陰関数定理

段 1（$F$ を逆関数定理に乗せる）。 写像 $\Phi\colon E\to\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^m$ を
$$ \Phi(x,y):=\bigl(x,\,F(x,y)\bigr) $$
で定める。$\Phi$ は $C^k$ 級で、$D\Phi(x,y)(h,k)=\bigl(h,\ D_xF(x,y)h+D_yF(x,y)k\bigr)$、行列ではブロック三角行列
$$ D\Phi(x,y)=\begin{pmatrix}I_n&0\\ D_xF(x,y)&D_yF(x,y)\end{pmatrix} $$
である。ブロック三角行列の行列式は対角ブロックの行列式の積なので
$$ \det D\Phi(x,y)=\det D_yF(x,y) $$
であり、仮定により $D\Phi(a,b)$ は正則である。
段 2（逆写像の形）。 thm-impl-inverse-function を $\Phi$ と点 $(a,b)$ に当てると、$(a,b)$ を含む開集合 $U\subset E$ で、$\Phi|_U$ が単射、$U':=\Phi(U)$ が開集合、逆写像 $\Psi\colon U'\to U$ が $C^k$ 級、かつ $U$ の各点で $D\Phi$ が正則なものがとれる。$\Phi$ は第 1 成分を変えないので $\Psi$ も第 1 成分を変えない。実際 $(u,z)\in U'$ について $\Phi(\Psi(u,z))=(u,z)$ であり、$\Phi(x,y)$ の第 1 成分は $x$ だから、$\Psi(u,z)$ の第 1 成分は $u$ である。よって $\Psi$ の第 2 成分を $\psi\colon U'\to\mathbb{R}^m$ として
$$ \Psi(u,z)=\bigl(u,\,\psi(u,z)\bigr) $$
と書け、$\psi$ は $C^k$ 級である。$\Phi(a,b)=(a,0)$ なので $(a,0)\in U'$ かつ $\psi(a,0)=b$ である。
段 3（$W$、$V$、$\varphi$ を選ぶ）。 $U$ は $(a,b)$ を含む開集合なので、$a$ を中心とする開球 $W_0\subset\mathbb{R}^n$ と $b$ を中心とする開球 $V\subset\mathbb{R}^m$ で $W_0\times V\subset U$ となるものがある。$W_1:=\{x\in W_0\mid(x,0)\in U'\}$ は連続写像 $x\mapsto(x,0)$ による開集合 $U'$ の逆像と $W_0$ の共通部分なので開集合で、$a\in W_1$ である。$W_1$ 上の $C^k$ 級写像 $x\mapsto\psi(x,0)$ による $V$ の逆像
$$ W:=\{x\in W_1\mid\psi(x,0)\in V\} $$
は開集合で、$\psi(a,0)=b\in V$ により $a\in W$ である。$\varphi\colon W\to V$ を $\varphi(x):=\psi(x,0)$ と定めると $\varphi$ は $C^k$ 級で $\varphi(a)=b$ であり、$W\subset W_0$ より $W\times V\subset U\subset E$ である。
段 4（1 の証明）。 $x\in W$ とする。$(x,\varphi(x))=\Psi(x,0)\in U$ であり、$\Phi(x,\varphi(x))=\Phi(\Psi(x,0))=(x,0)$ なので $F(x,\varphi(x))=0$ である。逆に $y\in V$ が $F(x,y)=0$ を満たすとする。$(x,y)\in W_0\times V\subset U$ であり $\Phi(x,y)=(x,0)=\Phi(x,\varphi(x))$ だから、$\Phi|_U$ の単射性により $y=\varphi(x)$ である。
段 5（2 の証明）。 $x\in W$ に対し $(x,\varphi(x))\in U$ なので $D\Phi(x,\varphi(x))$ は正則であり、段 1 の行列式の式により $D_yF(x,\varphi(x))$ は正則である。1 により $W$ 上で恒等的に $F(x,\varphi(x))=0$ なので、写像 $x\mapsto(x,\varphi(x))$ と $F$ の合成に連鎖律を当てると、任意の $h\in\mathbb{R}^n$ について
$$ 0=D_xF(x,\varphi(x))\,h+D_yF(x,\varphi(x))\,D\varphi(x)\,h $$
である。左から $D_yF(x,\varphi(x))^{-1}$ をかけて 2 の式を得る。$\square$

$m\times N$ 行列 $DF(p)$ の階数は $m$ なので、列ベクトルのうち $m$ 本 $j_1<\dots< j_m$ が線形独立である（列階数と階数は等しい）。上のとおり添字を分けると、座標の並べ替え $P\colon\mathbb{R}^N\to\mathbb{R}^{N-m}\times\mathbb{R}^m$、$z\mapsto(x,y)$ は線形同型であり、行列は置換行列である。開集合 $E:=P(\Omega)$ 上の写像 $G(x,y):=F(P^{-1}(x,y))-c$ は $C^k$ 級で、$G(a,b)=0$ である。連鎖律により $DG(a,b)=DF(p)\,P^{-1}$ であり、$DG(a,b)$ の列は $DF(p)$ の列を並べ替えたものである。とくに $D_yG(a,b)$ は $DF(p)$ の第 $j_1,\dots,j_m$ 列を並べた $m\times m$ 行列であり、列が線形独立なので正則である。thm-impl-main を $G$ と $(a,b)$ に当てると、$W$、$V$、$\varphi$ で $W\times V\subset E$、かつ $(x,y)\in W\times V$ について「$G(x,y)=0\iff y=\varphi(x)$」となるものが得られる。$G(x,y)=0$ は $F(P^{-1}(x,y))=c$ と同じことなので、主張が従う。$\square$

$A:=\{x\in\Omega\mid\varphi_1(x)=\varphi_2(x)\}$ とおく。$x_0\in A$ なので $A$ は空でない。$\varphi_1-\varphi_2$ は連続なので、$A$ はその零点集合として $\Omega$ の閉集合である。
$A$ が開集合であることを示す。$x_1\in A$ とし、$y_1:=\varphi_1(x_1)=\varphi_2(x_1)$ とおく。$F(x_1,y_1)=0$ で $D_yF(x_1,y_1)$ は正則なので、thm-impl-main を点 $(x_1,y_1)$ に当てて、$x_1$ を含む開集合 $W_1$、$y_1$ を含む開集合 $V_1$ と、「$(x,y)\in W_1\times V_1$ について $F(x,y)=0\iff y=\varphi(x)$」を満たす $\varphi\colon W_1\to V_1$ をとる。$\varphi_1$、$\varphi_2$ は $x_1$ で連続で値 $y_1\in V_1$ をとるので、$x_1$ を中心とする開球 $B\subset W_1\cap\Omega$ で $\varphi_1(B)\subset V_1$、$\varphi_2(B)\subset V_1$ となるものがある。$x\in B$ に対し $(x,\varphi_i(x))\in W_1\times V_1$ かつ $F(x,\varphi_i(x))=0$ なので $\varphi_1(x)=\varphi(x)=\varphi_2(x)$ である。よって $B\subset A$ である。
$A$ は連結な $\Omega$ の空でない開かつ閉な部分集合なので、$A=\Omega$ である（連結空間）。$\square$

$f\colon U_0\to\mathbb{R}^N$ を $C^k$ 級、$Df(p)$ を正則とし、$q:=f(p)$ とおく。開集合 $E:=\mathbb{R}^N\times U_0\subset\mathbb{R}^N\times\mathbb{R}^N$ 上の $C^k$ 級写像
$$ F(x,y):=f(y)-x $$
を考える。$F(q,p)=0$ であり、$D_yF(q,p)=Df(p)$ は正則である。thm-impl-main により、$q$ を含む開集合 $W$、$p$ を含む開集合 $V\subset U_0$ と $C^k$ 級写像 $\varphi\colon W\to V$ で、「$(x,y)\in W\times V$ について $f(y)=x\iff y=\varphi(x)$」となるものがある。$U:=V\cap f^{-1}(W)$ とおくと、$f|_U\colon U\to W$ は全単射で、逆写像が $\varphi$ になる。