擬リーマン多様体

要点：1 は $\flat\colon V\to V^*$ の同型と制限 $V^*\to W^*$ の全射性、2 は 1 の次元公式、3 は負の基底ベクトルの張る空間との交わりで次元を押さえる。

要点：$p$ で正定値な $r(p)$ 次元の部分空間を、座標で定数係数のベクトル場に広げ、単位球面のコンパクト性で近くの点でも正定値のままにする。負定値の側も同様にして、和が $n$ であることから等号を得る。

$\operatorname{grad}f\ne0$ なので $df_p\ne0$ であり、$M$ は正則な等位集合として埋め込まれた超曲面で、$T_pM=\ker df_p$ である（Lee13 Corollary 5.14、p. 106、Proposition 5.38、p. 117）。$\nu:=\operatorname{grad}f|_p$ とおくと $df_p(v)=\bar g_p(\nu,v)$ なので $T_pM=N^\perp$、$N:=\operatorname{span}(\nu)$ である。$\bar g_p(\nu,\nu)\ne0$ なので $\bar g$ は $N$ の上で非退化で、prop-prm-linear の 2 から $T_p\bar M=N\oplus N^\perp$ である。同じ命題の 1 から $(N^\perp)^\perp=N$ なので $N^\perp\cap(N^\perp)^\perp=N^\perp\cap N=\{0\}$ となり、2 から $\bar g$ は $T_pM=N^\perp$ の上で非退化である。$T_pM$ の正規直交基底に $\nu/\sqrt{|\bar g(\nu,\nu)|}$ を加えると $T_p\bar M$ の正規直交基底になり、加えたベクトルの $\bar g$ の値は $\bar g(\nu,\nu)$ の符号に等しい。符号数が基底によらないことから主張の符号数を得る。$\square$

$\Phi(A)$ が $y,z$ について対称であることは $g$ の対称性から明らかなので、$\Phi$ は $\mathcal{T}$ への線形写像である。
単射性：$\Phi(A)=0$ とし、$a(x,y,z):=g(A(x,y),z)$ とおく。$a$ は $x,y$ について対称で、仮定から $a(x,y,z)=-a(x,z,y)$ である。この 2 つを交互に使うと
$$ a(x,y,z)=-a(x,z,y)=-a(z,x,y)=a(z,y,x)=a(y,z,x)=-a(y,x,z)=-a(x,y,z) $$
なので $a=0$ である。すべての $z$ で $g(A(x,y),z)=0$ なので、非退化性から $A(x,y)=0$ である。
全射性：$T\in\mathcal{T}$ に対し、$a(x,y,z)$ を主張の右辺で定める。$T(z,y,x)=T(z,x,y)$ を使うと $a(y,x,z)=a(x,y,z)$ であり、
$$ a(x,y,z)+a(x,z,y)=\tfrac12\bigl(T(x,y,z)+T(y,x,z)-T(z,x,y)+T(x,z,y)+T(z,x,y)-T(y,x,z)\bigr)=T(x,y,z) $$
である（$T(x,z,y)=T(x,y,z)$ を使った）。$\flat\colon V\to V^*$ は同型なので、$g(A(x,y),\cdot)=a(x,y,\cdot)$ となる $A(x,y)\in V$ がただ 1 つ定まり、$A$ は双線形で対称である。作り方から $\Phi(A)=T$ である。
この証明で $g$ について使ったのは、対称性と、$g(w,\cdot)=0$ なら $w=0$ という非退化性（単射性と全射性の 2 か所）だけで、正定値性は使っていない。$\square$

段 1（接続の差）． $\nabla$、$\nabla'$ を $M$ 上の接続とし、$D(X,Y):=\nabla_XY-\nabla'_XY$ とおく。$D$ は $X$ について $C^\infty(M)$ 線形で、$\nabla_X(fY)-\nabla'_X(fY)=X(f)Y+f\nabla_XY-X(f)Y-f\nabla'_XY=fD(X,Y)$ なので $Y$ についても $C^\infty(M)$ 線形である。よって $D$ は $(1,2)$ 型テンソル場である（テンソル場 の定理「テンソル性の判定」の系「ベクトル場に値をとる場合」）。逆に $(1,2)$ 型テンソル場 $D$ に対し $\nabla'+D$ は接続である。捩率については $T^{\nabla'+D}(X,Y)=T^{\nabla'}(X,Y)+D(X,Y)-D(Y,X)$ なので、$\nabla'$ が捩れをもたないとき、$\nabla'+D$ が捩れをもたないことと $D$ が対称であることは同値である。
段 2（捩れのない接続の存在）． $M$ を座標近傍 $\{U_\alpha\}$ で覆い、従属する 1 の分割 $\{\rho_\alpha\}$ をとる（Lee13 Theorem 2.23、p. 43）。$U_\alpha$ の座標ベクトル場 $\partial_i$ について $\nabla^\alpha_X(\sum_iY^i\partial_i):=\sum_iX(Y^i)\partial_i$ とおくと、接続係数がすべて $0$ なので $\nabla^\alpha$ は $U_\alpha$ 上の捩れのない接続である。$\nabla^0_XY:=\sum_\alpha\rho_\alpha\nabla^\alpha_XY$（局所有限和）とおく。$X$ についての $C^\infty(M)$ 線形性は明らかで、$\sum_\alpha\rho_\alpha=1$ から $\nabla^0_X(fY)=\sum_\alpha\rho_\alpha\bigl(X(f)Y+f\nabla^\alpha_XY\bigr)=X(f)Y+f\nabla^0_XY$ である。同様に $T^{\nabla^0}(X,Y)=\sum_\alpha\rho_\alpha T^{\nabla^\alpha}(X,Y)=0$ である。
段 3（計量条件を各点の方程式に直す）． 接続 $\nabla$ に対し
$$ \tau^\nabla(X,Y,Z):=X\,g(Y,Z)-g(\nabla_XY,Z)-g(Y,\nabla_XZ) $$
とおく。$\tau^\nabla$ は $X,Y,Z$ のそれぞれについて $C^\infty(M)$ 線形（$Y$ を $fY$ に替えると $X(f)g(Y,Z)$ の項が打ち消し合う）で、$Y,Z$ について対称な $(0,3)$ 型テンソル場であり、$\nabla$ が計量的であることは $\tau^\nabla=0$ と同値である。段 1 から、捩れのない接続はちょうど $\nabla=\nabla^0+A$（$A$ は対称な $(1,2)$ 型テンソル場）の形のものであり、各点 $p$ で
$$ \tau^{\nabla^0+A}_p=\tau^{\nabla^0}_p-\Phi_p(A_p) $$
である。ここで $\Phi_p$ は $(T_pM,g_p)$ についての lem-prm-algebraic の写像である。
段 4（解く）． 存在：lem-prm-algebraic により、各点で $A_p:=\Phi_p^{-1}(\tau^{\nabla^0}_p)$ がただ 1 つ定まる。逆写像の公式から、局所座標で $A$ の成分は $\tau^{\nabla^0}$ の成分と $g$ の逆行列 $(g^{kl})$ の成分の積の和であり、$(g_{ij})$ は各点で可逆な滑らかな行列値関数なので $(g^{kl})$ も滑らかである。よって $A$ は滑らかなテンソル場で、$\nabla:=\nabla^0+A$ は捩れがなく計量的である。一意性：$\nabla$、$\nabla'$ がともに捩れがなく計量的なら、段 1 から $\nabla'=\nabla+D$（$D$ は対称）と書け、段 3 から $0=\tau^{\nabla'}=\tau^\nabla-\Phi(D)=-\Phi(D)$ である。lem-prm-algebraic の単射性から $D=0$ である。$\square$

$M$ の Riemann 計量 $h$ をとる（Riemann幾何学 の命題「リーマン計量の存在」）。$Y:=X/\sqrt{h(X,X)}$ は $h$ についての単位ベクトル場で、$\theta:=h(Y,\cdot)$ は滑らかな 1 次形式である。$g:=h-2\,\theta\otimes\theta$ とおくと $g$ は対称な $(0,2)$ 型テンソル場である。各点 $p$ で、$Y_p$ と $h_p$ についての $Y_p$ の直交補空間の正規直交基底 $e_1,\dots,e_{n-1}$ をとると、$\theta(e_i)=0$、$\theta(Y_p)=1$ なので
$$ g(Y_p,Y_p)=1-2=-1,\qquad g(Y_p,e_i)=0,\qquad g(e_i,e_j)=\delta_{ij} $$
である。よって $Y_p,e_1,\dots,e_{n-1}$ は $g_p$ の正規直交基底で、$g$ は符号数 $(n-1,1)$ の Lorentz 計量である。$\square$

要点：直線の場があれば、局所的な単位ベクトル $Y$ の符号によらない $\theta\otimes\theta$ で prop-prm-lorentz-existence の構成が大域的にできる。逆は、補助の Riemann 計量で $g$ を自己随伴な変換 $S$ に直し、ただ 1 つの負の固有値の固有直線をとる。