放物型部分群(Coxeter群)

1 と 2：三段階で示す。
(a) $w\in W_I$ について、$I$ の文字による長さ $\ell_I(w)$ の表示 $w=t_1\cdots t_k$（$k=\ell_I(w)$）は $S$ に関して簡約である。実際、簡約でなければ消去条件により 2 文字を消した $I$ の文字の表示 $w=t_1\cdots\widehat{t_i}\cdots\widehat{t_j}\cdots t_k$ が得られ、$\ell_I(w)=k$ に反する。よって $\ell(w)=\ell_I(w)$ である。
(b) $s\in W_I\cap S$ なら、(a) により $\ell_I(s)=\ell(s)=1$ なので、$s$ は $I$ の 1 文字で書け、$s\in I$ である。逆の包含 $I\subset W_I\cap S$ は明らかである。
(c) 1 を $h=\ell(w)$ についての帰納法で示す。$h=0$ なら主張は空である。$h\ge1$ とし、$w=s_1\cdots s_h$ を $w\in W_I$ の簡約表示とする。$\ell(ws_h)=h-1<\ell(w)$ である。(a) の $I$ の文字による簡約表示 $w=t_1\cdots t_h$ に交換条件を当てると、ある $i$ について $ws_h=t_1\cdots\widehat{t_i}\cdots t_h\in W_I$ となる。よって $s_h=w^{-1}(ws_h)\in W_I\cap S=I$ である（(b)）。$ws_h\in W_I$ は簡約表示 $s_1\cdots s_{h-1}$ をもつので、帰納法の仮定により $s_1,\dots,s_{h-1}\in I$ である。
2 の後半：$I\mapsto W_I$ は $I=W_I\cap S$ で $I$ を復元するので単射である。$W_I\subset W_J$ なら $I=W_I\cap S\subset W_J\cap S=J$ であり、逆は明らかである。
3：$w\in W_I\cap W_J$ の簡約表示を一つとると、1 によりその文字は $I$ の元であり、かつ $J$ の元であるから、$w\in W_{I\cap J}$ である。逆の包含は明らかである。
4：$s,t\in I$ について $st$ の位数は $W$ の中で $m(s,t)$ なので、$\widetilde W_I:=\langle I\mid(st)^{m(s,t)}=1\ (s,t\in I,\ m(s,t)<\infty)\rangle$ から $W_I$ への全射準同型 $\pi$（$t\mapsto t$）がある（群の表示 の命題「表示からの準同型」）。$\pi$ が単射であることを、幾何学的表現で示す。
$V_S$ を $(W,S)$ の幾何学的表現の空間（基底 $e_s$、双線型形式 $B(e_s,e_t)=-\cos(\pi/m(s,t))$、ただし $m(s,t)=\infty$ なら $-1$）、$\sigma\colon W\to GL(V_S)$ を幾何学的表現とする（Coxeter系 の定理「幾何学的表現の構成」）。$V_I:=\bigoplus_{t\in I}\mathbb{R}e_t$ とおくと、$B$ の $V_I$ への制限は Coxeter 行列 $m|_{I\times I}$ から同じ式で作った双線型形式である。同定理の 3 により $(\widetilde W_I,I)$ は Coxeter 系であり、その幾何学的表現 $\sigma^I\colon\widetilde W_I\to GL(V_I)$、$\sigma^I_t(v)=v-2B(v,e_t)e_t$ は単射である（同記事の系「幾何学的表現の忠実性」）。
$t\in I$ について $\sigma_t(v)=v-2B(v,e_t)e_t$ は $V_I$ を保ち、その制限は $\sigma^I_t$ に等しい。$x\mapsto\sigma(\pi(x))|_{V_I}$ と $\sigma^I$ はともに $\widetilde W_I$ からの準同型で生成元の上で一致するので、すべての $x\in\widetilde W_I$ について $\sigma(\pi(x))|_{V_I}=\sigma^I(x)$ である。$\pi(x)=1$ なら $\sigma^I(x)=\mathrm{id}$、よって $x=1$ である。したがって $\pi$ は同型であり、$(W_I,I)$ は Coxeter 行列 $m|_{I\times I}$ の Coxeter 系である。$\square$

長さは $0$ 以上の整数なので、$W_IwW_J$ に長さ最小の元 $d$ がある。$z\in W_IwW_J=W_IdW_J$ について、$z=xdy$（$x\in W_I$、$y\in W_J$）と書ける組のうち $\ell(x)+\ell(y)$ が最小のものをとる。$x$、$d$、$y$ の簡約表示を並べた語を $\mathbf{u}$ とする。thm-parabolic-basic の 1 により、$x$ の部分の文字は $I$ の元、$y$ の部分の文字は $J$ の元である。
$\mathbf{u}$ が簡約でないと仮定する。消去条件により、$\mathbf{u}$ から 2 文字を消して $z$ の表示が得られる。

• 消した文字の少なくとも一方が $d$ の部分にあるとき：消した後の語は $x'd'y'$ の形で、$x'\in W_I$（$x$ の部分から高々 1 文字消したもの）、$y'\in W_J$、$d'$ は $d$ の簡約表示から 1 文字以上消した語の値なので $\ell(d')<\ell(d)$ である。$d'=x'^{-1}zy'^{-1}\in W_IdW_J$ は $d$ の最小性に反する。
• 消した 2 文字がどちらも $x$ と $y$ の部分にあるとき：$z=x'dy'$、$x'\in W_I$、$y'\in W_J$、$\ell(x')+\ell(y')\le\ell(x)+\ell(y)-2$ となり、組 $(x,y)$ の選び方に反する。
  よって $\mathbf{u}$ は簡約で、$\ell(z)=\ell(x)+\ell(d)+\ell(y)$ である。
  一意性：$d_1$ も長さ最小なら、$d_1=xdy$、$\ell(d_1)=\ell(x)+\ell(d)+\ell(y)$ と書け、$\ell(d_1)=\ell(d)$ から $\ell(x)=\ell(y)=0$、$d_1=d$ である。$\square$

thm-parabolic-double-coset を $I$ の代わりに $\emptyset$、$J$ の代わりに $I$ として当てる（$W_\emptyset w W_I=wW_I$）。左剰余類 $uW_I$ の長さ最小の元を $d$ とすると、その元はどれも $dy$（$y\in W_I$）で $\ell(dy)=\ell(d)+\ell(y)$ を満たす。
1：$u=d$ なら、$s\in I$ について $\ell(us)=\ell(u)+\ell(s)=\ell(u)+1$ なので $u\in W^I$ である。逆に $u\in W^I$ とし、$u=dy$（$y\in W_I$）と書く。$y\neq1$ なら、thm-parabolic-basic の 1 により $y$ の簡約表示の最後の文字 $s$ は $I$ の元で、$\ell(ys)=\ell(y)-1$ である。$us=d(ys)$ は $uW_I$ の元なので $\ell(us)=\ell(d)+\ell(ys)=\ell(u)-1$ となり、$u\in W^I$ に反する。よって $y=1$、$u=d$ である。
2：$w$ の左剰余類の長さ最小の元を $u$ とすると、1 により $u\in W^I$ で、$x:=u^{-1}w\in W_I$ について $\ell(w)=\ell(u)+\ell(x)$ である。$w=u'x'$（$u'\in W^I$、$x'\in W_I$）とすると $u'\in wW_I$ で、1 により $u'=u$、$x'=x$ である。
3：$w\mapsto w^{-1}$ は長さを保ち、$W_Iw$ を $w^{-1}W_I$ に、${}^IW$ を $W^I$ に写すので、1・2 に帰着する。$\square$

thm-parabolic-coset の 2 により $(u,x)\mapsto ux$ は $W^I\times W_I$ から $W$ への全単射で $\ell(ux)=\ell(u)+\ell(x)$ を満たすので、$q^{\ell(ux)}=q^{\ell(u)}q^{\ell(x)}$ を足し合わせればよい。thm-parabolic-basic の 1 により、$W_I$ の長さは $W$ で測っても $(W_I,I)$ で測っても同じである。$\square$