Hausdorff–Youngの不等式

$g+h=g_1+h_1$（$g,g_1\in L^1$、$h,h_1\in L^2$）とすると、$u:=g-g_1=h_1-h$ は $L^1\cap L^2$ に属する。$L^1\cap L^2$ の上では $\mathcal Fu=\widehat u$ である（Plancherelの定理 の定理「Plancherelの定理（$\mathbb{R}^n$）」の 2）。したがって $\widehat g-\widehat{g_1}=\widehat u=\mathcal Fu=\mathcal Fh_1-\mathcal Fh$ であり、$\widehat g+\mathcal Fh=\widehat{g_1}+\mathcal Fh_1$ となる。線形性は定義から明らかである。$1< p<2$ のとき $f\in L^p$ は $f1_{\{|f|>1\}}\in L^1$ と $f1_{\{|f|\le1\}}\in L^2$ の和である（Riesz–Thorinの補間定理 の補題「中間の指数の関数の分解」で $r_0=1$、$r_1=2$ としたもの）。$\square$

係数が定まること。 $\varphi_k$ は $L^2\cap L^\infty$ に属する。$p=1$ なら $|f\overline{\varphi_k}|\le M|f|$ は可積分であり、$p=2$ なら Hölderの不等式 から $f\overline{\varphi_k}$ は可積分である。$1< p<2$ なら $f=u+v$（$u\in L^1$、$v\in L^2$）と分けられる（Riesz–Thorinの補間定理 の補題「中間の指数の関数の分解」）ので、$f\overline{\varphi_k}=u\overline{\varphi_k}+v\overline{\varphi_k}$ は可積分である。よって $T f:=(c_k(f))_{k\in I}$ は $L^1+L^2$ から $I$ 上の関数への線形写像である。
端点の評価。 $I$ に数え上げ測度を入れる。これは σ-有限である。$f\in L^1$ なら $|c_k(f)|\le M\|f\|_1$ なので $\|Tf\|_\infty\le M\|f\|_1$ である。$f\in L^2$ なら $c_k(f)=\langle f,\varphi_k\rangle$ であり、Bessel の不等式（Hilbert空間 の命題「Besselの不等式と正規直交系の級数」の 1。$I$ に番号を付けて適用する）から $\|Tf\|_2\le\|f\|_2$ である。
補間。 $p=1$、$p=2$ はこの二つの評価そのものである（$M^{2/p-1}$ は $M$、$1$ になる）。$1< p<2$ のとき $\theta:=2/p'\in(0,1)$ とおくと
$$ \frac1p=\frac{1-\theta}1+\frac\theta2,\qquad\frac1{p'}=\frac{1-\theta}\infty+\frac\theta2 $$
である。Riesz–Thorinの補間定理 の定理「Riesz–Thorinの補間定理」を $(p_0,q_0)=(1,\infty)$、$(p_1,q_1)=(2,2)$、$M_0=M$、$M_1=1$ で使うと、$\|Tf\|_{p'}\le M^{1-\theta}\|f\|_p=M^{2/p-1}\|f\|_p$ を得る。$\square$

1. $X=[-\pi,\pi)$、$\mu=dx/2\pi$、$I=\mathbb Z$、$\varphi_n(x)=e^{inx}$ とすると、$(\varphi_n)$ は $L^2(\mu)$ の正規直交系であり（Fourier級数 の命題「三角関数系の直交性」）、$|\varphi_n|=1$ である。$c_n(f)=\hat f(n)$ なので、thm-hy-orthonormal を $M=1$ で使えばよい。
2. prop-hy-l1-plus-l2 の $\mathcal F$ を $T$ とする。$f\in L^1$ なら $\|\mathcal Ff\|_\infty\le\|f\|_1$（Fourier変換 の命題「有界性・連続性・無限遠での減衰」）、$f\in L^2$ なら $\|\mathcal Ff\|_2=\|f\|_2$ である。Lebesgue 測度は σ-有限なので、1 の証明と同じ $\theta=2/p'$ で Riesz–Thorinの補間定理 を $M_0=M_1=1$ として使えばよい。$\square$

$\ell^p\subset\ell^2$ である（Lp空間 の命題「数列の空間での包含」）。$(e^{inx})$ は $L^2(\mathbb T)$ の正規直交系なので、Hilbert空間 の命題「Besselの不等式と正規直交系の級数」の 2 により、$c\in\ell^2$ に対して級数は $L^2$ で $Sc:=\sum_nc_ne^{inx}$ に収束し（和の順序は $\mathbb Z$ に番号を付けて決める）、$\|Sc\|_2=\|c\|_2$、$\widehat{Sc}(n)=c_n$ である。$S$ は $\ell^2=\ell^1+\ell^2$ 上の線形写像である。
$c\in\ell^1$ なら級数は一様にも収束し、その和 $G$ は $|G|\le\|c\|_1$ を満たす。$L^2$ の極限と一様収束の極限は一致する（一様収束なら $L^2$ でも収束する）ので $Sc=G$、すなわち $\|Sc\|_\infty\le\|c\|_1$ である。$\mathbb Z$ の数え上げ測度を始域、$dx/2\pi$ を終域として、Riesz–Thorinの補間定理 を $(p_0,q_0)=(1,\infty)$、$(p_1,q_1)=(2,2)$、$M_0=M_1=1$、$\theta=2/p'$ で使えばよい。$\square$

$\widehat g=g$ である（Fourier変換 の節「Gauss関数と反転公式」）。Gauss積分 の定理「Gauss積分の値」を各座標で使うと $\int_{\mathbb R^n}e^{-\pi r|x|^2}dx=r^{-n/2}$（$r>0$）なので、$\|g\|_r=r^{-n/(2r)}$ である。よって比は $(p^{1/p}/p'^{1/p'})^{n/2}=B_p^{\,n}$ である。
$a:=1/p\in(\frac12,1)$ とおくと $1/p'=1-a$ で、$\kappa(t):=-t\log t$（$\kappa(0):=0$）を使えば $\log B_p^2=\kappa(a)-\kappa(1-a)$ である。$\psi(t):=\kappa(t)-\kappa(1-t)$ は $[\frac12,1]$ で連続、$\psi(\frac12)=\psi(1)=0$ であり、$(\frac12,1)$ で $\psi''(t)=-\frac1t+\frac1{1-t}>0$ だから狭義凸である。狭義凸関数は両端を結ぶ線分より真に下にあるので $\psi(a)<0$、すなわち $B_p<1$ である。$\square$

$g(x)=e^{-\pi|x|^2}$ と $\lambda>0$ について $f_\lambda(x):=g(\lambda x)$ とおく。変数変換により $\|f_\lambda\|_p=\lambda^{-n/p}\|g\|_p$、$\widehat{f_\lambda}(\xi)=\lambda^{-n}\widehat g(\xi/\lambda)$、$\|\widehat{f_\lambda}\|_q=\lambda^{-n+n/q}\|\widehat g\|_q$ である（$p,q=\infty$ でも $1/\infty=0$ として同じ式が成り立つ）。仮定から、すべての $\lambda>0$ で
$$ \lambda^{\,n(1/p+1/q-1)}\le C\,\frac{\|g\|_p}{\|\widehat g\|_q} $$
である。右辺は $\lambda$ によらない正の数なので、$\lambda\to0$ と $\lambda\to\infty$ の両方で左辺が有界であるためには指数が $0$、すなわち $1/p+1/q=1$ でなければならない。$\square$

Fejér 核 $F_N(x)=\sum_{|n|\le N}\bigl(1-\frac{|n|}{N+1}\bigr)e^{inx}$ を使う。Fejérの定理 の補題「Fejér 核の性質」により $0\le F_N\le N+1$、$\frac1{2\pi}\int F_N=1$ なので
$$ \|F_N\|_p^p=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}F_N^{\,p-1}F_N\,dx\le(N+1)^{p-1},\qquad\|F_N\|_p\le(N+1)^{1-1/p}. $$
一方 $\hat F_N(n)=1-\frac{|n|}{N+1}$ で、$0\le n\le\frac{N+1}2$ の $n$（少なくとも $\frac{N+1}2$ 個ある）ではこれが $\frac12$ 以上なので、$\|\hat F_N\|_q\ge\frac12\bigl(\frac{N+1}2\bigr)^{1/q}$ である。仮定から、すべての $N$ で $\frac12\bigl(\frac{N+1}2\bigr)^{1/q}\le C(N+1)^{1-1/p}$ であり、$N\to\infty$ として $1/q\le1-1/p=1/p'$、すなわち $q\ge p'$ を得る。$\square$

要点：係数がすべて $\pm1$ の $N=2^k$ 項の三角多項式 $P_k$ で、$\sup|P_k|\le\sqrt{2N}$ となるものを作る。すると $\|\hat P_k\|_q=N^{1/q}$ が $\sqrt{2N}$ より速く増える。

すべての連続関数の係数が $\ell^q$ に入るとすると、$\Phi(f):=(\hat f(n))_n$ は Banach 空間 $C(\mathbb T)$（上限ノルム）から Banach 空間 $\ell^q$ への線形写像である。$f_k\to f$（一様）かつ $\Phi(f_k)\to c$（$\ell^q$）なら、各 $n$ で $|\hat f_k(n)-\hat f(n)|\le\sup|f_k-f|\to0$ かつ $\hat f_k(n)\to c_n$ なので $c=\Phi(f)$ であり、$\Phi$ のグラフは閉じている。閉グラフ定理 の定理「閉グラフ定理」から $\Phi$ は有界、すなわち $\|\hat f\|_q\le C\sup|f|$ となり、prop-hy-rudin-shapiro に反する。$\square$

要点：$t\in\mathbb R$ について $f_t(x):=e^{-\pi(1+it)|x|^2}$ とおく。$|f_t|=e^{-\pi|x|^2}$ なので $\|f_t\|_p$ は $t$ によらないが、$|\widehat{f_t}|$ は幅 $\sqrt{1+t^2}$ に広がった高さ $(1+t^2)^{-n/4}$ の Gauss 関数になり、$q<2$ では $\|\widehat{f_t}\|_q\to\infty$（$t\to\infty$）となる。