解析代数

要点：$\mathfrak{m}_A$ は冪零なので、$\mathfrak{m}_A$ の基底を変数の行き先にした多項式環からの全射が $(z)^N$ を消し、$\mathbb{C}[z]/(z)^N=\mathbb{C}\{z\}/(z)^N$ を経由する。

$a\in\mathfrak{m}_A$ とし、$\lambda:=\varphi(a)(0)\in\mathbb{C}$ とおく。$\lambda\neq0$ と仮定する。$a-\lambda\notin\mathfrak{m}_A$（$a\in\mathfrak{m}_A$ で $\lambda$ は $\mathfrak{m}_A$ の外の単元）なので $a-\lambda$ は $A$ の単元であり、その像 $\varphi(a)-\lambda$ は $B$ の単元である。ところが $\varphi(a)-\lambda$ の値は $0$ なので $\varphi(a)-\lambda\in\mathfrak{m}_B$ であり、矛盾する。よって $\lambda=0$、すなわち $\varphi(a)\in\mathfrak{m}_B$ である。一般の $a$ は $a=a(0)+a'$（$a'\in\mathfrak{m}_A$）と書け、$\varphi$ は $\mathbb{C}$ 線形なので $\varphi(a)=a(0)+\varphi(a')$、$\varphi(a')\in\mathfrak{m}_B$ から $\varphi(a)(0)=a(0)$ である。$\square$

要点：次数 $k$ 以上の各単項式を、前から数えた $k$ 個の変数の積で割り、その商を集める。

一意性。$\psi,\psi'\colon\mathbb{C}\{z\}\to B$ を $\mathbb{C}$ 代数の準同型で $\psi(z_i)=\psi'(z_i)=b_i$ とする。prop-aa-local により $b_i\in\mathfrak{m}_B$ である。$F\in\mathbb{C}\{z\}$ と $k\ge1$ について lem-aa-monomial で $F=P_k+\sum_{|\alpha|=k}z^\alpha h_\alpha$ と書く。$P_k$ は多項式なので $\psi(P_k)=\psi'(P_k)$ であり、
$$ \psi(F)-\psi'(F)=\sum_{|\alpha|=k}b^\alpha\bigl(\psi(h_\alpha)-\psi'(h_\alpha)\bigr)\in\mathfrak{m}_B^{\,k} $$
である。$k$ は任意なので $\psi(F)-\psi'(F)\in\bigcap_k\mathfrak{m}_B^{\,k}$ であり、$B$ は Noether 局所環だから Krullの交叉定理 によりこの共通部分は $0$ である（AM69 Corollary 10.20、p. 111）。よって $\psi=\psi'$ である。
存在。$B=\mathbb{C}\{y_1,\dots,y_m\}/J$ としてよい。$b_i$ の代表 $g_i\in\mathbb{C}\{y\}$ をとると、$b_i\in\mathfrak{m}_B$ から $g_i(0)=0$ である。$F\in\mathbb{C}\{z\}$ の代表が原点の近傍 $\Delta$ で正則なら、$g=(g_1,\dots,g_n)$ の代表は原点の十分小さい近傍 $W$ を $\Delta$ に写すので、合成 $F\circ g$ は $W$ 上で正則であり、その芽は $F$ と $g_i$ の芽だけで決まる。$F\mapsto F\circ g$ は和と積を保ち（関数の合成は各点ごとの和と積と両立する）、定数を保ち、$z_i\mapsto g_i$ である。これと射影 $\mathbb{C}\{y\}\to B$ の合成が $\sigma_b$ である。
2. $\pi\colon\mathbb{C}\{z\}\to A$ を射影とする。$\varphi\colon A\to B$ に対し $b_i:=\varphi(\bar z_i)$ は prop-aa-local により $\mathfrak{m}_B$ に入り、$\varphi\circ\pi$ は $z_i\mapsto b_i$ となる準同型なので、一意性により $\varphi\circ\pi=\sigma_b$ である。とくに $F\in I$ なら $F(b)=\varphi(\pi(F))=0$ であり、写像は well-defined である。単射性：$b$ が等しければ $\varphi\circ\pi=\sigma_b=\varphi'\circ\pi$ で、$\pi$ は全射だから $\varphi=\varphi'$ である。全射性：$I\subset\ker\sigma_b$ なら $\sigma_b$ は $A$ を経由する。$\square$

$m$ についての帰納法で示す。$m=0$ なら $R=\mathbb{C}\{y\}$ で主張は仮定そのものである。$m\ge1$ とし、$M$ を $R$ 加群として生成する $e_1,\dots,e_r$ をとる。$(y)=(y_1,\dots,y_n)R$ とおく。
消す元の構成。$\bar M:=M/(y)M$ は局所環 $R$ 上の有限生成加群で有限次元である。部分空間の列 $\mathfrak{m}_R^j\bar M$ は減少するので、ある $k$ で $\mathfrak{m}_R^k\bar M=\mathfrak{m}_R^{k+1}\bar M$ となり、Nakayamaの補題 により $\mathfrak{m}_R^k\bar M=0$ である。とくに $x_1^kM\subset(y)M$ である。$M$ の自己準同型「$x_1^k$ 倍」に行列式の議論（AM69 Proposition 2.4、p. 21）を当てはめると、$a_1,\dots,a_r\in(y)$ があって
$$ \Delta:=x_1^{kr}+a_1x_1^{k(r-1)}+\cdots+a_r $$
が $\Delta M=0$ をみたす。
割り算。$\Delta$ で $x_1$ 以外の変数 $y_1,\dots,y_n,x_2,\dots,x_m$ をすべて $0$ とおくと、$a_j\in(y)$ は $0$ になるので $x_1^{kr}$ が残る。したがって $\Delta$ は、$x_1$ を特別な変数とみて $x_1$ について $kr$ 次の正則な元である（Weierstrassの割り算定理 の定義「$w$ について正則な関数と Weierstrass 多項式」）。Weierstrassの予備定理 により $\Delta=uW$（$u$ は単元、$W$ は $R':=\mathbb{C}\{y,x_2,\dots,x_m\}$ 係数の $x_1$ の $kr$ 次の Weierstrass 多項式）と書け、Weierstrassの割り算定理 の系「剰余環の同型」により $R/WR$ は $1,x_1,\dots,x_1^{kr-1}$ の像で生成される $R'$ 加群である。$WM=u^{-1}\Delta M=0$ なので $M$ は $R/WR$ 加群であり、したがって $x_1^je_i$（$0\le j< kr$、$1\le i\le r$）で生成される有限生成 $R'$ 加群である。
帰納法。$R'$ は $y$ と $m-1$ 個の変数 $x_2,\dots,x_m$ の収束冪級数環で、$(y)M$ は $R$ のイデアルで見ても $R'$ のイデアルで見ても同じなので、$M/(y)M$ は有限次元のままである。帰納法の仮定により $M$ は有限生成 $\mathbb{C}\{y\}$ 加群である。$\square$

1 ⇒ 2 は、$M/\mathfrak{m}_AM$ が $A/\mathfrak{m}_A=\mathbb{C}$ 上の有限生成加群になることから明らかである。最後の主張は、$N:=\sum_iAe_i$ とおくと $M=N+\mathfrak{m}_AM$ となり、$M$ が有限生成 $A$ 加群なら Nakayamaの補題 により $M=N$ となることから従う。
2 ⇒ 1 を示す。$A=\mathbb{C}\{y_1,\dots,y_n\}/I$、$B=\mathbb{C}\{x_1,\dots,x_m\}/J$ とし、$\pi_A,\pi_B$ を射影とする。thm-aa-hom の 1 により、$\mathbb{C}$ 代数の準同型 $\psi\colon R:=\mathbb{C}\{y,x\}\to B$ で $y_j\mapsto\varphi(\pi_A(y_j))$、$x_i\mapsto\pi_B(x_i)$ となるものがある（$\varphi(\pi_A(y_j))\in\mathfrak{m}_B$ は prop-aa-local による）。$\psi$ の $\mathbb{C}\{x\}$ への制限と $\pi_B$ は $x_i$ の行き先が同じなので、thm-aa-hom の一意性により一致し、$\psi$ は全射である。同様に $\psi$ の $\mathbb{C}\{y\}$ への制限は $\varphi\circ\pi_A$ に等しい。
したがって $M$ は $\psi$ を通して有限生成 $R$ 加群であり、それを部分環 $\mathbb{C}\{y\}$ に制限した加群は、$M$ を $\pi_A$ を通して $\mathbb{C}\{y\}$ 加群とみたものと同じである。とくに $\mathfrak{m}_AM=(y)M$ であり、仮定から $M/(y)M$ は有限次元である。lem-aa-key により $M$ は有限生成 $\mathbb{C}\{y\}$ 加群であり、$\mathbb{C}\{y\}$ の元は $\pi_A$ を通して作用するので、同じ生成元で $M$ は有限生成 $A$ 加群である。$\square$

1 ⇔ 2 は thm-aa-finiteness で $M=B$ とした場合である。