置換の符号

$\pi:=\sigma s_k$ とおくと、$\pi(k)=\sigma(k+1)$、$\pi(k+1)=\sigma(k)$ であり、$i\neq k,k+1$ では $\pi(i)=\sigma(i)$ である。すなわち $\pi$ の値の並びは、$\sigma$ の並びの $k$ 番目と $k+1$ 番目を入れ替えたものである。
$1\le i< j\le n$ で $\{i,j\}\neq\{k,k+1\}$ の組を考える。このとき $s_k(i)< s_k(j)$ である。実際、$i,j$ がともに $k,k+1$ でなければ $s_k$ は両者を動かさない。一方だけが $k$ か $k+1$ の場合、他方は $k,k+1$ と異なるので、$s_k$ で $k$ と $k+1$ を入れ替えても他方との大小は変わらない。$\pi(i)=\sigma(s_k(i))$、$\pi(j)=\sigma(s_k(j))$ なので、$(i,j)$ が $\pi$ の転倒であることと、$(s_k(i),s_k(j))$ が $\sigma$ の転倒であることは同値である。写像 $\{i,j\}\mapsto\{s_k(i),s_k(j)\}$ は、$\{k,k+1\}$ 以外の 2 元部分集合全体の上の全単射（自分自身が逆写像）なので、$\{k,k+1\}$ 以外の組についての $\pi$ の転倒の個数と $\sigma$ の転倒の個数は等しい。
残る組 $(k,k+1)$ は、$\pi$ の転倒であることと $\sigma(k+1)>\sigma(k)$ が同値であり、$\sigma$ の転倒であることと $\sigma(k)>\sigma(k+1)$ が同値である。よって $\sigma(k)<\sigma(k+1)$ なら転倒が 1 つ増え、$\sigma(k)>\sigma(k+1)$ なら 1 つ減る。$\square$

前半を $\operatorname{inv}(\sigma)$ についての数学的帰納法で示す。$\operatorname{inv}(\sigma)=0$ なら $\sigma(1)<\sigma(2)<\cdots<\sigma(n)$ であり、$\{1,\dots,n\}$ の全単射で狭義単調増加なのは恒等写像だけなので $\sigma=e$ である。$\operatorname{inv}(\sigma)>0$ なら、ある $k$ で $\sigma(k)>\sigma(k+1)$ である（そうでなければ並びは単調増加で転倒がない）。lem-sign-of-permutation-adjacent により $\operatorname{inv}(\sigma s_k)=\operatorname{inv}(\sigma)-1$ なので、帰納法の仮定により $\sigma s_k$ は $\operatorname{inv}(\sigma)-1$ 個の隣接互換の積である。$s_k^2=e$ なので $\sigma=(\sigma s_k)s_k$ は $\operatorname{inv}(\sigma)$ 個の隣接互換の積である。
後半：$\sigma=s_{k_1}s_{k_2}\cdots s_{k_m}$ とし、$\sigma_0:=e$、$\sigma_j:=\sigma_{j-1}s_{k_j}$ とおく。lem-sign-of-permutation-adjacent により $\operatorname{inv}(\sigma_j)=\operatorname{inv}(\sigma_{j-1})\pm1$ である。$\operatorname{inv}(\sigma_0)=0$ から $m$ 段で $\operatorname{inv}(\sigma_m)=\operatorname{inv}(\sigma)$ に達するので $\operatorname{inv}(\sigma)\le m$ であり、各段で偶奇が入れ替わるので $\operatorname{inv}(\sigma)\equiv m\pmod2$ である。$\square$

1：$\sigma,\tau\in S_n$ をとる。prop-sign-of-permutation-bubble により $\tau=s_{k_1}\cdots s_{k_m}$ と書け、$m\equiv\operatorname{inv}(\tau)\pmod2$ である。$\sigma\tau=\sigma s_{k_1}\cdots s_{k_m}$ に右から隣接互換を 1 つずつ掛けていくと、lem-sign-of-permutation-adjacent により転倒数は毎回 $\pm1$ 変わるので、$\operatorname{inv}(\sigma\tau)\equiv\operatorname{inv}(\sigma)+m\equiv\operatorname{inv}(\sigma)+\operatorname{inv}(\tau)\pmod2$ である。よって $\operatorname{sgn}(\sigma\tau)=\operatorname{sgn}\sigma\cdot\operatorname{sgn}\tau$ である。$\sigma\sigma^{-1}=e$ から $\operatorname{sgn}\sigma\cdot\operatorname{sgn}(\sigma^{-1})=1$ となり、$\operatorname{sgn}\sigma=\pm1$ なので $\operatorname{sgn}(\sigma^{-1})=\operatorname{sgn}\sigma$ である。
2：$1\le a< b\le n$ とし、$\tau=(a\,b)$ の転倒を数える。$\tau(a)=b$、$\tau(b)=a$ で、他の $i$ では $\tau(i)=i$ である。組 $i< j$ を場合に分ける。

• $i,j$ がともに $a,b$ でない：$\tau(i)=i< j=\tau(j)$ で転倒でない。
• $(i,j)=(a,b)$：$\tau(a)=b>a=\tau(b)$ で転倒である（$1$ 個）。
• $i=a$、$j\neq b$：$\tau(i)=b$、$\tau(j)=j$ なので、転倒であることは $j< b$、すなわち $a< j< b$ と同値である（$b-a-1$ 個）。
• $j=b$、$i\neq a$：$\tau(i)=i$、$\tau(j)=a$ なので、転倒であることは $i>a$、すなわち $a< i< b$ と同値である（$b-a-1$ 個）。
• $i=b$（このとき $j>b$）：$\tau(i)=a< j=\tau(j)$ で転倒でない。$j=a$（このとき $i< a$）：$\tau(i)=i< b=\tau(j)$ で転倒でない。
  よって $\operatorname{inv}(a\,b)=1+2(b-a-1)=2(b-a)-1$ は奇数であり、$\operatorname{sgn}(a\,b)=-1$ である。$\sigma=\tau_1\cdots\tau_k$（各 $\tau_i$ は互換）なら 1 により $\operatorname{sgn}\sigma=(-1)^k$ である。$k$ 個と $k'$ 個の 2 通りに書ければ $(-1)^k=(-1)^{k'}$ なので、$k$ と $k'$ の偶奇は一致する。
  3：$n\ge2$ なら $\operatorname{sgn}(1\,2)=-1$ なので $\operatorname{sgn}$ は全射である。核は準同型の核なので正規部分群であり、群準同型 の記事の定理「群の第1同型定理」により $S_n/A_n\cong\{1,-1\}$、すなわち指数は $2$ である。$|S_n|=n!$ なので偶置換は $n!/2$ 個、奇置換も残りの $n!/2$ 個である。$\square$

1：右辺の因子 $(\sigma(j)-\sigma(i))/(j-i)$ は、$(i,j)$ が転倒のとき負、そうでないとき正である。$\sigma$ は全単射なので、$\{i,j\}\mapsto\{\sigma(i),\sigma(j)\}$ は 2 元部分集合全体の上の全単射であり、分子の絶対値の積 $\prod_{i< j}|\sigma(j)-\sigma(i)|$ は分母の積 $\prod_{i< j}(j-i)$ の因子の並べ替えである。よって右辺の絶対値は $1$ で、符号は $(-1)^{\operatorname{inv}(\sigma)}$ である。
2：軌道 $O$ ごとに、$O$ の上で $\sigma$ と一致し $O$ の外では恒等写像である置換 $\gamma_O$ を考える。長さ $\ell$ の軌道の $\gamma_O$ は $\ell$ 文字の巡回置換（$\ell=1$ なら $e$）である。$x$ の属する軌道を $O$ とすると、$O'\neq O$ の $\gamma_{O'}$ は $x$ も $\sigma(x)\in O$ も動かさないので、$\gamma_O$ たちを任意の順に掛けた積は $x$ を $\sigma(x)$ に送る。よって $\sigma=\prod_O\gamma_O$ である。$\ell$ 文字の巡回置換は $\ell-1$ 個の互換の積である（互換 の記事の例「巡回置換の分解」）ので、thm-sign-of-permutation-homomorphism により $\operatorname{sgn}\gamma_O=(-1)^{\ell-1}$ であり、$\operatorname{sgn}\sigma=\prod_t(-1)^{\ell_t-1}=(-1)^{\sum_t\ell_t-c}=(-1)^{n-c(\sigma)}$ である（$\sum_t\ell_t=n$）。$k$ 文字の巡回置換は長さ $k$ の軌道 1 つと長さ $1$ の軌道 $n-k$ 個をもつので、符号は $(-1)^{k-1}$ である。
3：行列式 の記事の定義「Leibnizの公式による定義」により $\det A=\sum_{\rho\in S_n}\operatorname{sgn}\rho\,a_{1\rho(1)}\cdots a_{n\rho(n)}$ である。$P_\sigma$ の $(i,j)$ 成分は $i=\sigma(j)$ のとき $1$、それ以外は $0$ なので、$\rho$ の項が $0$ でないのはすべての $i$ で $i=\sigma(\rho(i))$、すなわち $\rho=\sigma^{-1}$ のときだけであり、その項は $\operatorname{sgn}(\sigma^{-1})$ である。thm-sign-of-permutation-homomorphism の 1 により $\det P_\sigma=\operatorname{sgn}(\sigma^{-1})=\operatorname{sgn}\sigma$ である。$\square$

1：thm-sign-of-permutation-homomorphism の 1 と、$\{1,-1\}$ が可換であることから $\operatorname{sgn}(\rho\sigma\rho^{-1})=\operatorname{sgn}\rho\cdot\operatorname{sgn}\sigma\cdot(\operatorname{sgn}\rho)^{-1}=\operatorname{sgn}\sigma$ である。
2：別の全単射 $\beta'$ をとると $\rho:=\beta'\beta^{-1}\in S_n$ であり、$\beta'\sigma\beta'^{-1}=\rho(\beta\sigma\beta^{-1})\rho^{-1}$ なので、1 により両者の符号は等しい。$\sigma\mapsto\beta\sigma\beta^{-1}$ は群の同型 $S_X\to S_n$ なので、$\operatorname{sgn}_X$ は準同型である。$X$ の互換 $(a\,b)$ は $\beta$ で $S_n$ の互換 $(\beta(a)\,\beta(b))$ に移るので、符号は $-1$ である。$\square$

互換 の記事の命題「互換の基本的な性質」の 3 により、$S_n$ の互換はすべて互いに共役である。$A$ は可換なので $\varphi(\rho\tau\rho^{-1})=\varphi(\rho)\varphi(\tau)\varphi(\rho)^{-1}=\varphi(\tau)$ であり、$\varphi$ はすべての互換で同じ値 $a$ をとる。互換 $\tau$ について $\tau^2=e$ なので $a^2=\varphi(\tau^2)=1$ である。
$\sigma\in S_n$ を $k$ 個の互換の積に書くと $\varphi(\sigma)=a^k$ であり、thm-sign-of-permutation-homomorphism の 2 により $(-1)^k=\operatorname{sgn}\sigma$ である。$a^2=1$ なので $a^k$ は $k$ の偶奇だけで決まり、$\chi(1):=1$、$\chi(-1):=a$ と定めると $\chi$ は群準同型で $\varphi(\sigma)=\chi(\operatorname{sgn}\sigma)$ である。$\operatorname{sgn}$ は全射なので $\chi$ は $\varphi$ から一意に決まる。
1：$A=\{1,-1\}$ で $\varphi$ が全射なら $a=-1$ なので $\chi$ は恒等写像で、$\varphi=\operatorname{sgn}$ である。2：$A=K^\times$ とすると $a^2=1$ から $(a-1)(a+1)=0$、すなわち $a=\pm1$ であり、$a=1$ なら $\varphi$ は自明、$a=-1$ なら $\varphi=\operatorname{sgn}$ である。$\square$