既約多項式

体 $K$ 上の 1 次式 $ax+b$（$a\neq0$）は既約である。$ax+b=gh$ なら $\deg g+\deg h=1$ なので、$g,h$ の一方の次数は $0$ である。1 次式はただ 1 つの根 $-b/a$ をもつ。$K$ が代数閉体なら、次数 $2$ 以上の多項式は根 $a$ をもち $(x-a)$ で割り切れるので可約であり、既約多項式は 1 次式に限る。$\mathbb{C}$ はその例である（代数閉体 の記事の定理「複素数体の代数閉性（代数学の基本定理）」）。

$f=x^2+1$ を考える。

1. $f$ は $\mathbb{R}$ 上既約である。実数 $a$ について $a^2+1\ge1>0$ なので $f$ は $\mathbb{R}$ に根をもたず、2 次式なので prop-irreducible-polynomial-low-degree により既約である。
2. $f$ は $\mathbb{C}$ 上可約である。$\mathbb{C}[x]$ において $x^2+1=(x-i)(x+i)$ である。
3. 素数 $p$ に対し、$f$ が $\mathbb{F}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 上既約であることと $p\equiv3\pmod 4$ であることは同値である。$p=2$ では $x^2+1=(x+1)^2$ なので可約である。$p$ が奇素数のとき、$f$ が $\mathbb{F}_p$ に根をもつこと、すなわち $\mathbb{F}_p$ に $-1$ の平方根があることは $p\equiv1\pmod4$ と同値である（Gauss整数 の記事の補題「法 $p$ での $-1$ の平方根」）。2 次式なので prop-irreducible-polynomial-low-degree によりここから主張が従う。
   3 は、$p$ が Gauss整数環 $\mathbb{Z}[i]\cong\mathbb{Z}[x]/(x^2+1)$ でさらに分解するかどうか（$p\equiv1\pmod4$ なら分解し、$p\equiv3\pmod4$ なら分解しない）と表裏の関係にある。

1. $x^2-2$ は $\mathbb{Q}$ 上既約だが、$\mathbb{R}$ 上は $(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)$ と可約である。$\mathbb{Q}$ 上の既約性は、$\sqrt2$ が無理数であること、すなわち $x^2-2$ が $\mathbb{Q}$ に根をもたないことと prop-irreducible-polynomial-low-degree による。
2. $x^3-2$ は $\mathbb{Q}$ 上既約である。prop-irreducible-polynomial-rational-root により、有理数の根があるとすれば $\pm1,\pm2$ のいずれかだが、値は $-1,-3,6,-10$ でどれも $0$ でない。3 次式なので prop-irreducible-polynomial-low-degree により既約である。
3. 正の整数 $n$ について $x^n-2$ は $\mathbb{Q}$ 上既約である（ex-irreducible-polynomial-eisenstein-examples）。したがって $\mathbb{Q}$ 上には任意の次数の既約多項式がある。

2 元体 $\mathbb{F}_2=\{0,1\}$ 上のモニック（最高次の係数が $1$）な既約多項式を次数 $4$ まで挙げる。

• 次数 $1$：$x$、$x+1$。
• 次数 $2$：$x^2+x+1$ のみ。モニックな 2 次式は $x^2,\ x^2+1=(x+1)^2,\ x^2+x=x(x+1),\ x^2+x+1$ の 4 つで、最後のものだけが $0,1$ のどちらも根にしない（値はともに $1$）。
• 次数 $3$：$x^3+x+1$、$x^3+x^2+1$。モニックな 3 次式 $8$ 個のうち、根をもたない（定数項が $1$ で、係数の和が奇数の）ものはこの 2 つである。
• 次数 $4$：$x^4+x+1$、$x^4+x^3+1$、$x^4+x^3+x^2+x+1$。根をもたないモニックな 4 次式は定数項が $1$ で $x^3,x^2,x$ の係数の和が奇数のもので、$x^4+x+1$、$x^4+x^2+1$、$x^4+x^3+1$、$x^4+x^3+x^2+x+1$ の 4 つある。このうち可約なものは 2 次の既約多項式の積 $(x^2+x+1)^2=x^4+x^2+1$ だけである。残りの 3 つを $x^2+x+1$ で割ると余りはそれぞれ $1$、$x$、$x+1$ で $0$ でないので、既約である。
  個数 $2,1,2,3$ は、有限体上の既約多項式の個数の公式（thm-irreducible-polynomial-finite-count）の値と一致する。

1. $f=(x^2+1)^2=x^4+2x^2+1$ は $\mathbb{Q}$ 上（$\mathbb{R}$ 上でも）根をもたない（実数 $a$ で $f(a)\ge1$）が、2 次式の積なので可約である。
2. $g=x^4+4$ も実数の根をもたない（$g(a)\ge4$）が、
   $$ x^4+4=(x^2+2)^2-(2x)^2=(x^2+2x+2)(x^2-2x+2) $$
   と $\mathbb{Q}$ 上可約である。$f$ と違い、$g$ は多項式の平方ではない。
3. $\mathbb{F}_2$ 上の $x^4+x^2+1=(x^2+x+1)^2$ も、根をもたない可約な 4 次式である（ex-irreducible-polynomial-f2）。
   これらは「次数 $4$」「$K$ に根をもたない」を満たすが「既約」を満たさず、含意「根をもたない多項式は既約である」を破る。この含意は次数が $2$ と $3$ のときに限って成り立つ（prop-irreducible-polynomial-low-degree）。次数 $4$ 以上では、1 次の因子がなくても 2 次以上の因子に分かれうるからである。

$f=2x+6\in\mathbb{Z}[x]$ は 1 次式なので $\mathbb{Q}$ 上既約であるが、$f=2\cdot(x+3)$ で $2$ も $x+3$ も $\mathbb{Z}[x]$ の単元でない（$\mathbb{Z}[x]$ の単元は $\pm1$）ので、$\mathbb{Z}[x]$ の既約元ではない。$f$ は「$\mathbb{Q}$ 上既約」を満たすが「係数の最大公約数が $1$」（原始多項式であること）を満たさず、含意「$\mathbb{Q}$ 上既約な整数係数の多項式は $\mathbb{Z}[x]$ の既約元である」を破る。原始多項式に限れば、この含意は成り立つ（thm-irreducible-polynomial-gauss の 2）。

$f=x^4+1$ は $\mathbb{Q}$ 上既約である。$x$ を $x+1$ に置き換えた
$$ f(x+1)=x^4+4x^3+6x^2+4x+2 $$
は素数 $2$ について Eisenstein の条件を満たすので $\mathbb{Q}$ 上既約であり（thm-irreducible-polynomial-eisenstein）、置き換え $x\mapsto x+1$ は $\mathbb{Q}[x]$ の環の自己同型で次数を保つので $f$ も既約である。
一方、$f$ はすべての素数 $p$ について $\mathbb{F}_p$ 上可約である。$p=2$ では $x^4+1=(x+1)^4$ である。$p$ が奇素数なら $p^2-1=(p-1)(p+1)$ は連続する 2 つの偶数の積なので $8$ で割り切れる。位数 $p^2$ の有限体 $\mathbb{F}_{p^2}$（有限体 の記事の定理「有限体の存在と一意性」）の乗法群は位数 $p^2-1$ の巡回群なので、位数 $8$ の元 $\zeta$ をもつ。$\zeta^8=1$、$\zeta^4\neq1$ より $\zeta^4=-1$、すなわち $\zeta$ は $f$ の根である。$[\mathbb{F}_{p^2}:\mathbb{F}_p]=2$ なので $\zeta$ の $\mathbb{F}_p$ 上の最小多項式の次数は $2$ 以下であり（拡大次数）、それは $f$ を割り切る。よって $f$ は $\mathbb{F}_p$ 上次数 $2$ 以下の因子をもち、可約である。
この例は「すべての素数 $p$ で $f$ を法 $p$ で還元すると可約」を満たすが「$\mathbb{Q}$ 上可約」を満たさず、含意「すべての素数を法として可約なら $\mathbb{Q}$ 上可約」を破る。逆向きの含意「ある素数 $p$ を法として（最高次の係数を保ったまま）既約なら $\mathbb{Q}$ 上既約」は成り立つ（rem-irreducible-polynomial-reduction）。

1. $n\ge1$、$p$ を素数とすると、$x^n-p$ は $p$ について条件を満たすので $\mathbb{Q}$ 上既約である。$x^n-2$ はその例である。
2. $x^2+1$ で $x$ を $x+1$ に置き換えると $x^2+2x+2$ となり、これは $2$ について条件を満たす。$K[x]$ の自己同型 $x\mapsto x+1$ は次数と積を保つので、$x^2+1$ も $\mathbb{Q}$ 上既約である。同じ方法で $x^4+1$ の既約性が分かる（ex-irreducible-polynomial-x4-plus-1）。
3. $p$ を素数とし、円分多項式 $\Phi_p(x)=x^{p-1}+x^{p-2}+\dots+x+1=\dfrac{x^p-1}{x-1}$ を考える。
   $$ \Phi_p(x+1)=\frac{(x+1)^p-1}{x}=\sum_{k=1}^{p}\binom{p}{k}x^{k-1}=x^{p-1}+\binom{p}{p-1}x^{p-2}+\dots+\binom{p}{2}x+p $$
   であり、$0< k< p$ について二項係数 $\binom pk$ は $p$ で割り切れ、定数項 $p$ は $p^2$ で割り切れない。よって $\Phi_p(x+1)$ は $p$ について条件を満たし、$\Phi_p(x)$ は $\mathbb{Q}$ 上既約である。
4. 係数環が多項式環でもよい。$k$ を体、$A=k[t]$（一意分解整域）、$p=t$ とすると、$n\ge1$ について $x^n-t\in k[t][x]$ は条件を満たすので、$K=k(t)$（有理関数体）上既約である。
5. 原始性の仮定は後半の主張に必要である。$f=3x+6$ は $p=2$ について条件を満たし $\mathbb{Q}$ 上既約だが、$f=3(x+2)$ なので $\mathbb{Z}[x]$ の既約元ではない。