∞圏の∞圏

射影 $\mathcal X\times\mathcal Y\to\mathcal X$、$\to\mathcal Y$ は単体的写像なので、$(f,g)$ が同値なら $f,g$ は同値である。逆に $f\colon x\to x'$、$g\colon y\to y'$ が同値とする。$h\mathcal X$ で $[f']\circ[f]=[\mathrm{id}_x]$、$[f]\circ[f']=[\mathrm{id}_{x'}]$ となる辺 $f'$ をとる。2 単体 $\sigma$ で $d_2\sigma=f$、$d_0\sigma=f'$ となるものをとると、長辺 $u=d_1\sigma$ の類は $[\mathrm{id}_x]$ なので、2 単体 $\rho$ で $d_2\rho=u$、$d_0\rho=\mathrm{id}_x$、$d_1\rho=\mathrm{id}_x$ となるものがある（∞圏のホモトピー圏 の定義「2単体によるホモトピー」）。$g$ についても同様に $g'$、$\tau$、$v=d_1\tau$、$\pi$ をとる。積の 2 単体 $(\sigma,\tau)$ は $[(f',g')]\circ[(f,g)]=[(u,v)]$ を示し、$(\rho,\pi)$ は $(u,v)$ が恒等射の辺にホモトピックであることを示す。$f,f'$ と $g,g'$ の役を入れ替えて同じことを行うと $[(f,g)]\circ[(f',g')]$ も恒等射の類になるので、$(f,g)$ は同値である。単体が芯に入るかは辺で決まるので、後半が従う。$\square$

1. $\operatorname{Fun}(\mathcal D,\mathcal E)^{\simeq}\times\operatorname{Fun}(\mathcal C,\mathcal D)^{\simeq}$ の単体の辺は、lem-cat-product-core により積 $\operatorname{Fun}(\mathcal D,\mathcal E)\times\operatorname{Fun}(\mathcal C,\mathcal D)$ の同値である。関手 ∞圏はふたたび ∞圏であり（関手圏(∞圏) の命題「指数は再び準圏になる」）、積も ∞圏なので、単体的写像 $c$ はこれらの辺を $\operatorname{Fun}(\mathcal C,\mathcal E)$ の同値に写す。よって単体の像は芯に入る。結合律は、$n$ 単体の段階で $H\circ(G\circ(F,\mathrm{pr}),\mathrm{pr})=(H\circ(G,\mathrm{pr}))\circ(F,\mathrm{pr})$ が写像として等しいことによる。恒等関手 $\mathrm{id}_{\mathcal C}$ の退化単体 $\mathrm{pr}_{\mathcal C}\colon\mathcal C\times\Delta^n\to\mathcal C$ が単位元である。

2. 写像空間 $\operatorname{Fun}(\mathcal C,\mathcal D)^{\simeq}$ は芯なので Kan 複体である。写像空間がすべて Kan 複体である単体的圏のホモトピー整合的脈体は ∞圏である（ホモトピー整合的脈体 の定理「局所 Kan な単体的圏の脈体は準圏である」、HTT09 Proposition 1.1.5.10、p. 23）。$\square$

単体的圏 $\mathcal A$ のホモトピー整合的脈体の頂点は $\mathcal A$ の対象、辺は写像空間の頂点である。2 単体は、対象 $a_0,a_1,a_2$、写像空間の頂点 $f_{01},f_{12},f_{02}$ と、$\operatorname{Map}(a_0,a_2)$ の辺で $f_{02}$ から $f_{12}\circ f_{01}$ へ向かうものの組である（単体的豊穣圏 の命題「ホモトピー整合的脈体の $2$ 単体」）。$\mathcal A=\mathbf{Cat}_\infty^{\Delta}$ では、$\operatorname{Fun}(\mathcal C,\mathcal D)^{\simeq}$ の頂点は関手 $\mathcal C\to\mathcal D$ であり（関手の頂点はすべて芯に入る）、$\operatorname{Fun}(\mathcal C_0,\mathcal C_2)^{\simeq}$ の辺は $\operatorname{Fun}(\mathcal C_0,\mathcal C_2)$ の同値な辺、すなわち自然同値である。合成 $f_{12}\circ f_{01}$ は $c$ により関手の合成 $G\circ F$ である。$\square$

$h\mathcal Cat_\infty$ の射の集合は、辺 $F,F'\colon\mathcal C\to\mathcal D$ の上の関係「2 単体 $\sigma$ で $d_2\sigma=F$、$d_0\sigma=\mathrm{id}_{\mathcal D}$、$d_1\sigma=F'$ となるものがある」で割った集合である（∞圏のホモトピー圏 の定義「2単体によるホモトピー」）。prop-cat-low-simplices の 2 で $G=\mathrm{id}_{\mathcal D}$、$H=F'$ とすると、このような $\sigma$ は自然同値 $F'\to\mathrm{id}_{\mathcal D}\circ F=F$ と同じものである。この関係は同値関係で（同記事の命題「ホモトピーは同値関係」）、Kan 複体 $\operatorname{Fun}(\mathcal C,\mathcal D)^{\simeq}$ の辺で結べるという関係と一致するので、その同値類の集合は $\pi_0$ である。合成：$[G]\circ[F]$ は $d_2\sigma=F$、$d_0\sigma=G$ となる 2 単体 $\sigma$ の $d_1\sigma$ の類である。$H=G\circ F$ と恒等的な自然同値（$G\circ F$ の退化辺）の組が 2 単体なので、$[G]\circ[F]=[G\circ F]$ である。$\square$

$F$ が $\mathcal Cat_\infty$ の同値であるとは、$h\mathcal Cat_\infty$ で $[G]\circ[F]=[\mathrm{id}_{\mathcal C}]$、$[F]\circ[G]=[\mathrm{id}_{\mathcal D}]$ となる $G$ があることである。thm-cat-homotopy-category によりこれは $[G\circ F]=[\mathrm{id}_{\mathcal C}]$、$[F\circ G]=[\mathrm{id}_{\mathcal D}]$、すなわち自然同値 $G\circ F\simeq\mathrm{id}_{\mathcal C}$、$F\circ G\simeq\mathrm{id}_{\mathcal D}$ があることで、∞圏の同値の定義そのものである。自然同値の向きは、芯が Kan 複体なのでどちら向きでもよい。$\square$

$\operatorname{Fun}(N(A),N(B))\cong N(\operatorname{Fun}(A,B))$ である（関手圏(∞圏) の命題「通常の関手圏を全次元で回収する」）。圏 $E$ について $hN(E)=E$ なので（∞圏 の命題「通常の圏の脈体のホモトピー圏」）、$N(E)$ の辺が同値であることは、それが $E$ の同型射であることと同値である。$N(E)$ の $n$ 単体は合成可能な射の列で、その辺は列の部分合成である。すべての辺が同型射である列は、同型射だけからなる列、すなわち $N(E^{\cong})$ の単体であり、逆も成り立つ。$E=\operatorname{Fun}(A,B)$ とすると前半を得る。$E^{\cong}$ の同型は自然同型なので、$\pi_0$ の記述が従う。

亜群 $\Gamma=\operatorname{Fun}(A,B)^{\cong}$ の脈体は、$\Gamma$ の連結成分（互いに同型な対象の類）ごとの脈体の非交和である。$F$ を含む連結成分 $\Gamma_F$ の中で、$F$ だけを対象とする充満部分圏（射は $\operatorname{Aut}(F)$）の包含は、充満忠実で本質的全射なので圏同値である。脈体は圏同値を ∞圏の同値に写し（圏同値(∞圏) の例「通常の圏同値」）、亜群の脈体は Kan 複体であり（Kan複体 の定理「脈体が Kan 複体であるための条件」）、Kan 複体の間の ∞圏の同値はホモトピー同値である（圏同値(∞圏) の例「Kan複体間の同値」）。$\square$

$L$ が Kan 複体なら $\operatorname{Fun}(K,L)$ は Kan 複体であり（空間の∞圏 で引いた基礎結果、HTT09 Remark 1.2.16.2、p. 51）、Kan 複体のホモトピー圏は亜群なので（Kan複体 の命題「Kan 複体のホモトピー圏は亜群である」）、すべての辺は同値である。よって芯は全体であり、写像空間と合成 $c$ は $\mathbf{Kan}$ のものと一致する。$N_{\mathrm{hc}}(\mathbf{Cat}_\infty^{\Delta})$ の $n$ 単体 $\mathfrak C[\Delta^n]\to\mathbf{Cat}_\infty^{\Delta}$ で頂点がすべて Kan 複体であるものは、充満部分圏 $\mathbf{Kan}$ を経由する単体的関手と同じものである。よって $N_{\mathrm{hc}}(\mathbf{Kan})$ は、Kan 複体を頂点とする単体の全体、すなわち Kan 複体の張る充満部分単体的集合である。$\square$

右辺の $n$ 単体は、$K\times\Delta^n$ のすべての辺を同値に写す写像 $u\colon K\times\Delta^n\to\mathcal C$ である。左辺の $n$ 単体は、$\Delta^n$ の各辺 $e\colon i\to j$ について自然変換 $u|_{K\times e}$ が $\operatorname{Fun}(K,\mathcal C)$ の同値になる $u$ である。

左辺 $\subset$ 右辺：$u$ を左辺の単体とする。$K$ の辺 $a\colon k\to l$ と $i\in[n]$ について $u(a,\mathrm{id}_i)$ は関手 $u|_{K\times\{i\}}$ による Kan 複体の辺の像なので同値である。$k\in K$ について $u(\mathrm{id}_k,e)$ は自然同値 $u|_{K\times e}$ の成分なので同値である（評価は関手なので同値を保つ）。一般の辺 $(a,e)$ は、$K\times\Delta^n$ の 2 単体 $((s_1a),(s_0e))$ により $(\mathrm{id}_l,e)\circ(a,\mathrm{id}_i)$ と合成の関係にあるので、ホモトピー圏で同型の合成となり同値である。

右辺 $\subset$ 左辺：$u$ のすべての辺が同値なら、$u|_{K\times e}$ の成分はすべて同値であり、成分がすべて同値な自然変換は自然同値である（自然変換(∞圏) の点ごとの同値判定。この記事では証明しない）。

後半：$\mathcal C^{\simeq}$ は Kan 複体なので、prop-cat-spaces-full により $\operatorname{Map}_{\mathbf{Kan}}(K,\mathcal C^{\simeq})=\operatorname{Fun}(K,\mathcal C^{\simeq})$ である。等式は $K$ と $\mathcal C$ について自然である。$\square$