{0,1\}\}$を入れた位相空間のことである。また、この位相空間と同相な位相空間のことを指してSierpinski空間とよぶことがある。

Sierpinski空間について次が成り立つ。

有限位相空間である。
$T_0$-空間であるが、$T_1$-空間でない。
位相空間$X$について開集合全体の集合$\mathcal{O}_X$を対応させ、連続写像$f \colon X \to Y$について$Y$の開集合$V$に対し$f^{-1}(V)$を値に取る集合の射$\mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_X$を対応させる反変函手$\mathsf{Top}\to \mathsf{Set}$を考える。この反変函手は表現可能函手であり、その表現対象はSierpinski空間である。