Dirichlet L関数
概要
Dirichlet L関数（Dirichlet L-function）とは、Dirichlet 指標 $\chi$ に対し $\operatorname{Re}s>1$ で $L(s,\chi)=\sum_{n\ge1}\chi(n)n^{-s}$ により定まる関数とその解析接続である。法 $q>1$ の原始指標なら、$\Gamma$ 因子を掛けた $\Lambda(s,\chi)$ が整関数に延び、Gauss 和で決まる $\varepsilon(\chi)$ について $\Lambda(s,\chi)=\varepsilon(\chi)\Lambda(1-s,\overline\chi)$ を満たす。$q=1$ の場合が Riemann ゼータ関数で、直線 $\operatorname{Re}s=1$ 上に零点はない。算術級数の素数分布の基本の道具である。
前提知識: Dirichlet指標, Riemannゼータ関数, ガンマ関数, Gauss和
Dirichlet L関数 は、Dirichlet 指標 $\chi$ を係数にもつ級数 $L(s,\chi)=\sum_{n\ge1}\chi(n)n^{-s}$ で定まる関数である。$\chi$ が自明なら Riemannゼータ関数 と有限個の Euler 因子だけ違い、自明でなければ $s=1$ での値が 0 でないことから算術級数の中の素数の無限性が従う（Dirichletの算術級数定理）。この記事の中心は、原始指標の $L$ 関数が全平面に延び、$s$ と $1-s$ を結ぶ関数等式を満たすことである。証明はテータ関数の変換公式によるもので、法 $1$ の場合として Riemann ゼータ関数の関数等式も含む。あわせて、零点の位置について分かること（負の側の零点と、直線 $\operatorname{Re}s=1$ 上に零点がないこと）を示す。
定義
以下、$q$ を正の整数、$\chi$ を法 $q$ の Dirichlet指標 とし、$\chi$ を $\mathbb Z$ 上の完全乗法的な関数とみる（$\gcd(n,q)>1$ なら $\chi(n)=0$）。複素数 $s$ を $s=\sigma+it$（$\sigma,t$ は実数）と書き、$n^{-s}:=e^{-s\log n}$ とする。
$\operatorname{Re}s>1$ で
$$
L(s,\chi):=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)}{n^s}
$$
と定め、これを $\chi$ の Dirichlet L 関数（Dirichlet $L$-function）という。$\lvert\chi(n)n^{-s}\rvert\le n^{-\sigma}$ なので級数は $\operatorname{Re}s\ge1+\delta$（$\delta>0$）で絶対かつ一様に収束し、Riemannゼータ関数 の補題「正則関数の一様極限」により $L(s,\chi)$ は $\operatorname{Re}s>1$ で正則である。法 $1$ の指標（すべての $n$ で $\chi(n)=1$）では $L(s,\chi)=\zeta(s)$ である。
指標 $\chi$ について $\chi(-1)=\pm1$ なので、$\chi(-1)=(-1)^{a}$ となる $a\in\{0,1\}$ がただ 1 つある。$a=0$ なら $\chi$ は偶指標、$a=1$ なら奇指標である。この $a$ が、後で現れる $\Gamma$ 因子の形を決める。
$\operatorname{Re}s>1$ で、素数を小さい順に掛けた積について
$$
L(s,\chi)=\prod_p\frac{1}{1-\chi(p)p^{-s}},\qquad \lvert L(s,\chi)\rvert=\exp\Bigl(\sum_p\sum_{k\ge1}\frac{\operatorname{Re}\bigl(\chi(p)^kp^{-ks}\bigr)}{k}\Bigr)
$$
が成り立ち、右辺の二重級数は絶対収束する。とくに $\operatorname{Re}s>1$ で $L(s,\chi)\neq0$ である。
Dirichletの算術級数定理 の命題「Euler 積と対数」は実数 $s>1$ について $L(s,\chi)=e^{\ell(s,\chi)}$、$\ell(s,\chi)=\sum_p\sum_k\chi(p)^k/(kp^{ks})$ を示している。その証明は $z_p=\chi(p)p^{-s}$ が $\lvert z_p\rvert\le p^{-\sigma}\le\frac12$ を満たすことだけを使うので、$\operatorname{Re}s>1$ の複素数 $s$ でもそのまま通り、$\prod_{p\le x}(1-z_p)^{-1}\to L(s,\chi)$ と $L(s,\chi)=e^{\ell(s,\chi)}$ を得る。$\lvert e^{w}\rvert=e^{\operatorname{Re}w}$ から 2 つ目の式が従う。$\square$
法 $q$ の指標 $\chi$ は、ただ 1 つの原始指標 $\chi^*$（導手 $f_\chi$ を法とする）から誘導され、$\operatorname{Re}s>1$ で
$$
L(s,\chi)=L(s,\chi^*)\prod_{p\mid q}\bigl(1-\chi^*(p)p^{-s}\bigr)
$$
となる（Dirichlet指標 の定理「導手の性質と付随する原始指標」と命題「誘導された指標の L 関数」）。したがって解析的な性質は原始指標で調べればよい。$\chi$ が主指標なら $\chi^*$ は法 $1$ の指標で、$L(s,\chi)=\zeta(s)\prod_{p\mid q}(1-p^{-s})$ である。
関数等式
原始指標 $\chi$ の Gauss和 を $\tau(\chi):=\sum_{b=1}^{q}\chi(b)e^{2\pi ib/q}$ とする（$q=1$ では $\tau(\chi)=1$）。Gauss和 の定理「原始指標のGauss和」により、すべての整数 $k$ について
$$
\sum_{b=1}^{q}\chi(b)e^{2\pi ikb/q}=\overline{\chi(k)}\,\tau(\chi),\qquad \lvert\tau(\chi)\rvert^2=q
$$
であり、同じ定理の後の説明から $\tau(\chi)\tau(\overline\chi)=\chi(-1)q$ である（$q=1$ ではどれも直接確かめられる）。
$\chi$ を法 $q$ の原始指標、$\chi(-1)=(-1)^a$（$a\in\{0,1\}$）とする。$\operatorname{Re}s>1$ で
$$
\Lambda(s,\chi):=\Bigl(\frac{q}{\pi}\Bigr)^{(s+a)/2}\Gamma\Bigl(\frac{s+a}{2}\Bigr)L(s,\chi),\qquad \varepsilon(\chi):=\frac{\tau(\chi)}{i^{a}\sqrt q}
$$
と定め、$\Lambda(s,\chi)$ を 完備化した $L$ 関数、$\varepsilon(\chi)$ を 根数（root number）という。$\lvert\varepsilon(\chi)\rvert=1$ である。
掛けた因子 $(q/\pi)^{(s+a)/2}\Gamma(\frac{s+a}2)$ は、素数ごとの Euler 因子と並ぶ「無限素点での Euler 因子」とみなされる（Neu99 Chapter VII §2、pp. 436–437）。
下の定理の証明の要は、指標でひねったテータ関数
$$
\theta_\chi(t):=\sum_{n\in\mathbb Z}\chi(n)\,n^{a}\,e^{-\pi n^2t/q}\qquad(t>0,\ 0^0:=1)
$$
の変換公式である。$q>1$ なら $\chi(0)=0$ で $n=0$ の項は消え、$q=1$ では $\theta_\chi(t)=\theta(t):=\sum_{n\in\mathbb Z}e^{-\pi n^2t}$ である。
$t>0$、$u\in\mathbb R$ について次が成り立つ（各級数は絶対収束する）。
$$
\sum_{n\in\mathbb Z}e^{-\pi(n+u)^2/t}=\sqrt t\sum_{k\in\mathbb Z}e^{-\pi k^2t}e^{2\pi iku},\qquad
\sum_{n\in\mathbb Z}(n+u)e^{-\pi(n+u)^2/t}=-i\,t^{3/2}\sum_{k\in\mathbb Z}k\,e^{-\pi k^2t}e^{2\pi iku}.
$$
左辺の第 1 式を $G(u)$ とおく。$G$ は周期 $1$ の $C^1$ 級関数であり、その Fourier 係数が Gauss積分 の系「Gauss関数のFourier変換」により $\sqrt t\,e^{-\pi k^2t}$ と計算できる。係数の和が絶対収束するので、Fourier 級数は $G$ に一致する。第 2 式は第 1 式を $u$ で項別に微分したものである。
詳しい証明を開く
$\lvert u\rvert\le U$ のとき、$\lvert n\rvert\ge U+1$ なら $\lvert n+u\rvert\ge\lvert n\rvert-U$ である。よって $e^{-\pi(n+u)^2/t}$ と、その $u$ での導関数 $-\frac{2\pi}{t}(n+u)e^{-\pi(n+u)^2/t}$ の級数は $\lvert u\rvert\le U$ で一様に収束し（一様収束 の定理「Weierstrassの優級数判定法」）、同じ記事の定理「一様収束と微分の交換」により $G$ は $C^1$ 級で項別微分できる。$n\mapsto n+1$ のずらしで $G(u+1)=G(u)$ である。
$g(x):=G(x/2\pi)$ は $2\pi$ 周期で $C^1$ 級なので、Fourier級数 の定理「連続で区分的に $C^1$ 級の関数の一様収束」により、$G(u)=\sum_kc_ke^{2\pi iku}$（$c_k:=\int_0^1G(u)e^{-2\pi iku}\,du$、係数の絶対値の和は有限）が成り立つ。一様収束により項別に積分し、$v=n+u$ と置くと $e^{-2\pi iku}=e^{-2\pi ikv}$ なので
$$c_k=\sum_{n\in\mathbb Z}\int_n^{n+1}e^{-\pi v^2/t}e^{-2\pi ikv}\,dv=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\pi v^2/t}e^{-2\pi ikv}\,dv=\sqrt t\,e^{-\pi k^2t}$$
である。最後は Gauss積分 の系「Gauss関数のFourier変換」で $a=\pi/t$、$\xi=2\pi k$ とおいた（$\sqrt{\pi/a}=\sqrt t$、$\xi^2/(4a)=\pi k^2t$）。これで第 1 式が出る。右辺の級数 $\sum_k2\pi ik\sqrt t\,e^{-\pi k^2t}e^{2\pi iku}$ も $u$ について一様に収束するので、両辺を項別に微分して $-\frac{2\pi}{t}$ で割れば第 2 式を得る。$\square$
$\chi$ を法 $q$ の原始指標、$\chi(-1)=(-1)^a$ とする。すべての $t>0$ で
$$
\theta_\chi(1/t)=\varepsilon(\chi)\,t^{a+1/2}\,\theta_{\overline\chi}(t)
$$
が成り立つ。とくに $q=1$ では $\theta(1/t)=\sqrt t\,\theta(t)$ である。
$n$ を法 $q$ の剰余 $b$ ごとに $n=b+qm$ と分け、各剰余類の和に lem-dl-poisson を当てる。$b$ についての和は Gauss 和の式 $\sum_b\chi(b)e^{2\pi ikb/q}=\overline{\chi(k)}\tau(\chi)$ でまとまる。
計算を開く
$n=b+qm$（$1\le b\le q$、$m\in\mathbb Z$）と書くと、$\chi(n)=\chi(b)$、$n^2/(qt)=(m+b/q)^2/(t/q)$、$n^a=q^a(m+b/q)^a$ である。$a=0$ のとき、lem-dl-poisson の第 1 式を $t/q$ と $u=b/q$ に当てると
$$\theta_\chi(1/t)=\sum_{b=1}^{q}\chi(b)\sqrt{\tfrac tq}\sum_{k\in\mathbb Z}e^{-\pi k^2t/q}e^{2\pi ikb/q}=\sqrt{\tfrac tq}\sum_{k\in\mathbb Z}e^{-\pi k^2t/q}\,\overline{\chi(k)}\,\tau(\chi)=\frac{\tau(\chi)}{\sqrt q}\,t^{1/2}\theta_{\overline\chi}(t)$$
である（$b$ の和は有限和なので級数と入れ替えてよい）。$a=1$ のときは第 2 式から
$$\theta_\chi(1/t)=\sum_{b=1}^{q}\chi(b)\,q\,(-i)\Bigl(\frac tq\Bigr)^{3/2}\sum_{k\in\mathbb Z}k\,e^{-\pi k^2t/q}e^{2\pi ikb/q}=\frac{\tau(\chi)}{i\sqrt q}\,t^{3/2}\theta_{\overline\chi}(t)$$
である。どちらも $\varepsilon(\chi)\,t^{a+1/2}\theta_{\overline\chi}(t)$ に等しい。$\square$
$\chi$ を法 $q$ の原始指標、$\chi(-1)=(-1)^a$ とする。
- $q>1$ なら、$\Lambda(s,\chi)$ は $\mathbb C$ 上の整関数に延び、
$$ \Lambda(s,\chi)=\varepsilon(\chi)\,\Lambda(1-s,\overline\chi) $$
を満たす。$L(s,\chi)$ も $\mathbb C$ 上の整関数に延びる。 - $q=1$ なら $\Lambda(s,\chi)=\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s)$ であり、これは $\mathbb C$ 上の有理型関数に延び、極は $s=0,1$ の 1 位の極だけで留数はそれぞれ $-1$、$1$ である。さらに $\Lambda(s,\chi)=\Lambda(1-s,\chi)$ が成り立ち、$\zeta$ は $\mathbb C\setminus\{1\}$ 上の正則関数に延びる。
- 原始的とは限らない法 $q$ の指標 $\chi$ について、$\chi$ が主指標でなければ $L(s,\chi)$ は $\mathbb C$ 上の整関数に、主指標なら $s=1$ だけに 1 位の極（留数 $\varphi(q)/q$）をもつ $\mathbb C$ 上の有理型関数に延びる。
段 1（Mellin 変換の形）． $\operatorname{Re}s>1$、$w:=(s+a)/2$ とする。$\operatorname{Re}w>\frac12$ であり、$v=\pi n^2t/q$ と置換すると $\Gamma$ の積分表示（ガンマ関数 の定義）から $\int_0^\infty e^{-\pi n^2t/q}t^{w-1}\,dt=\Gamma(w)(q/\pi)^{w}n^{-2w}$ である。$\chi(-n)(-n)^a=\chi(n)n^a$ なので $\theta_\chi(t)-\delta_q=2\sum_{n\ge1}\chi(n)n^ae^{-\pi n^2t/q}$（$\delta_q$ は $q=1$ なら $1$、$q>1$ なら $0$）であり、$n^a\cdot n^{-2w}=n^{-s}$ だから
$$
\Lambda(s,\chi)=\frac12\int_0^\infty\bigl(\theta_\chi(t)-\delta_q\bigr)\,t^{(s+a)/2}\,\frac{dt}{t}
$$
を得る。和と積分の入れ替えは、絶対値をとった項の積分の和が $\Gamma(\operatorname{Re}w)(q/\pi)^{\operatorname{Re}w}\sum_nn^{-\sigma}<\infty$ であることによる。
段 2（$q>1$）． $(0,1]$ の部分で $t$ を $1/t$ に置き換えて prop-dl-theta を使うと、$a+\frac12-\frac{s+a}2=\frac{1-s+a}2$ なので
$$
2\Lambda(s,\chi)=\int_1^\infty\Bigl(\theta_\chi(t)\,t^{(s+a)/2}+\varepsilon(\chi)\,\theta_{\overline\chi}(t)\,t^{(1-s+a)/2}\Bigr)\frac{dt}{t}
$$
となる。$t\ge1$ では $\lvert\theta_\chi(t)\rvert\le C_qe^{-\pi t/q}$ なので右辺は整関数であり、これが $\Lambda(s,\chi)$ の延長を与える。$\chi$ を $\overline\chi$ に、$s$ を $1-s$ に替えた式に $\varepsilon(\chi)$ を掛けると、$\varepsilon(\chi)\varepsilon(\overline\chi)=1$ により右辺の 2 つの項が入れ替わるだけなので、$\varepsilon(\chi)\Lambda(1-s,\overline\chi)=\Lambda(s,\chi)$ である。
段 3（$q=1$）． $\omega(t):=\sum_{n\ge1}e^{-\pi n^2t}=\frac12(\theta(t)-1)$ とおく。$\theta(1/t)=\sqrt t\,\theta(t)$ は $\omega(1/t)=\sqrt t\,\omega(t)+\frac12(\sqrt t-1)$ と書け、段 2 と同じく $(0,1]$ の部分を移すと、$\operatorname{Re}s>1$ で
$$
\Lambda(s,\chi)=\frac1{s-1}-\frac1s+\int_1^\infty\omega(t)\bigl(t^{s/2}+t^{(1-s)/2}\bigr)\frac{dt}{t}
$$
を得る。右辺の積分は整関数で $s\leftrightarrow1-s$ で変わらず、$\frac1{s-1}-\frac1s$ も変わらない。
段 4（原始的でない指標）． 上で述べた $L(s,\chi)=L(s,\chi^*)\prod_{p\mid q}(1-\chi^*(p)p^{-s})$ の右辺を使う。
段 2〜4 の細部を開く
段 2 の評価：$t\ge1$ なら $\lvert\theta_\chi(t)\rvert\le2\sum_{n\ge1}ne^{-\pi n^2t/q}\le2e^{-\pi t/q}\sum_{n\ge1}ne^{-\pi(n^2-1)/q}=:C_qe^{-\pi t/q}$ である（$n^2t-t\ge n^2-1$）。$h$ を $[1,\infty)$ 上の連続関数で $\lvert h(t)\rvert\le Ce^{-ct}$（$c>0$）とし、$F(s):=\int_1^\infty h(t)t^{(s+a)/2-1}\,dt$ とおく。$F_N(s):=\int_1^Nh(t)t^{(s+a)/2-1}\,dt$ は、被積分関数とその $s$ での導関数が $(t,s)$ について連続なので、積分記号下で微分でき $\mathbb C$ 上正則である。$\lvert s\rvert\le R$ では $\lvert F(s)-F_N(s)\rvert\le\int_N^\infty Ce^{-ct}t^{R+1}\,dt\to0$ なので、Riemannゼータ関数 の補題「正則関数の一様極限」により $F$ は整関数である。段 1 の式を $\int_0^1+\int_1^\infty$ に分け、$\int_0^1\theta_\chi(t)t^{(s+a)/2}\frac{dt}t=\int_1^\infty\theta_\chi(1/t)t^{-(s+a)/2}\frac{dt}t$ に prop-dl-theta を代入した。$\varepsilon(\chi)\varepsilon(\overline\chi)=\tau(\chi)\tau(\overline\chi)/(i^{2a}q)=\chi(-1)/(-1)^a=1$ である。$\lvert\varepsilon(\chi)\rvert=1$ は $\lvert\tau(\chi)\rvert^2=q$ による。最後に $L(s,\chi)=\Lambda(s,\chi)(\pi/q)^{(s+a)/2}/\Gamma\bigl(\frac{s+a}2\bigr)$ で、ガンマ関数 の系「$\Gamma$ 関数の零点」により $1/\Gamma$ は整関数なので、$L(s,\chi)$ も整関数に延びる。
段 3 の計算：$\int_0^1\omega(t)t^{s/2}\frac{dt}t=\int_1^\infty\omega(1/t)t^{-s/2}\frac{dt}t=\int_1^\infty\omega(t)t^{(1-s)/2}\frac{dt}t+\frac12\int_1^\infty\bigl(t^{(1-s)/2}-t^{-s/2}\bigr)\frac{dt}t$ で、$\operatorname{Re}s>1$ なら最後の積分は $\frac2{s-1}-\frac2s$ である。$\omega(t)\le e^{-\pi t}\sum_{n\ge1}e^{-\pi(n^2-1)}$（$t\ge1$）なので積分の部分は整関数である。よって $\Lambda$ は $s=0,1$ だけに 1 位の極（留数 $-1$、$1$）をもつ有理型関数に延びる。$\zeta(s)=\pi^{s/2}\Lambda(s,\chi)/\Gamma(s/2)$ で、$s=0$ の極は $1/\Gamma(s/2)$ の 1 位の零点と打ち消し合うので、$\zeta$ は $\mathbb C\setminus\{1\}$ で正則である。延長は 一致の定理 により 1 通りである。
段 4：$\chi$ が主指標でなければ導手は $1$ より大きい（導手 $1$ の指標は主指標である）ので、$\chi^*$ は法 $f_\chi>1$ の原始指標で、1 により $L(s,\chi^*)$ は整関数、有限積も整関数である。主指標なら $\chi^*$ は法 $1$ の指標で $L(s,\chi)=\zeta(s)\prod_{p\mid q}(1-p^{-s})$ であり、2 から $s=1$ だけに極をもち、留数は $\prod_{p\mid q}(1-p^{-1})=\varphi(q)/q$ である。$\square$
2 は Riemannゼータ関数 の定理「全平面への解析接続と関数等式」の主張そのものである。
段 3 の式は、Riemann が 1859 年の論文で与えた 2 つ目の証明の形である（Rie59 pp. 2–3、Bom06 p. 110）。同じ組み立ては Neu99 Chapter VII の Theorem (1.6)（p. 425）と Theorem (2.8)（p. 440）にもある。
零点
$\chi$ を法 $q>1$ の原始指標、$\chi(-1)=(-1)^a$ とする。
- $\operatorname{Re}s<0$ での $L(s,\chi)$ の零点は、ちょうど $s=-a-2k$（$k\ge0$ の整数で $-a-2k<0$）であり、どれも 1 位である。
- $a=0$ なら $s=0$ は 1 位の零点であり、$a=1$ なら $L(0,\chi)\neq0$ である。
- $L(s,\chi)$ の残りの零点は帯 $0\le\operatorname{Re}s\le1$ にある。
$\operatorname{Re}s>1$ では prop-dl-euler により $L(s,\chi)\neq0$ で、$\Gamma$ は零点をもたないので $\Lambda(s,\chi)\neq0$ である。$\operatorname{Re}s<0$ なら $\operatorname{Re}(1-s)>1$ なので、thm-dl-fe から $\Lambda(s,\chi)=\varepsilon(\chi)\Lambda(1-s,\overline\chi)$ は $0$ でない有限の値である。$L(s,\chi)=\Lambda(s,\chi)(\pi/q)^{(s+a)/2}/\Gamma\bigl(\frac{s+a}2\bigr)$ で、$1/\Gamma(z)$ の零点は $z=0,-1,-2,\dots$ でどれも 1 位なので（ガンマ関数 の定理「解析接続と極・留数」と系「$\Gamma$ 関数の零点」）、1 を得る。$s=0$ では $\Lambda(0,\chi)=\varepsilon(\chi)(q/\pi)^{(1+a)/2}\Gamma\bigl(\frac{1+a}2\bigr)L(1,\overline\chi)$ で、Dirichletの算術級数定理 の定理「$L(1,\chi)$ は $0$ でない」によりこれは $0$ でない（級数の値 $L(1,\overline\chi)$ は、延長した関数の値と一致する。同じ記事の補題「部分和の有界性と $L$ 関数の連続性」により級数は $[1,2]$ で連続だからである）。$a=0$ なら $1/\Gamma(s/2)$ が $s=0$ で 1 位の零点をもち、$a=1$ なら $\Gamma(\frac12)$ は有限なので 2 が従う。3 は 1・2 と $\operatorname{Re}s>1$ の場合を合わせたものである。$\square$
これらを 自明な零点 といい、帯 $0\le\operatorname{Re}s\le1$ の零点のうち $s=0$ 以外のものを 非自明な零点 という。自明な零点の位置は、負の整数での値を一般化 Bernoulli 数で表す公式 $L(1-n,\chi)=-B_{n,\chi}/n$（一般化Bernoulli数 の定理「$L(1-n,\chi)=-B_{n,\chi}/n$」）と、$n\not\equiv a\pmod 2$ で $B_{n,\chi}=0$ となること（同じ記事の命題「偶奇が合わないときの消滅」）とも合っている。
次の定理は、非自明な零点が実際には開いた帯 $0<\operatorname{Re}s<1$ にあることを示す。$\chi$ が主指標の場合を含めて述べる。
$\chi$ を法 $q$ の指標、$t$ を実数とする。$\chi$ が主指標でなければ $L(1+it,\chi)\neq0$ であり、主指標なら $t\neq0$ で $L(1+it,\chi)\neq0$ である。とくに $t\neq0$ で $\zeta(1+it)\neq0$ である。
要点は $3+4\cos\varphi+\cos2\varphi=2(1+\cos\varphi)^2\ge0$ である。$\chi_0$ を法 $q$ の主指標とし、$\sigma>1$ で $P(\sigma):=\lvert L(\sigma,\chi_0)^3L(\sigma+it,\chi)^4L(\sigma+2it,\chi^2)\rvert$ とおく。prop-dl-euler の 2 つ目の式から
$$
P(\sigma)=\exp\Bigl(\sum_{p\nmid q}\sum_{k\ge1}\frac{3+4\cos\varphi_{p,k}+\cos2\varphi_{p,k}}{kp^{k\sigma}}\Bigr)\ge1
$$
である。ここで $p\nmid q$ について $\chi(p)^kp^{-ikt}=e^{i\varphi_{p,k}}$ とおいた（$p\mid q$ の項はどれも $0$）。
$L(1+it,\chi)=0$ と仮定する。$t\neq0$ であるか $\chi^2$ が主指標でないなら、thm-dl-fe の 3 により $L(s,\chi)$ は $1+it$ の近くで正則、$L(s,\chi^2)$ は $1+2it$ の近くで正則なので、$\sigma\to1+0$ で $\lvert L(\sigma+it,\chi)\rvert\le C(\sigma-1)$、$\lvert L(\sigma+2it,\chi^2)\rvert\le C$ である。また Dirichletの算術級数定理 の命題「主指標の $L$ 関数の評価」から $L(\sigma,\chi_0)\le\frac2{\sigma-1}$（$1<\sigma\le2$）である。よって $P(\sigma)\le8C^5(\sigma-1)\to0$ となり、$P\ge1$ に反する。残るのは $t=0$ で $\chi^2$ が主指標、$\chi$ が主指標でない場合、すなわち実数値の指標の $s=1$ での値であり、これは Dirichletの算術級数定理 の定理「$L(1,\chi)$ は $0$ でない」による。主指標で $t\neq0$ の場合は前半の議論に含まれる。$L(s,\chi_0)=\zeta(s)\prod_{p\mid q}(1-p^{-s})$ で法 $1$ をとれば $\zeta$ の主張になる。$\square$
cor-dl-zeros の 3 と合わせると、原始指標 $\chi$（$q>1$）の非自明な零点は $0<\operatorname{Re}s<1$ にある。実際、$\operatorname{Re}s=0$ の零点 $s$ があれば、関数等式から $\Lambda(1-s,\overline\chi)=0$ となり、$\operatorname{Re}(1-s)=1$ の上で $L(\cdot,\overline\chi)$ が $0$ になってこの定理に反する（$s=0$ は自明な零点として除く）。$\zeta$ についても同じで、非自明な零点は $0<\operatorname{Re}s<1$ にある。
$\chi$ を原始指標とする。$L(s,\chi)$ の $0<\operatorname{Re}s<1$ にある零点は、すべて直線 $\operatorname{Re}s=\frac12$ の上にある。
法 $1$ の場合が Riemann予想 である。$\Lambda(s,\chi)=\varepsilon(\chi)\Lambda(1-s,\overline\chi)$ と $\overline{L(\bar s,\chi)}=L(s,\overline\chi)$ から、非自明な零点の全体は $\rho\mapsto1-\bar\rho$ で保たれ、直線 $\operatorname{Re}s=\frac12$ はこの写像で動かない点の集合である。Bombieri は、Riemann ゼータ関数の場合が Dirichlet $L$ 関数の場合より易しいとは思われないことを指摘し、一般の $L$ 関数への拡張とあわせて述べている（Bom06 pp. 111–112）。この予想はこの記事では証明しない（未解決である）。予想が正しければ、Miller の決定的な多項式時間の素数判定法が正当化される（Bom06 p. 111、Miller-Rabin素数判定法）。
例
法 $4$ の自明でない指標 $\chi_{-4}$（$\chi_{-4}(1)=1$、$\chi_{-4}(3)=-1$）は原始的な奇指標で、$a=1$ である。$\tau(\chi_{-4})=e^{2\pi i/4}-e^{2\pi i\cdot3/4}=i-(-i)=2i$ だから $\varepsilon(\chi_{-4})=\frac{2i}{i\cdot2}=1$ で、$\chi_{-4}$ は実数値なので関数等式は
$$
\Lambda(s,\chi_{-4})=\Lambda(1-s,\chi_{-4}),\qquad \Lambda(s,\chi_{-4})=\Bigl(\frac4\pi\Bigr)^{(s+1)/2}\Gamma\Bigl(\frac{s+1}2\Bigr)L(s,\chi_{-4})
$$
となる。$s=0$ とおくと、左辺は $\frac2{\sqrt\pi}\Gamma(\frac12)L(0,\chi_{-4})=2L(0,\chi_{-4})$、右辺は $\frac4\pi\Gamma(1)L(1,\chi_{-4})$ である。一般化Bernoulli数 の例「法 $4$ の指標と Euler 数」の $L(0,\chi_{-4})=\frac12$ を代入すると $L(1,\chi_{-4})=\frac\pi4$、すなわち
$$
1-\frac13+\frac15-\frac17+\cdots=\frac\pi4
$$
を得る（級数の値と延長した関数の値が一致することは prf-cor-dl-zeros で述べた連続性による）。cor-dl-zeros により自明な零点は $s=-1,-3,-5,\dots$ で、$L(-2k,\chi_{-4})=E_{2k}/2$（$E_{2k}$ は Euler 数で $0$ でない）とも合っている。
法 $1$ では $\Lambda(s)=\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s)$ で、thm-dl-fe の 2 は Riemann の関数等式である。$\xi(s):=\frac12s(s-1)\Lambda(s)$ は極が打ち消されて整関数になり、$\xi(s)=\xi(1-s)$ を満たす。法 $3$ の自明でない指標 $\chi_{-3}$ は奇指標で、$\tau(\chi_{-3})=e^{2\pi i/3}-e^{4\pi i/3}=i\sqrt3$ だから $\varepsilon(\chi_{-3})=1$ である。
反例と注意
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $\chi$ が原始的 | 法 $6$ の指標 $\chi$（$\chi(1)=1$、$\chi(5)=-1$、導手 $3$） | 帯 $0\le\operatorname{Re}s\le1$ の $s\neq0$ の零点の全体が $\rho\mapsto1-\bar\rho$ で保たれる |
| $\chi$ が主指標でない | 法 $1$ の指標（$L(s,\chi)=\zeta(s)$） | $L(s,\chi)$ は $\mathbb C$ 上の整関数 |
| $\operatorname{Re}s>1$ | $\chi_{-4}$ と $s=-1$ | $L(s,\chi)\neq0$（Euler 積からの帰結） |
1 行目：$\chi$ は法 $3$ の $\chi_{-3}$ から誘導され、$\chi_{-3}(2)=-1$、$\chi_{-3}(3)=0$ なので $L(s,\chi)=L(s,\chi_{-3})(1+2^{-s})$ である（Gauss和 の例「原始でない指標」の指標と同じ）。$s_0:=\pi i/\log2$ では $2^{-s_0}=e^{-\pi i}=-1$ である。$L(s_0,\chi_{-3})\neq0$ である（$\chi_{-3}$ は奇指標なので $\operatorname{Re}s=0$ に零点をもたない。thm-dl-line-one の後の段落）から、$s_0$ は帯 $0\le\operatorname{Re}s\le1$ にある $L(s,\chi)$ の零点である。一方 $1-\bar s_0=1+\pi i/\log2$ では、thm-dl-line-one により $L(1-\bar s_0,\chi_{-3})\neq0$ で、$\lvert2^{-(1-\bar s_0)}\rvert=\frac12$ より $1+2^{-(1-\bar s_0)}\neq0$ なので、$L(1-\bar s_0,\chi)\neq0$ である。原始指標なら関数等式からこの対称性が従うが、ここでは有限個の Euler 因子がそれを崩している。
2 行目：$\zeta$ は $s=1$ に極をもつ（thm-dl-fe の 2）。
3 行目：$\chi_{-4}$ は奇指標なので、cor-dl-zeros により $s=-1$ は零点である。$\operatorname{Re}s>1$ の外では Euler 積は $L(s,\chi)$ を表さない。
補足
$L$ 関数は、Dirichlet が 1837 年に算術級数の中の素数の無限性を証明した仕事（Bom06 p. 108）で使われた。複素変数を $s$ と書く習慣もこの仕事にすでに見られる（同 p. 107 の脚注）。関数等式の証明には、上のテータ関数による方法のほかに、Hurwitz ゼータ関数を経由する方法がある（一般化Bernoulli数 の定理「Hurwitzゼータ関数の解析接続と特殊値」は後者の道具である）。数体の Hecke 指標の $L$ 関数への一般化は Hecke指標とHecke L関数 と Tateの学位論文 にある。
関連項目
- 前提: Dirichlet指標, Gauss和, ガンマ関数
- 比較: Riemannゼータ関数, Hecke指標とHecke L関数
- 直後に読む: Dirichletの算術級数定理, 一般化Bernoulli数, Riemann予想
- 発展: 明示公式(素数分布), Tateの学位論文
参考文献
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