非輪状組み立て補題

次数 $n$ を固定し、$Dc=0$ を満たす $c$ が $D$ の像に入ることを示す。
1． $c\in\operatorname{Tot}^{\oplus}(C)^n$ とする。直和なので $c$ の非零成分は有限個である。$c\ne0$ のとき、非零成分 $c^{n-q,q}$ の $q$ の最大値を $m(c)$ とおく。
$m=m(c)$ について、$Dc=0$ の $(n-m,m+1)$ 成分は
$$ d_h\,c^{n-m-1,m+1}+d_v\,c^{n-m,m}=0 $$
であり、第 1 項は $m$ の最大性から $0$ である。よって $d_v\,c^{n-m,m}=0$ で、第 $n-m$ 列は次数 $m$ で完全なので、$d_vy=c^{n-m,m}$ となる $y\in C^{n-m,m-1}$ がある。$y$ を $\operatorname{Tot}^{\oplus}(C)^{n-1}$ の元とみると、$Dy$ の成分は $(n-m,m)$ の $d_vy$ と $(n-m+1,m-1)$ の $d_hy$ だけである。したがって $c':=c-Dy$ は $Dc'=0$ を満たし、$q\ge m$ の成分がすべて $0$ になる。すなわち $c'=0$ であるか、$m(c')< m(c)$ である。
$\operatorname{Tot}^{\oplus}(C)^n$ の元の非零成分はすべて $q\ge b(n)$ の位置にあるので、この操作を繰り返すと $m$ は狭義に減り続け、高々 $m(c)-b(n)+1$ 回で $0$ に達する。得られた $y_1,\dots,y_k$ について $c=D(y_1+\cdots+y_k)$ である。
2． $c\in\operatorname{Tot}^{\Pi}(C)^n$ とする。$Db=c$ となる $b\in\operatorname{Tot}^{\Pi}(C)^{n-1}$ を、成分 $b^{n-q,q-1}$（第 $n-1$ 対角線の位置）を $q$ の大きい方から順に決めて作る。満たすべき式は、すべての $q$ について
$$ (E_q)\qquad d_h\,b^{n-q-1,q}+d_v\,b^{n-q,q-1}=c^{n-q,q} $$
である。第 $n$ 対角線の上界を $B:=b(n)$ とし、$q>B$ では $b^{n-q,q-1}:=0$ とおく。このとき $q>B$ の $(E_q)$ は両辺とも $0$ である（$C^{n-q,q}=0$ のため）。
$q\le B$ とし、$(E_{q+1})$ が成り立つように $b^{n-q-1,q}$ まで決まったとする。$v:=c^{n-q,q}-d_h\,b^{n-q-1,q}$ とおくと、反可換性と $(E_{q+1})$、および $d_h^2=0$ から
$$ d_vv=d_v\,c^{n-q,q}+d_hd_v\,b^{n-q-1,q}=d_v\,c^{n-q,q}+d_h\,c^{n-q-1,q+1} $$
であり、右辺は $Dc$ の $(n-q,q+1)$ 成分なので $0$ である。第 $n-q$ 列は次数 $q$ で完全なので、$d_v\,b^{n-q,q-1}=v$ となる $b^{n-q,q-1}$ がとれ、$(E_q)$ が成り立つ。こうして（可算回の選択で）すべての成分が定まり、直積なので $b=(b^{n-q,q-1})_q$ は $\operatorname{Tot}^{\Pi}(C)^{n-1}$ の元で、$Db=c$ である。$\square$

転置 ${}^{t}C$（$({}^{t}C)^{p,q}=C^{q,p}$、横と縦の微分を入れ替えたもの）は二重複体で、その列は $C$ の行であり、縦の次数は $C$ の横の次数である。$\operatorname{Tot}^{\oplus}({}^{t}C)$、$\operatorname{Tot}^{\Pi}({}^{t}C)$ は $C$ のものと同じ複体なので、thm-aal-columns を ${}^{t}C$ に当てればよい。$\square$

複体の射 $f\colon A^\bullet\to B^\bullet$ の写像錐を $\operatorname{Cone}(f)^n=B^n\oplus A^{n+1}$、微分 $(y,x)\mapsto(dy+f(x),\,-dx)$ とすると、$f$ が擬同型であることと $\operatorname{Cone}(f)$ が非輪状であることは同値である（擬同型 の命題「錐判定」）。$C$ に 1 行を付け足した二重複体 $\tilde C$ の全複体が錐になることを示し、thm-aal-columns を $\tilde C$ に当てる。
1． 反可換性から、$d_vz=0$ なら $d_v(d_hz)=-d_h(d_vz)=0$ なので $d_h$ は $Z^\bullet$ を保ち、$(Z^\bullet,d_h)$ は複体である。$z\in Z^n$ について $D\iota(z)=d_hz+d_vz=d_hz=\iota(d_hz)$ なので $\iota$ は複体の射である。$\tilde C$ を、$q\ge0$ では $C$ と同じ、第 $-1$ 行を $\tilde C^{p,-1}:=Z^p$、その横の微分を $-d_h$、縦の微分 $Z^p\to C^{p,0}$ を包含とし、ほかを $0$ とする。$z\in Z^p$ について $d_h(z)+(-d_hz)=0$ なので $\tilde C$ は二重複体であり、列 $0\to Z^p\to C^{p,0}\to C^{p,1}\to\cdots$ は $Z^p$ の定義と仮定から完全である。$\tilde C$ は $q\ge-1$ にあるので、thm-aal-columns の 1 により $\operatorname{Tot}^{\oplus}(\tilde C)$ は非輪状である。一方 $\operatorname{Tot}^{\oplus}(\tilde C)^n=\operatorname{Tot}^{\oplus}(C)^n\oplus Z^{n+1}$ で、微分は
$$ (c,z)\longmapsto\bigl(Dc+\iota(z),\ -d_hz\bigr) $$
であり、これは $\operatorname{Cone}(\iota)$ そのものである。よって $\iota$ は擬同型である。
2． $d_h(d_vy)=-d_v(d_hy)$ から $d_h$ は $\operatorname{im}d_v$ を保つので、$Q^\bullet$ に $\bar d_h$ が誘導される。$\pi(Dc)$ は $(Dc)^{n+1,0}=d_hc^{n,0}+d_vc^{n+1,-1}$ の類で、第 2 項は $\operatorname{im}d_v$ に属するので $\pi(Dc)=\bar d_h\pi(c)$ である。$\tilde C$ を、$q\le0$ では $C$ と同じ、第 $1$ 行を $\tilde C^{p,1}:=Q^p$、その横の微分を $-\bar d_h$、縦の微分 $C^{p,0}\to Q^p$ を射影とするものとする。反可換性は $\pi d_h=\bar d_h\pi$ から従い、列 $\cdots\to C^{p,-1}\to C^{p,0}\to Q^p\to0$ は完全である。$\tilde C$ は $q\le1$ にあるので、thm-aal-columns の 2 により $\operatorname{Tot}^{\Pi}(\tilde C)$ は非輪状である。$\operatorname{Tot}^{\Pi}(\tilde C)^n=\operatorname{Tot}^{\Pi}(C)^n\oplus Q^{n-1}$ で微分は $\tilde D(c,y)=(Dc,\ \pi(c)-\bar d_hy)$ である。次数を 1 つ下げる同型 $\varphi(c,y):=(-y,c)\in Q^{n-1}\oplus\operatorname{Tot}^{\Pi}(C)^n=\operatorname{Cone}(\pi)^{n-1}$ について、錐の微分 $d$ との間に $\varphi\circ\tilde D=-d\circ\varphi$ が成り立つ（両辺とも $(\bar d_hy-\pi(c),\ Dc)$）。次数をずらしても微分の符号を変えても非輪状性は変わらないので、$\operatorname{Cone}(\pi)$ は非輪状であり、$\pi$ は擬同型である。$\square$