Sierpinski空間

$X=\mathbb{R}$（通常の位相、実数直線）とし、$U=(0,\infty)$ の指示関数 $\chi_U\colon\mathbb{R}\to S$（$x>0$ なら $1$、$x\le0$ なら $0$）を考える。$S$ の開集合 $\{1\}$ の逆像は $\chi_U^{-1}(\{1\})=(0,\infty)$ で開集合、$\emptyset$ と $S$ の逆像は $\emptyset$ と $\mathbb{R}$ で開集合だから、$\chi_U$ は連続である。一方 $F=[0,\infty)$ の指示関数 $\chi_F$ は、$\chi_F^{-1}(\{1\})=[0,\infty)$ が $\mathbb{R}$ の開集合でないので連続でない。この違いが prop-sierpinski-open-sets の内容である。

$R$ を離散付値環（たとえば $\mathbb{Z}_{(p)}$ や体 $k$ 上の形式的冪級数環 $k[\![t]\!]$）とし、極大イデアル（極大イデアル、イデアル）を $\mathfrak{m}$ とする。$R$ の素イデアルは $(0)$ と $\mathfrak{m}$ の二つだけなので、Zariski位相を入れたスキームの底空間 $\operatorname{Spec}R$ は二点 $\{(0),\mathfrak{m}\}$ からなる。閉集合は $V(I)=\{\mathfrak{p}\mid I\subset\mathfrak{p}\}$ の形の集合であり、$V(R)=\emptyset$、$V(\mathfrak{m})=\{\mathfrak{m}\}$、$V((0))=\operatorname{Spec}R$ である。よって開集合は $\emptyset$、$\{(0)\}$、$\operatorname{Spec}R$ で、$(0)\mapsto1$、$\mathfrak{m}\mapsto0$ は $\operatorname{Spec}R$ から $S$ への同相写像である。$(0)$ は $\operatorname{Spec}R$ の一般点（閉包が全体になる点。閉点）、$\mathfrak{m}$ は閉点であり、Sierpinski 空間は「一般点と閉点が一つずつある空間」と見ることもできる。

$S$ の点列 $s_n:=1,0,1,0,\dots$（$n$ が奇数なら $1$、偶数なら $0$）を考える。$0$ を含む開集合は $S$ だけなので、すべての項がそれに入り、$(s_n)$ は閉点 $0$ に収束する。一方、$1$ の開近傍 $\{1\}$ には $0$ に等しい項が無限個入らないので、$(s_n)$ は開点 $1$ には収束しない。それでも $\{1\}$ には $1$ に等しい項が無限個入るので、$1$ は点列 $(s_n)$ の集積点（どの近傍にも無限個の項が入る点）である。
満たす性質：$1$ のどの近傍にも点列の項が無限個入る。満たさない性質：$1$ への収束。破る含意：「点列の集積点は、その点列の（ただ一つの）極限である」。Hausdorff 空間では収束する点列の集積点は極限だけだが、$S$ は Hausdorff でないので（prop-sierpinski-separation）、極限 $0$ と別の集積点 $1$ がある。この例は SS78 Part II の特定点位相の項（Examples 8–12、p. 46）にある（同書は開点を $0$ とする流儀で書いている）。

三点以上の集合 $X$ と $q\in X$ をとり、$X$ に $q$ を特定点とする 特定点位相（開集合は $\emptyset$ と $q$ を含む集合）を入れる。$X$ は $T_0$ である（$x,y\neq q$ は開集合 $\{q,x\}$ で、$q$ と $x$ は $\{q\}$ で区別できる）。一方、$q$ と異なる二点 $a,b$ について $\{a\},\{b\}$ は $q$ を含まないので閉集合であり、互いに素な閉集合なので分離されているが、空でない開集合はどれも $q$ を含むので分けられない。よって $X$ は遺伝正規性条件を満たさない。prop-sierpinski-open-extension の 2 により、$X$ の開拡張は $T_0$ で正規性条件を満たすが、$T_1$ でも遺伝正規でもない。
満たす性質：$T_0$、正規性条件。満たさない性質：$T_1$、遺伝正規性条件。破る含意：「$T_0$ で正規性条件を満たせば遺伝正規性条件を満たす」。$X$ が二点なら $X$ 自身が Sierpinski 空間で遺伝正規性条件を満たすので、三点以上の仮定が要る。

正の整数全体 $X=\{1,2,3,\dots\}$ に、「奇数 $n$ を含むなら $n+1$ も含む」部分集合を開集合とする位相を入れる。$C_j:=\{2j-1,2j\}$ とおくと、$U$ が開集合であることと、各 $U\cap C_j$ が $\emptyset$、$\{2j\}$、$C_j$ のどれかであることは同値なので、$X$ は Sierpinski 空間 $C_j$（開点 $2j$、閉点 $2j-1$）の可算個の位相的直和である。この空間について次が成り立つ。

1. $T_0$ であり、正規性条件と遺伝正規性条件を満たすが、$T_1$ でなく、正則性条件を満たさない。
2. 第2可算で、Lindelöf空間 であり、各点が有限な開近傍 $C_j$ をもつ。どの開被覆も、局所有限な開細分 $\{C_j\}_{j\ge1}$ をもつ（$T_1$ を課さない意味で パラコンパクト空間 の条件を満たす）。
3. コンパクト部分集合は有限集合に限る。とくに $X$ はコンパクトでない。
4. 偶数の集合 $E=\{2,4,6,\dots\}$ は強変位レトラクトであり、$X$ は可算無限離散空間とホモトピー同値である。
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   1：各 $C_j$ は開かつ閉である。$\{2j\}$ は閉集合でないので $T_1$ でなく、閉集合 $\{2j-1\}$ と点 $2j$ は、$2j-1$ の近傍が $C_j$ を含むので分けられない。$A,B$ が分離されているとき、ある $C_j$ が $A$ と $B$ の両方と交わったとすると、一方（たとえば $A$）が $2j$ を含むか、両方が $2j-1$ だけを含む。前者では $\overline{A}\supset C_j$ が $B$ と交わり、後者では $A\cap B\neq\emptyset$ となって、どちらも分離に反する。よって $A$ と交わる $C_j$ の合併と $B$ と交わる $C_j$ の合併は互いに素な開集合で、$A,B$ を分ける。2：$\{C_j\}\cup\{\{2j\}\}$ は可算な開基であり、$X$ は可算集合なので Lindelöf である。開被覆の元で $2j-1$ を含むものは $C_j$ を含むので、$\{C_j\}$ は開細分であり、各点の近傍 $C_j$ と交わる元は $C_j$ だけなので局所有限である。3：無限集合 $K$ は無限個の $C_j$ と交わり、開被覆 $\{C_j\}$ のどの有限部分族も $K$ を覆わない。4：$r(2j-1)=r(2j)=2j$ とし、$H(x,0)=x$、$H(x,t)=r(x)$（$t>0$）とおく。開集合 $U$ について $U\subset r^{-1}(U)$ であり、$r^{-1}(U)$ は $C_j$ の合併なので開集合である。逆像 $(U\times[0,1])\cup(r^{-1}(U)\times(0,1])$ は開集合なので $H$ は連続で、$E$ の点を動かさない。$E$ の相対位相は離散である。

満たす性質：$T_0$、遺伝正規性条件、パラコンパクト性の条件、Lindelöf。満たさない性質：$T_1$、正則性条件、コンパクト性。破る含意：「パラコンパクトな空間は正則性条件を満たす」。この含意は Hausdorff 空間では成り立つ（パラコンパクト空間）が、$T_1$ を外すと成り立たない。