共終数

1. $\alpha$ 自身は $\alpha$ において共終であり（$\beta<\alpha$ に対し $\gamma=\beta$ をとる）、その順序型は $\alpha$ である。
2. $X\subset\alpha$ が共終で最大元 $x$ を持つとすると、$x<\alpha$ かつ $\alpha$ が極限順序数なので $x+1<\alpha$（順序数）であり、$x+1\leq\gamma$ となる $\gamma\in X$ が存在するはずだが、$\gamma\leq x< x+1$ なので矛盾する。よって $X$ は最大元を持たない。$X$ は空でない（$\alpha\neq0$ なので $0\leq\gamma$ となる $\gamma\in X$ がある）ので、その順序型は $0$ でなく、また最大元を持つ整列集合と順序同型でないので後続順序数でもない。よって $\operatorname{cf}(\alpha)=\operatorname{type}(X)$（$X$ を順序型最小の共終部分集合とする）は極限順序数であり、最小の極限順序数 $\omega$ 以上である。
3. 無限基数 $\kappa$ が $\kappa=\gamma+1$ と書けたとすると、$\gamma$ は無限順序数（$\gamma<\omega$ なら $\kappa<\omega$）であり、$\gamma\mapsto0$、$n\mapsto n+1$（$n<\omega$）、それ以外の $\xi\in\gamma$ は $\xi\mapsto\xi$ とすると $\gamma+1$ から $\gamma$ への全単射が得られ、$\kappa$ が基数であることに反する。$\kappa\neq0$ なので $\kappa$ は極限順序数であり、あとは (1)・(2) による。$\square$

$\xi<\beta$ に関する超限再帰で $g(\xi)$ を定める。$\xi$ より前の値が定まっているとき $S_\xi:=\sup\{g(\eta)+1\mid\eta<\xi\}$（$\xi=0$ なら $S_0=0$）とおく。各 $g(\eta)<\alpha$ なので $g(\eta)+1\leq\alpha$、よって $S_\xi\leq\alpha$ である。$S_\xi<\alpha$ なら $g(\xi):=\max(f(\xi),S_\xi)$ とおく（$f(\xi)<\alpha$ なので $g(\xi)<\alpha$）。$S_\xi=\alpha$ ならそこで構成を止め、$\beta':=\xi$ とする。構成が止まらなければ $\beta':=\beta$ とする。
$g\colon\beta'\to\alpha$ は狭義単調増加である。実際 $\eta<\xi<\beta'$ なら $g(\xi)\geq S_\xi\geq g(\eta)+1>g(\eta)$ である。$g$ は共終写像である。$\beta'<\beta$ の場合、$\sup\{g(\eta)+1\mid\eta<\beta'\}=\alpha$ なので、任意の $\gamma<\alpha$ に対して $\gamma< g(\eta)+1$、すなわち $\gamma\leq g(\eta)$ となる $\eta<\beta'$ がある。$\beta'=\beta$ の場合、すべての $\xi<\beta$ について $g(\xi)\geq f(\xi)$ なので、$f$ の像が共終であることから $g$ の像も共終である。
最後に、$g$ は $\beta'$ から像 $g[\beta']$ への順序同型写像なので $g[\beta']$ は順序型 $\beta'$ の共終な部分集合であり、$\operatorname{cf}(\alpha)\leq\beta'\leq\beta$ である。$\square$

$\beta_0$ を共終写像 $\beta_0\to\alpha$ が存在する最小の順序数、$\beta_1$ を狭義単調増加な共終写像が存在する最小の順序数とする。狭義単調増加な共終写像は共終写像なので $\beta_0\leq\beta_1$ である。$X$ を順序型 $\operatorname{cf}(\alpha)$ の共終部分集合とし、$h\colon\operatorname{cf}(\alpha)\to X$ を順序同型写像とすると、$h$ は狭義単調増加な共終写像なので $\beta_1\leq\operatorname{cf}(\alpha)$ である。残る $\operatorname{cf}(\alpha)\leq\beta_0$ を示す。$\alpha=0$ なら $\operatorname{cf}(0)=0\leq\beta_0$ である。$\alpha=\gamma+1$ なら共終写像の像は $\gamma$ を含むので $\beta_0\geq1=\operatorname{cf}(\alpha)$ である。$\alpha$ が極限順序数なら、共終写像 $f\colon\beta_0\to\alpha$ に lem-cofinality-increasing を適用して $\operatorname{cf}(\alpha)\leq\beta_0$ を得る。$\square$

$\beta:=\operatorname{cf}(\alpha)$ とおき、$X\subset\alpha$ を順序型 $\beta$ の共終部分集合、$h\colon\beta\to X$ を順序同型写像とする。
(1) $\operatorname{cf}(\beta)\leq\beta$ は prop-cofinality-basic による。$Y\subset\beta$ を順序型 $\operatorname{cf}(\beta)$ の共終部分集合、$k\colon\operatorname{cf}(\beta)\to Y$ を順序同型写像とする。合成 $h\circ k\colon\operatorname{cf}(\beta)\to\alpha$ は狭義単調増加であり、その像は共終である。実際 $\gamma<\alpha$ に対し、$X$ の共終性から $\gamma\leq h(\xi)$ となる $\xi<\beta$ があり、$Y$ の共終性から $\xi\leq k(\eta)$ となる $\eta<\operatorname{cf}(\beta)$ があり、$h$ の単調性から $\gamma\leq h(\xi)\leq h(k(\eta))$ である。よって prop-cofinality-map から $\beta=\operatorname{cf}(\alpha)\leq\operatorname{cf}(\beta)$ であり、あわせて $\operatorname{cf}(\beta)=\beta$ である。
(2) $\beta$ が基数でないとすると、$\gamma<\beta$ と全単射 $e\colon\gamma\to\beta$ が存在する。合成 $h\circ e\colon\gamma\to\alpha$ の像は $X$ なので共終であり、prop-cofinality-map から $\beta=\operatorname{cf}(\alpha)\leq\gamma<\beta$ となって矛盾する。
(3) $\alpha$ が極限順序数なら prop-cofinality-basic により $\beta\geq\omega$ なので、(1)・(2) から $\beta$ は $\operatorname{cf}(\beta)=\beta$ を満たす無限基数、すなわち正則基数である。逆に $\kappa$ が正則基数なら $\kappa=\operatorname{cf}(\kappa)$ である。$\square$

1. 定義から $\operatorname{cf}(\alpha)\leq\operatorname{type}(X)$、すなわち $\operatorname{cf}(\alpha)\subset\operatorname{type}(X)$ であり、thm-cofinality-regular により $\operatorname{cf}(\alpha)$ は基数なので $\operatorname{cf}(\alpha)=|\operatorname{cf}(\alpha)|\leq|\operatorname{type}(X)|=|X|$ である（基数）。$X=\alpha$ とすれば後半を得る。
2. $X$ が有界でなければ共終なので、(1) から $\operatorname{cf}(\alpha)\leq|X|$ となって仮定に反する。
3. $\kappa$ が正則なら (2) から濃度 $\kappa$ 未満の部分集合は有界である。逆に $\kappa$ が特異なら、順序型 $\operatorname{cf}(\kappa)<\kappa$ の共終部分集合 $X$ は $|X|\leq\operatorname{cf}(\kappa)<\kappa$ を満たし有界でない。$\square$

$\aleph_\lambda=\sup\{\aleph_\xi\mid\xi<\lambda\}$ であり、$\xi\mapsto\aleph_\xi$ は狭義単調増加である（基数）。
$\operatorname{cf}(\aleph_\lambda)\leq\operatorname{cf}(\lambda)$：$k\colon\operatorname{cf}(\lambda)\to\lambda$ を狭義単調増加な共終写像とする（prop-cofinality-map）。写像 $\eta\mapsto\aleph_{k(\eta)}$ は $\operatorname{cf}(\lambda)$ から $\aleph_\lambda$ への共終写像である。実際 $\gamma<\aleph_\lambda=\sup_\xi\aleph_\xi$ に対し $\gamma<\aleph_\xi$ となる $\xi<\lambda$ があり、$\xi\leq k(\eta)$ となる $\eta$ をとれば $\gamma<\aleph_\xi\leq\aleph_{k(\eta)}$ である。よって prop-cofinality-map から $\operatorname{cf}(\aleph_\lambda)\leq\operatorname{cf}(\lambda)$ である。
$\operatorname{cf}(\lambda)\leq\operatorname{cf}(\aleph_\lambda)$：$h\colon\operatorname{cf}(\aleph_\lambda)\to\aleph_\lambda$ を共終写像とする。$y<\aleph_\lambda$ に対し $y<\aleph_\xi$ となる最小の $\xi<\lambda$ を $\varphi(y)$ とおく。写像 $\varphi\circ h\colon\operatorname{cf}(\aleph_\lambda)\to\lambda$ は共終写像である。実際 $\xi<\lambda$ に対し、$h$ の共終性から $\aleph_\xi\leq h(\eta)$ となる $\eta$ があり、$h(\eta)<\aleph_{\varphi(h(\eta))}$ とあわせて $\aleph_\xi<\aleph_{\varphi(h(\eta))}$、単調性から $\xi<\varphi(h(\eta))$ である。よって $\operatorname{cf}(\lambda)\leq\operatorname{cf}(\aleph_\lambda)$ である。
$\operatorname{cf}(\aleph_\omega)=\operatorname{cf}(\omega)=\omega$ は ex-cofinality-small による。最後の主張は正則性の定義による。$\square$

1. $h\colon\operatorname{cf}(\kappa)\to\kappa$ を狭義単調増加な共終写像とし、$S_\xi:=h(\xi)$（順序数 $h(\xi)$ を $\kappa$ の部分集合とみたもの）とおく。$h(\xi)<\kappa$ かつ $\kappa$ が基数なので $|h(\xi)|<\kappa$ である（$|h(\xi)|\leq h(\xi)<\kappa$ であり、$|h(\xi)|=\kappa$ なら $\kappa$ が自分より小さい順序数と対等になる）。$\kappa$ は極限順序数（prop-cofinality-basic）なので $\bigcup_\xi h(\xi)=\sup_\xi h(\xi)=\kappa$ である。
2. 各 $\xi<\lambda$ について $\nu_\xi:=|S_\xi|<\kappa$ とおく。$\{\nu_\xi\mid\xi<\lambda\}$ は $\kappa$ の部分集合で濃度は $\lambda<\operatorname{cf}(\kappa)$ 以下なので、cor-cofinality-cardinality により有界であり、$\nu:=\sup_\xi\nu_\xi<\kappa$ である。選択公理により各 $\xi$ について単射 $e_\xi\colon S_\xi\to\nu$ を選び、$x\in\bigcup_\xi S_\xi$ に対して $\xi_x:=\min\{\xi\mid x\in S_\xi\}$ とおくと、$x\mapsto(\xi_x,e_{\xi_x}(x))$ は $\bigcup_\xi S_\xi$ から $\lambda\times\nu$ への単射である。$\nu$ は基数の集合の上限なので基数であり（基数）、よって $\left|\bigcup_\xi S_\xi\right|\leq|\lambda\times\nu|=\lambda\cdot\nu$ である。$\lambda,\nu$ がともに有限なら $\lambda\cdot\nu$ は有限で $\kappa$ 未満、そうでなければ $\lambda\cdot\nu=\max(\lambda,\nu)<\kappa$ である（$\nu=0$ のときは和集合が空。基数の無限基数の和と積の命題）。
   最後の主張：$\kappa$ が正則なら (2) で $\lambda<\kappa=\operatorname{cf}(\kappa)$ がすべて許される。$\kappa$ が特異なら (1) が $\lambda=\operatorname{cf}(\kappa)<\kappa$ 個の濃度 $\kappa$ 未満の集合で $\kappa$ を覆う例を与える。$\square$

$\lambda:=\operatorname{cf}(\kappa^{+})<\kappa^{+}$ と仮定すると、$\lambda$ は基数なので $\lambda\leq\kappa$ である。prop-cofinality-union の 1 により $\kappa^{+}=\bigcup_{\xi<\lambda}S_\xi$、各 $|S_\xi|<\kappa^{+}$ すなわち $|S_\xi|\leq\kappa$ と書ける。prop-cofinality-union の証明と同じく選択公理で単射 $S_\xi\to\kappa$ を選べば $\kappa^{+}=\left|\bigcup_\xi S_\xi\right|\leq\lambda\cdot\kappa\leq\kappa\cdot\kappa=\kappa$（基数の $\kappa\cdot\kappa=\kappa$）となり、$\kappa<\kappa^{+}$ に反する。よって $\operatorname{cf}(\kappa^{+})=\kappa^{+}$ である。$\omega_1=\omega^{+}$ なので $\omega_1$ は正則であり、可算順序数の可算集合 $X\subset\omega_1$ は $|X|<\omega_1=\operatorname{cf}(\omega_1)$ を満たすので cor-cofinality-cardinality により有界、すなわち $\sup X<\omega_1$ である。$\square$