Grothendieck群

存在。$\bar f([(a,b)]):=f(a)-f(b)$ と定める。これが代表元の取り方によらないことを示す。$(a,b)\sim(c,d)$ とし、$a+d+e=b+c+e$ とする。$f$ を施すと $G$ で $f(a)+f(d)+f(e)=f(b)+f(c)+f(e)$ であり、$G$ は群なので $f(e)$ を消去して $f(a)-f(b)=f(c)-f(d)$ を得る。よって $\bar f$ は矛盾なく定まる。$\bar f([(a,b)]+[(c,d)])=f(a+c)-f(b+d)=\bar f([(a,b)])+\bar f([(c,d)])$ なので $\bar f$ は群準同型であり、$\bar f(\gamma_M(a))=f(a)-f(0)=f(a)$ である。
一意性。$g\colon K(M)\to G$ が群準同型で $g\circ\gamma_M=f$ を満たすとする。任意の元は $[(a,b)]=\gamma_M(a)-\gamma_M(b)$ と書けるので $g([(a,b)])=f(a)-f(b)=\bar f([(a,b)])$ である。
$(K',\gamma')$ が同じ性質をもてば、互いに逆向きの準同型が得られ、その合成は恒等写像の一意性により恒等写像である。$\square$

短完全列 $0\to P'\to P\to P''\to0$ で $P''$ が射影的なら、$P\to P''$ の切断が存在して $P\cong P'\oplus P''$ である。よって $P',P''$ が有限生成射影的なら $P$ もそうであり（拡大で閉じている）、また $K_0(\mathcal{P}(R))$ を定める関係 $[P]=[P']+[P'']$ はすべて $[P'\oplus P'']=[P']+[P'']$ の形である。逆に $[P'\oplus P'']=[P']+[P'']$ の形の関係は分裂短完全列 $0\to P'\to P'\oplus P''\to P''\to0$ から来る。thm-grothendieck-group-universal の直後に述べたように $K(M_R)$ は生成元 $[P]$ と関係 $[P'\oplus P'']=[P']+[P'']$ で表示されるので、$K(M_R)$ と $K_0(\mathcal{P}(R))$ は同じ生成元と同じ関係で定義されており、両者は同型である。$\square$

1. 局所自由層 $E$ を固定する。$X$ の各点のまわりで $E\cong\mathcal{O}_X^{\oplus r}$ なので、$\mathcal{O}_X$ 加群の短完全列 $0\to F'\to F\to F''\to0$ に $E\otimes-$ を施したものは局所的には元の列を $r$ 個直和したものであり、完全である。よって $[F]\mapsto[E\otimes F]$ は関係 $[F]-[F']-[F'']$ を保ち、$K_0(X)\to K_0(X)$ を定める。$E$ についても同様なので、テンソル積は双線型写像 $K_0(X)\times K_0(X)\to K_0(X)$ を誘導する。結合律・可換律・単位元は $E\otimes(F\otimes G)\cong(E\otimes F)\otimes G$、$E\otimes F\cong F\otimes E$、$\mathcal{O}_X\otimes E\cong E$ による。
2. 同じ議論で、$E$ が局所自由なら $E\otimes-$ は連接層の短完全列を連接層の短完全列に送るので $G_0(X)$ 上の作用が定まる。$\mathcal{F}$ を固定して $E$ を動かすときの加法性も、局所的な分裂を用いて同様である。$c$ が作用と両立することは定義から明らかである。
3. 局所自由層の短完全列は局所的に分裂するので、$f^*$ を施しても完全である（分裂完全列の引き戻しは分裂完全列であり、完全性は局所的な性質である）。よって $f^*$ は $K_0(X)\to K_0(Y)$ を定め、$f^*(E\otimes F)\cong f^*E\otimes f^*F$、$f^*\mathcal{O}_X=\mathcal{O}_Y$ から環準同型である。$\square$

体上の加群はベクトル空間であり、すべて射影的なので $K_0(k)=G_0(k)$ である。有限次元ベクトル空間の短完全列 $0\to V'\to V\to V''\to0$ に対し $\dim V=\dim V'+\dim V''$ なので、$\dim_k$ は関係を保ち群準同型 $K_0(k)\to\mathbb{Z}$ を定める。$[k]\mapsto1$ なので全射である。単射性を示す。$V\cong k^{\oplus n}$ なら短完全列 $0\to k^{\oplus(n-1)}\to k^{\oplus n}\to k\to0$ と $n$ に関する帰納法（数学的帰納法）で $[V]=n[k]$ である。よって $K_0(k)$ の任意の元 $[V]-[W]$ は $(\dim V-\dim W)[k]$ に等しく、$\dim_k$ で $0$ に写るならそれ自身 $0$ である。$\square$

$K$ は $R$ の局所化なので $R$ 上平坦（平坦加群）であり、$-\otimes_RK$ は短完全列を保つ。よって $\operatorname{rk}$ は $G_0(R)\to\mathbb{Z}$ と $K_0(R)\to\mathbb{Z}$ を定め、$[R]\mapsto1$ なので全射である。
単射性。$M$ を有限生成 $R$ 加群とする。単項イデアル整域上の有限生成加群の構造定理（Lan02 III §7、単項イデアル整域）により
$$ M\cong R^{\oplus r}\oplus R/(a_1)\oplus\cdots\oplus R/(a_s),\qquad a_i\ne0 $$
である。$a\ne0$ に対し、$a$ 倍写像は $R$ が整域なので単射であり、短完全列 $0\to R\xrightarrow{a}R\to R/(a)\to0$ から $G_0(R)$ で $[R/(a)]=[R]-[R]=0$ である。したがって $[M]=r[R]$ であり、$r=\operatorname{rk}(M)$ である（$R/(a)\otimes K=0$ による）。よって $G_0(R)$ の任意の元 $[M]-[N]$ は $(\operatorname{rk}M-\operatorname{rk}N)[R]$ に等しく、$\operatorname{rk}$ は単射である。$K_0(R)$ については、有限生成射影加群は自由加群の直和因子なので捩れをもたず、構造定理により自由 $R^{\oplus r}$ であるから、$[P]=r[R]$ となって同様である。Cartan 写像は $[R]\mapsto[R]$ なので両方の $\operatorname{rk}$ と両立し、したがって同型である。$\square$

$K_0(R)$ の計算。$P$ を有限生成射影 $R$ 加群とする。$R$ は局所環なので、Nakayamaの補題により $P/\mathfrak{m}P$ の $k$ 基底の持ち上げは $P$ の生成系を与え、射影性から得られる全射 $R^{\oplus r}\to P$ の分裂と再び Nakayama の補題により $P\cong R^{\oplus r}$ である（Mat89 Theorem 2.5）。$r=\dim_k(P\otimes_Rk)$ は $P$ で決まり、$-\otimes_Rk$ は分裂完全列を保つので $r$ は $K_0(R)\to\mathbb{Z}$ を定める。prop-grothendieck-group-field の証明と同じ議論で $K_0(R)=\mathbb{Z}[R]$ であり、$[R]\mapsto1$ である。
$G_0(R)$ の計算。$R$ は $k$ 上 2 次元のベクトル空間なので、有限生成 $R$ 加群 $M$ は $k$ 上有限次元であり、有限の長さ（長さ(加群)）をもつ（組成列）。$R$ の単純加群は $R/\mathfrak{m}=k$ だけなので、$M$ の組成列の各商は $k$ に同型であり、組成列を短完全列に分けて $[M]=\ell(M)[k]$（$\ell$ は長さ）を得る。長さは短完全列に対して加法的なので $\ell\colon G_0(R)\to\mathbb{Z}$ は準同型であり、$[k]\mapsto1$、したがって $G_0(R)=\mathbb{Z}[k]$ である。
$R$ 自身は短完全列 $0\to\mathfrak{m}\to R\to k\to0$ をもち、$\mathfrak{m}=xR\cong R/(x)=k$（$x$ 倍写像の核が $(x)$ であることによる）なので $[R]=2[k]$ である。よって $c$ は $\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$、$1\mapsto2$ であり、単射だが全射でない。$[k]$ が有限な射影（＝自由）分解をもつなら、prop-grothendieck-group-euler により $[k]$ は $c$ の像に入るはずなので、$k$ は有限な自由分解をもたない。実際 $\cdots\to R\xrightarrow{x}R\xrightarrow{x}R\to k\to0$ は自由分解だが有限ではない。$\square$

$d_i\colon A_i\to A_{i+1}$ と書き、$0\le i\le n-1$ に対し $B_i:=\operatorname{im}d_i$ とおく。完全性から $d_0$ は単射なので $B_0\cong A_0$、$d_{n-1}$ は全射なので $B_{n-1}=A_n$ である。$1\le i\le n-1$ に対し、完全性 $\ker d_i=\operatorname{im}d_{i-1}=B_{i-1}$ により
$$ 0\to B_{i-1}\to A_i\to B_i\to0 $$
は短完全列である。よって $[A_i]=[B_{i-1}]+[B_i]$ であり、
$$ \sum_{i=0}^n(-1)^i[A_i]=[B_0]+\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^i\bigl([B_{i-1}]+[B_i]\bigr)+(-1)^n[B_{n-1}] $$
である。右辺で $[B_j]$（$0\le j\le n-1$）は $i=j$ の項から係数 $(-1)^j$、$i=j+1$ の項から係数 $(-1)^{j+1}$ で現れる（$j=0$ の $(-1)^0$ は先頭の $[B_0]$、$j=n-1$ の $(-1)^n$ は末尾の項と読む）ので、すべて打ち消し合って $0$ になる。
部分圏 $\mathcal{C}$ の場合は、$B_{n-1}=A_n$ が $\mathcal{C}$ に属し、$B_{i-1}$ は $\mathcal{C}$ の対象の間の全射 $A_i\to B_i$ の核なので、$i$ の大きい方から順に仮定を用いて $B_i$ がすべて $\mathcal{C}$ に属することがわかり、同じ計算が $K_0(\mathcal{C})$ で通用する。局所自由層の有限分解については、$\mathcal{F}$ を含めた列を $\mathrm{Coh}(X)$ の完全列とみて $G_0(X)$ で交代和を取ればよい。$\square$

Serre の有限性定理（Har77 III 5.2）により各 $H^i(X,\mathcal{F})$ は有限次元であり、Grothendieck の消滅定理（Har77 III 2.7）により $i>\dim X$ で $H^i(X,\mathcal{F})=0$ なので $\chi(\mathcal{F})$ は有限和である。連接層の短完全列 $0\to\mathcal{F}'\to\mathcal{F}\to\mathcal{F}''\to0$ は層コホモロジーの長完全列
$$ 0\to H^0(X,\mathcal{F}')\to H^0(X,\mathcal{F})\to H^0(X,\mathcal{F}'')\to H^1(X,\mathcal{F}')\to\cdots\to H^{d}(X,\mathcal{F}'')\to0 $$
（$d=\dim X$）を与える。これは有限次元 $k$ ベクトル空間の有限完全列なので、prop-grothendieck-group-euler を $K_0(k)$ に適用し、prop-grothendieck-group-field の同型 $\dim_k$ で $\mathbb{Z}$ に送ると $\chi(\mathcal{F}')-\chi(\mathcal{F})+\chi(\mathcal{F}'')=0$ を得る。よって $\chi$ は $G_0(X)$ の関係を保つ。$\square$