球の体積と表面積

1. 半径 $1$、$2$、$3$ の球の表面積と体積は次のとおりである。

   半径 $r$	表面積 $4\pi r^2$	体積 $\frac43\pi r^3$
   $1$	$4\pi$	$\frac43\pi$
   $2$	$16\pi$	$\frac{32}3\pi$
   $3$	$36\pi$	$36\pi$

   半径が $2$ 倍になると、表面積は $2^2=4$ 倍、体積は $2^3=8$ 倍になる。半径 $3$ では、表面積と体積の数値がどちらも $36\pi$ で一致する（単位は $\mathrm{cm}^2$ と $\mathrm{cm}^3$ のように違う）。
   (2) 地球の場合を開く

   (2) 地球を半径 $6371\ \mathrm{km}$ の球とみなすと、表面積は$$4\pi\times6371^2=5.10\ldots\times10^8\ (\mathrm{km}^2),$$体積は $\dfrac43\pi\times6371^3=1.08\ldots\times10^{12}\ (\mathrm{km}^3)$ である。

半径 $r$ の球を、$x$ 軸を中心軸とする回転体として $y=\sqrt{r^2-x^2}$（$-r\le x\le r$）の回転で表す。$x$ から $x+\Delta x$ までの輪切りを、半径 $\sqrt{r^2-x^2}$、高さ $\Delta x$ の円柱で近似すると、その側面積は $2\pi\sqrt{r^2-x^2}\,\Delta x$ である。これを足して $\Delta x$ を小さくした極限は
$$ 2\pi\int_{-r}^r\sqrt{r^2-x^2}\,dx=2\pi\cdot\underbrace{\frac{\pi r^2}{2}}_{\text{半円の面積}}=\pi^2r^2 $$
である（$\int_{-r}^r\sqrt{r^2-x^2}\,dx$ は半径 $r$ の半円の面積）。$\pi^2=9.869\ldots$、$4\pi=12.566\ldots$ なので、$\pi^2r^2$ は $4\pi r^2$ より 2 割ほど小さい。

1. 底面の半径 $3$、母線の長さ $5$ の円錐の側面を、母線に沿って切り開く。側面は半径 $5$ の扇形になり、その弧の長さは底面の円周 $2\pi\times3=6\pi$ に等しい。よって側面積は $\dfrac12\times5\times6\pi=15\pi$ である。
2. 一般に、底面の半径 $r$、母線の長さ $L$ の円錐の側面は、半径 $L$、弧の長さ $2\pi r$ の扇形になるので、側面積は $\dfrac12\times L\times2\pi r=\pi rL$ である。(1) では $\pi\times3\times5=15\pi$ となり一致する。

$r_1=2$、$r_2=1$、$\ell=2$ の円錐台では、$\dfrac{1}{2}=\dfrac{L_2}{L_1}$ と $L_1-L_2=2$ から $L_1=4$、$L_2=2$ である。大きい円錐の側面積は $\pi\times2\times4=8\pi$、小さい円錐の側面積は $\pi\times1\times2=2\pi$ で、差は $6\pi$ である。lem-vsph-frustum の式でも $\pi(2+1)\times2=6\pi$ となる。図 3 はこの円錐台の展開図で、中心角は $\dfrac{2\pi\times2}{4}=\pi$（半円）である。

$f(x)=\sqrt{1-x^2}$（$-1\le x\le1$）とする。
(1) 分割 $-1<0<1$。点は $P_0(-1,0)$、$P_1(0,1)$、$P_2(1,0)$ で、$\ell_1=\ell_2=\sqrt2$ である。線分 $P_0P_1$ を回すと、底面の半径 $1$、母線の長さ $\sqrt2$ の円錐の側面になる。よって
$$ A(P)=\pi(0+1)\sqrt2+\pi(1+0)\sqrt2=2\sqrt2\,\pi=8.885\ldots $$
である。
(2) 4 等分 $-1<-\frac12<0<\frac12<1$。点の $y$ 座標は $0$、$\frac{\sqrt3}2$、$1$、$\frac{\sqrt3}2$、$0$ である。$\ell_1^2=\left(\frac12\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}2\right)^2=1$、$\ell_2^2=\left(\frac12\right)^2+\left(1-\frac{\sqrt3}2\right)^2=2-\sqrt3$ で、対称性から $\ell_3=\ell_2$、$\ell_4=\ell_1$ である。よって
$$ A(P)=2\left\{\pi\left(0+\frac{\sqrt3}2\right)\cdot1+\pi\left(\frac{\sqrt3}2+1\right)\sqrt{2-\sqrt3}\right\}=11.510\ldots $$
である。分割を細かくすると $A(P)$ は大きくなり、$4\pi=12.566\ldots$ に近づいていく（ex-vsph-n4 で式を整理し、図 5 で $n$ を増やした値を見る）。

1. $r=5$、$P(3,4)$、$Q(4,3)$。$\ell=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$、$M=\left(\frac72,\frac72\right)$、$d=\dfrac{7\sqrt2}{2}$ である。$\sqrt{r^2-\frac{\ell^2}4}=\sqrt{25-\frac12}=\sqrt{\frac{49}2}=\dfrac{7}{\sqrt2}=\dfrac{7\sqrt2}2$ で一致する。側面積は、lem-vsph-frustum で $\pi(4+3)\sqrt2=7\sqrt2\,\pi$、補題の右辺で $2\pi\cdot\dfrac{7\sqrt2}2\cdot1=7\sqrt2\,\pi$ となり、一致する。
   (2) 半径 1 の円錐の場合を開く

   (2) $r=1$、$P(-1,0)$、$Q(0,1)$（ex-vsph-n2 (1) の円錐）。$\ell=\sqrt2$、$d=\sqrt{1-\frac12}=\dfrac{1}{\sqrt2}$ で、$2\pi d\,\Delta x=2\pi\cdot\dfrac1{\sqrt2}\cdot1=\sqrt2\,\pi$ は円錐の側面積 $\pi\cdot1\cdot\sqrt2$ と一致する。

半径 $1$ の球で、ex-vsph-n2 の分割を lem-vsph-chord の形で計算し直す。

1. $f(x)=\dfrac rhx$（$0\le x\le h$）を回すと、底面の半径 $r$、高さ $h$ の円錐の側面になる。$f'(x)=\dfrac rh$ なので
   $$ S=2\pi\int_0^h\frac rhx\sqrt{1+\frac{r^2}{h^2}}\,dx=2\pi\cdot\frac rh\cdot\frac{\sqrt{h^2+r^2}}{h}\cdot\frac{h^2}{2}=\pi r\sqrt{r^2+h^2} $$
   である。母線の長さは $L=\sqrt{r^2+h^2}$ なので、これは ex-vsph-cone の $\pi rL$ と一致する。
   (2) 放物線を回した面の計算を開く

   (2) $f(x)=\sqrt x$（$1\le x\le4$）を回す（放物線 $x=y^2$ の一部を回した面）。$f'(x)=\dfrac1{2\sqrt x}$ なので$$f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}=\sqrt x\sqrt{1+\frac1{4x}}=\sqrt{x+\frac14}$$であり、$$S=2\pi\int_1^4\sqrt{x+\frac14}\,dx=2\pi\cdot\frac23\left[\left(x+\frac14\right)^{\frac32}\right]_1^4=\frac{4\pi}{3}\left\{\left(\frac{17}4\right)^{\frac32}-\left(\frac54\right)^{\frac32}\right\}=\frac{\pi\left(17\sqrt{17}-5\sqrt5\right)}{6}=30.84\ldots$$である。円柱で近似した値 $2\pi\int_1^4\sqrt x\,dx=\dfrac{28}{3}\pi=29.32\ldots$ は、これより小さい。

4 等分では、円柱の和 $\frac{\pi(\sqrt{15}+\sqrt7)}{2}=10.23\ldots$ は、円錐台の和 $11.51\ldots$ や表面積 $4\pi=12.56\ldots$ より小さい。

1. 1 辺 $a$ の立方体では、$V=a^3$、表面積は $6a^2$ である。$\dfrac{dV}{da}=3a^2$ は表面積 $6a^2$ の半分で、一致しない。
2. 同じ立方体を、中心から各面までの距離 $t=\dfrac a2$ で表すと、$V=(2t)^3=8t^3$ で、$\dfrac{dV}{dt}=24t^2=24\cdot\dfrac{a^2}4=6a^2$ となり、表面積と一致する。$t$ が $h$ だけ増えると、6 つの面がすべて外へ $h$ ずつ動くので、増えた体積はほぼ「表面積 $\times h$」になる。$a$ が $h$ だけ増えるときは、中心を止めて見ると、各面は $\dfrac h2$ しか動かない。
   (3) 直径で微分する場合、(4) 外接する円柱、一般の多面体を開く

   (3) 球を直径 $D$ で表すと、$V=\dfrac{\pi D^3}6$、$\dfrac{dV}{dD}=\dfrac{\pi D^2}{2}$ で、表面積 $\pi D^2$ の半分である。(1) と同じ理由で、直径が $h$ 増えても球面は $\dfrac h2$ しか外へ動かない。

   (4) 半径 $r$、高さ $2r$ の円柱（球に外接する円柱）では、$V=\pi r^2\cdot2r=2\pi r^3$、$\dfrac{dV}{dr}=6\pi r^2$ で、表面積（側面 $4\pi r^2$ と 2 つの底面 $2\pi r^2$）と一致する。中心から側面までの距離も、2 つの底面までの距離も $r$ だからである。

   一般に、多面体のすべての面が中心から距離 $t$ の位置にある（半径 $t$ の球に外接する）とき、中心を頂点とし各面を底面とする角錐に分けると、各角錐の高さは $t$ なので、$V=\dfrac13St$ である。形を保ったまま $t$ を変えると $S$ は $t^2$ に比例するので $S=ct^2$（$c$ は定数）と書け、$V=\dfrac c3t^3$、$\dfrac{dV}{dt}=ct^2=S$ となる。

1. 体積：円錐は $\dfrac13\cdot\pi r^2\cdot2r=\dfrac23\pi r^3$、円柱は $\pi r^2\cdot2r=2\pi r^3$ なので、円錐：球：円柱 $=\dfrac23:\dfrac43:2=1:2:3$ である。特に、球と円柱の体積の比は $2:3$ である。
2. 表面積：円柱の側面は縦 $2r$、横 $2\pi r$ の長方形で面積 $4\pi r^2$、底面は 2 つで $2\pi r^2$、合わせて $6\pi r^2$ である。球と円柱の表面積の比は $4\pi r^2:6\pi r^2=2:3$ で、体積の比と同じになる。
3. 球の表面積 $4\pi r^2$ は、外接する円柱の側面積 $4\pi r^2$ に等しい。この一致を、球面の帯ごとに細かく見たものが Archimedesの帽子箱定理 である。
   (4) 円錐の表面積を開く

   (4) 円錐の母線の長さは $\sqrt{r^2+(2r)^2}=\sqrt5\,r$ なので、側面積は $\pi r\cdot\sqrt5\,r=\sqrt5\,\pi r^2$（ex-vsph-cone (2)）、底面を含めると $(1+\sqrt5)\pi r^2=3.23\ldots\times\pi r^2$ である。表面積では、円錐は体積のようなきれいな比にならない。

半径 $r$ の半球（球を中心を通る平面で 2 つに切った一方）の表面は、半球面と切り口の円板からなる。半球面の面積は、球面を 2 等分したものなので $2\pi r^2$ である（thm-vsph-main の証明は、区間 $[-r,r]$ を $[0,r]$ に替えてもそのまま通り、$2\pi r\cdot r=2\pi r^2$ を与える）。切り口は半径 $r$ の円板で面積 $\pi r^2$ である。よって半球の表面積は
$$ 2\pi r^2+\pi r^2=3\pi r^2 $$
である。$r=2$ なら $12\pi$ で、$4\pi r^2$ の半分の $8\pi$ ではない。「立体の表面積」は立体を囲むすべての面の面積の和であり、切ってできた面も含める。体積は切っても合計が変わらないが、表面積は切ると切り口の分だけ増える。