eはなぜ特別か

同義語：why e is special

概要

前提知識: 数列の極限, 指数関数, 対数関数, 微分係数と導関数の定義（高校数学）

e とは何か

高校の数学 III では、数 $e=2.71828\ldots$ に 2 つの場面で出会う。1 つは極限 $\bigl(1+\frac1n\bigr)^n$ の行き先として、もう 1 つは微分しても変わらない関数 $e^x$ の底としてである。本記事は、$e$ についての 4 本の記事への案内である。$e$ の定義と例をここで述べ、証明はそれぞれの記事に任せる。

e の定義

正の整数 $n$ について $a_n:=\bigl(1+\frac1n\bigr)^n$ とおく。数列 $(a_n)$ は収束し、その極限
$$ e:=\lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\frac1n\Bigr)^n=2.71828\ldots $$
をネイピア数または自然対数の底という。$e$ を底とする対数 $\log x$ を自然対数という。

$(a_n)$ が収束すること自体が証明を要する事実であり、それを示すのが 1 本目の記事 (1+1/n)^nの極限である。

手で計算できる近似値

$a_2=\bigl(\frac32\bigr)^2=\frac94=2.25$、$a_4=\bigl(\frac54\bigr)^4=\frac{625}{256}=2.4414\ldots$。$n$ を大きくすると $a_n$ は増えていく。
$1+1+\frac1{2!}+\frac1{3!}=\frac83=2.666\ldots$、さらに $\frac1{4!}$ を足すと $\frac{65}{24}=2.7083\ldots$。階乗の逆数を足していくと、$a_n$ よりずっと速く $e$ に近づく。

同じ数が 4 つの場面に現れる

次の値は数値計算による（以下切り捨て）。

場面	式	値
複利の極限	$\bigl(1+\frac1{1000}\bigr)^{1000}$	$2.71692\ldots$
階乗の逆数の和	$\sum_{k=0}^{10}\frac1{k!}$	$2.7182818011\ldots$
$0$ での接線の傾きが $1$	$\frac{e^{0.001}-1}{0.001}$	$1.0005\ldots$
連続複利（年利 5%）	$\bigl(1+\frac{0.05}{365}\bigr)^{365}$ と $e^{0.05}$	$1.0512674\ldots$ と $1.0512710\ldots$

1 行目と 2 行目は $e=2.718281828\ldots$ に近づく 2 つの数、3 行目は $e^x$ の $x=0$ での傾きが $1$ であること、4 行目は複利の極限が $e$ の冪になることを示している。

高校の計算と大学の概念

高校の計算	大学の概念	記事
$\bigl(1+\frac1n\bigr)^n$ の値を表にする	単調で有界な数列の収束（単調収束定理）	(1+1/n)^nの極限
$\lim_{h\to0}\frac{e^h-1}h=1$、$(e^x)'=e^x$	底 $e$ の特徴づけ、微分方程式 $f'=f$	指数関数の微分
$(a^x)'=a^x\log a$、$(\log x)'=\frac1x$	底の取り替えと合成関数の微分	指数関数の微分
$\lim_{h\to0}(1+h)^{\frac1h}=e$、連続複利	$1$ の $\infty$ 乗型の極限、関数の極限	1の∞乗型の極限
$e=2.718\ldots$ を計算する	級数 $\sum\frac1{k!}$ と誤差の評価	eの級数表示と無理数性
$e$ は分数か	無理数であることの証明	eの級数表示と無理数性

読む順番

図1：4 本の記事を読む順番
最初に ① を読む。② → ③ の流れと ④ は、①だけを前提にしているので、どちらを先に読んでもよい。

(1+1/n)^nの極限：二項定理で $\bigl(1+\frac1n\bigr)^n$ を展開して係数を比べ、この数列が増加して $3$ を超えないことを示す。「単調で有界な数列は収束する」という実数の性質から $e$ が定まり、$\bigl(1+\frac1n\bigr)^n< e<\bigl(1+\frac1n\bigr)^{n+1}$ で $e$ を挟む。
指数関数の微分：$e^{1/m}$ が $1+\frac1m$ にほぼ等しいことから $\lim_{h\to0}\frac{e^h-1}h=1$ を証明する。$(a^x)'=(\log a)a^x$ なので、微分しても変わらない指数関数の底は $e$ だけであることがわかる。
1の∞乗型の極限：「底 $\to1$、指数 $\to\infty$」の形の極限は、「(底 $-1$)× 指数」の行き先 $c$ で決まり、$e^c$ になることを示す。連続複利 $e^r$ や、教科書の定義 $\lim_{h\to0}(1+h)^{\frac1h}=e$ との一致がここから出る。
eの級数表示と無理数性：$e=1+1+\frac1{2!}+\frac1{3!}+\cdots$ を示し、その誤差が $\frac1{n!\,n}$ 未満であることから、$e$ が分数で書けないことを証明する。

どの疑問にどの記事が答えるか

疑問	答える記事
表で値が近づいて見えるだけで、本当に収束するのか	①（収束の証明）
$e$ は $2$ と $3$ の間にあるのか	①（$2< e<3$）
$2^x$ ではなく $e^x$ が微分で変わらないのはなぜか	②
$(\log x)'=\frac1x$ に $e$ が隠れているのはなぜか	②
$\lim_{h\to0}(1+h)^{\frac1h}$ と $\lim_{n\to\infty}\bigl(1+\frac1n\bigr)^n$ は同じ数か	③
年利 5% の連続複利は何倍か	③（$e^{0.05}$ 倍）
$e$ を誤差 $10^{-10}$ 未満で計算するには、級数を何項足せばよいか	④（14 項）
$e$ は分数で書けるか	④（書けない）

なぜ e は特別か：4 本の答えのまとめ

微分で係数が消える。 $2^x$ や $10^x$ を微分すると係数 $\log2$、$\log10$ が付くが、$e^x$ では付かない（②）。微分や積分の公式がいちばん簡単になる底が $e$ である。
連続的な変化の極限に現れる。 増え方を細かく分けていく極限 $\bigl(1+\frac xn\bigr)^n$ は $e^x$ に近づく（③）。複利、人口の増加、放射性物質の崩壊など、「今の量に比例して変化する」現象に $e$ が現れるのはこのためである。
速く計算でき、しかも分数ではない。 級数 $\sum\frac1{k!}$ は $e$ に速く近づき、その近づき方が速すぎることが $e$ の無理数性の証明になる（④）。

反例：底が 1 に近づき指数が大きくなっても e になるとは限らない

$\bigl(1+\frac1n\bigr)^n$ は $e$ に近づくが、形の似た $\bigl(1+\frac1n\bigr)^{n^2}$ は $n=10$ で $1.1^{100}=13780.6\ldots$ と限りなく大きくなり、$\bigl(1+\frac1{n^2}\bigr)^n$ は $n=10$ で $1.01^{10}=1.1046\ldots$ と $1$ に近づく（数値計算）。どうなるかを決めるのは「(底 $-1$)× 指数」の行き先である。理由は 1の∞乗型の極限で説明する。

さらに先へ

超越数。 $e$ は無理数であるだけでなく、整数係数のどんな（$0$ でない）多項式の根にもならない超越数であることが知られている（4 本の記事では証明しない）。
複素数の指数関数。 $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$（Eulerの公式）によって、指数関数と三角関数が 1 つになる。
確率と階乗。 まれな出来事の回数の分布（Poisson分布）や、階乗の近似式（Stirlingの公式）にも $e$ が現れる。