ネイピア数

2 つめの等号は 指数関数 の定義そのものである。1 つめの等号を示す。二項定理により
$$ b_n=\sum_{k=0}^{n}\binom nk\frac1{n^k}=\sum_{k=0}^{n}\frac1{k!}\prod_{j=0}^{k-1}\Bigl(1-\frac jn\Bigr) $$
である（空の積は $1$）。数列の極限 の記事の例「(1+1/n)^n の収束」により $(b_n)$ は収束するので、その極限を $b$ とおく。
$b\leq e$：各積は $1$ 以下なので $b_n\leq s_n\leq e$ であり、数列の極限 の記事の命題「極限は大小関係を保つ」により $b\leq e$ である。
$b\geq e$：$m$ を固定し、$n\geq m$ とする。$b_n$ の和の $k\leq m$ の部分だけを残すと（残りの項は $0$ 以上）
$$ b_n\geq\sum_{k=0}^{m}\frac1{k!}\prod_{j=0}^{k-1}\Bigl(1-\frac jn\Bigr) $$
である。右辺は $m+1$ 個の項の有限和で、各項は $n\to\infty$ で $\frac1{k!}$ に収束する（数列の極限 の記事の命題「極限の四則演算」）。よって $n\to\infty$ として $b\geq s_m$ である。$m$ は任意なので、$m\to\infty$ として $b\geq e$ である。

対数関数 の記事の命題「対数の基本不等式」を $x:=1+\frac1n\neq1$ に使うと、$1-\frac1x<\log x< x-1$ であり、$1-\frac1x=\frac1{n+1}$、$x-1=\frac1n$ なので
$$ \frac1{n+1}<\log\Bigl(1+\frac1n\Bigr)<\frac1n $$
である。各辺に $n$ または $n+1$ を掛けると $n\log(1+\frac1n)<1<(n+1)\log(1+\frac1n)$ である。$\exp$ は狭義単調増加なので（指数関数 の記事の命題「正値性と単調性」）、$\exp$ をとると、$\exp\bigl(m\log(1+\frac1n)\bigr)=(1+\frac1n)^m$（指数関数 の記事の命題「有理数乗との一致」）と $\exp1=e$ から結論を得る。

prop-napier-bounds で $n=1$ とすると $2< e$ である。$n=5$ とすると $e<(6/5)^6=\frac{46656}{15625}=2.985984<3$ である。

$n\geq2$ とする。
$$ \frac{c_{n-1}}{c_n}=\frac{\bigl(\frac n{n-1}\bigr)^n}{\bigl(\frac{n+1}n\bigr)^{n+1}}=\Bigl(\frac{n^2}{n^2-1}\Bigr)^n\cdot\frac n{n+1}=\Bigl(1+\frac1{n^2-1}\Bigr)^n\cdot\frac n{n+1} $$
である。Bernoulli の不等式 $(1+x)^n\geq1+nx$（$x>-1$。$n$ についての帰納法で示せる）を $x=\frac1{n^2-1}$ に使い、$\frac n{n^2-1}>\frac n{n^2}=\frac1n$ を合わせると
$$ \frac{c_{n-1}}{c_n}\geq\Bigl(1+\frac n{n^2-1}\Bigr)\frac n{n+1}>\Bigl(1+\frac1n\Bigr)\frac n{n+1}=1 $$
である。よって $c_{n-1}>c_n$ である。また $c_n=b_n\bigl(1+\frac1n\bigr)$ で、$b_n\to e$（thm-napier-three-definitions）と $1+\frac1n\to1$ から $c_n\to e$ である。

$e-s_n=\sum_{k\geq n+1}\frac1{k!}$ は正の項の和なので正である。$k=n+1+j$（$j\geq0$）の項について
$$ \frac1{k!}=\frac1{(n+1)!}\cdot\frac1{(n+2)(n+3)\cdots(n+1+j)}\leq\frac1{(n+1)!}\cdot\frac1{(n+2)^j} $$
であり、$j\geq2$ では不等号は狭義である。よって
$$ e-s_n<\frac1{(n+1)!}\sum_{j=0}^{\infty}\frac1{(n+2)^j}=\frac1{(n+1)!}\cdot\frac{n+2}{n+1} $$
である。$n(n+2)<(n+1)^2$ なので $\frac{n+2}{(n+1)(n+1)!}=\frac{n+2}{(n+1)^2\,n!}<\frac1{n\cdot n!}$ である。

上からの評価：prop-napier-bounds により $e< b_n(1+\frac1n)$ なので、$e-b_n<\frac{b_n}n<\frac en$ である。
下からの評価：$x:=\frac1n\in(0,1]$ とすると、対数関数 の記事の定理「log(1+x) の級数」により $\log(1+x)=x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3-\cdots$ であり、項の絶対値 $\frac{x^k}k$ は $k$ について単調減少して $0$ に近づく。級数 の記事の定理「Leibnizの判定法」の評価 $|S-S_2|\leq a_3=\frac{x^3}3$ により $\log(1+\frac1n)\leq\frac1n-\frac1{2n^2}+\frac1{3n^3}$ である。$n$ を掛け、$\frac1{3n^2}\leq\frac1{3n}$ を使うと
$$ n\log\Bigl(1+\frac1n\Bigr)\leq1-\frac1{2n}+\frac1{3n}=1-\frac1{6n} $$
である。$\exp$ は単調増加なので $b_n\leq e\cdot e^{-1/(6n)}$ である。$u:=\frac1{6n}\ne0$ について $e^u>1+u$（指数関数 の記事の命題「正値性と単調性」の 3）なので $e^{-u}<\frac1{1+u}$ であり、
$$ e-b_n>e\Bigl(1-\frac1{1+\frac1{6n}}\Bigr)=\frac e{6n+1} $$
である。

$a^x:=\exp(x\log a)$ なので、連鎖律により $x\mapsto a^x$ は微分可能で、$x=0$ での微分係数は $\exp(0)\cdot\log a=\log a$ である。よって 2 は $\log a=1$ と同値である。対数関数 の記事の定理「積分による表示」により $\int_1^a\frac{dt}t=\log a$ なので、3 も $\log a=1$ と同値である。$\log$ は単射で $\log e=1$ なので、$\log a=1$ は $a=e$ と同値である。