空間形

Christoffel 記号は $\Gamma^i_{lj}=\delta_{il}u_j+\delta_{ij}u_l-\delta_{lj}u_i$ である（Christoffel記号 の例「共形平坦な計量と上半平面」）。曲率の成分の公式（Riemann曲率テンソル の命題「成分の公式」）
$$ R^i{}_{jkl}=\partial_k\Gamma^i_{lj}-\partial_l\Gamma^i_{kj}+\Gamma^i_{ka}\Gamma^a_{lj}-\Gamma^i_{la}\Gamma^a_{kj} $$
に代入する。微分の 2 項の差は、$\delta_{ij}\partial_k\partial_lu$ の項が打ち消し合って
$$ \delta_{il}\,\partial_j\partial_ku-\delta_{jl}\,\partial_i\partial_ku-\delta_{ik}\,\partial_j\partial_lu+\delta_{jk}\,\partial_i\partial_lu $$
となる。積の 2 項の差は
$$ \delta_{ik}u_ju_l-\delta_{il}u_ju_k-\delta_{jk}u_iu_l+\delta_{jl}u_iu_k+|du|^2(\delta_{il}\delta_{jk}-\delta_{ik}\delta_{jl}) $$
である（下の折りたたみで計算する）。2 つを足して $\delta_{il}$、$\delta_{jk}$、$\delta_{jl}$、$\delta_{ik}$ の係数ごとにまとめれば主張の式になる。$\square$

$w:=1+c|x|^2$ とおくと $g_c=e^{2u}\sum_i(dx^i)^2$、$u=\log2-\log w$ である。$\partial_aw=2cx_a$ なので
$$ u_a=-\frac{2cx_a}w,\qquad\partial_a\partial_bu=-\frac{2c\,\delta_{ab}}w+\frac{4c^2x_ax_b}{w^2},\qquad u_au_b=\frac{4c^2x_ax_b}{w^2} $$
である。よって lem-sf-conformal-curvature の $T_{ab}$ は $T_{ab}=\tau\,\delta_{ab}$、$\tau:=-2c/w$ という形になり、$|du|^2=4c^2|x|^2/w^2$ である。これを補題の式に代入すると、$T$ の 4 項は $\tau(\delta_{il}\delta_{jk}+\delta_{jk}\delta_{il}-\delta_{jl}\delta_{ik}-\delta_{ik}\delta_{jl})=2\tau(\delta_{il}\delta_{jk}-\delta_{ik}\delta_{jl})$ にまとまるので
$$ R^i{}_{jkl}=\bigl(2\tau+|du|^2\bigr)(\delta_{il}\delta_{jk}-\delta_{ik}\delta_{jl}),\qquad2\tau+|du|^2=\frac{-4cw+4c^2|x|^2}{w^2}=-\frac{4c}{w^2} $$
である（$w-c|x|^2=1$ を使った）。添字を下げると、$g_{im}=e^{2u}\delta_{im}$、$e^{2u}=4/w^2$ より
$$ R_{ijkl}=e^{2u}\Bigl(-\frac{4c}{w^2}\Bigr)(\delta_{il}\delta_{jk}-\delta_{ik}\delta_{jl})=c\,e^{4u}(\delta_{ik}\delta_{jl}-\delta_{il}\delta_{jk})=c\,(g_{ik}g_{jl}-g_{il}g_{jk}) $$
である。定義の直後に見たとおり、このときどの平面の断面曲率も $c$ である。$\square$

1：標準座標で $g_{ij}=\delta_{ij}$ は定数なので Christoffel 記号はすべて $0$ で、曲率テンソルは $0$ である。
2：$c=1/a^2$ とし、$y\in\mathbb R^n$ について
$$ F_\pm(y):=\frac1{|y|^2+a^2}\Bigl(2a^2y,\ \pm a\bigl(|y|^2-a^2\bigr)\Bigr)\in\mathbb R^{n+1} $$
とおく。$D:=|y|^2+a^2$ とすると $|F_\pm(y)|^2=\bigl(4a^4|y|^2+a^2(|y|^2-a^2)^2\bigr)/D^2=a^2D^2/D^2=a^2$ なので $F_\pm(y)\in S^n(a)$ である。$v\in\mathbb R^n$ の向きの微分は
$$ dF_\pm(v)=\Bigl(\frac{2a^2v}D-\frac{4a^2\langle y,v\rangle\,y}{D^2},\ \pm\frac{4a^3\langle y,v\rangle}{D^2}\Bigr) $$
で（$a(|y|^2-a^2)/D=a-2a^3/D$ を使った）、その長さの 2 乗は
$$ \frac{4a^4|v|^2}{D^2}-\frac{16a^4\langle y,v\rangle^2}{D^3}+\frac{16a^4|y|^2\langle y,v\rangle^2}{D^4}+\frac{16a^6\langle y,v\rangle^2}{D^4}=\frac{4a^4|v|^2}{D^2} $$
である（最後の 3 項の和は $\frac{16a^4\langle y,v\rangle^2}{D^4}(-D+|y|^2+a^2)=0$）。$4a^4/D^2=4/(1+c|y|^2)^2$ なので、$F_\pm$ による $S^n(a)$ の計量の引き戻しは $g_c$ である。$F_+$ は $\mathbb R^n$ から $S^n(a)\setminus\{(0,a)\}$ への全単射で、逆写像は北極 $(0,a)$ からの立体射影 $x\mapsto a\bar x/(a-x_{n+1})$（$\bar x$ は $x$ の最初の $n$ 成分。立体射影 の定義を半径 $a$ に拡大したもの）である。実際 $x\in S^n(a)$、$x_{n+1}\neq a$、$y=a\bar x/(a-x_{n+1})$ とすると $|y|^2+a^2=2a^3/(a-x_{n+1})$ となり、これを $F_+$ に代入すると $x$ に戻る。逆写像は滑らかなので、$F_+^{-1}$ は $S^n(a)\setminus\{(0,a)\}$ の局所座標で、その座標での計量の成分は $g_c$ の成分である。thm-sf-conformal-model により、この範囲で曲率テンソルは定曲率 $c$ の形をもつ。$F_-$ は $F_+$ に第 $n+1$ 成分の符号を変える写像を合成したもので、$S^n(a)\setminus\{(0,-a)\}$ の局所座標を与え、同じ結論が成り立つ。2 つの範囲で $S^n(a)$ 全体が覆われる。
3：$c=-1/a^2$ とすると $D_c$ は半径 $a$ の開球体 $B^n(a)$ で、座標を $u$ と書くと $g_c=\dfrac{4|du|^2}{(1-|u|^2/a^2)^2}=\dfrac{4a^4|du|^2}{(a^2-|u|^2)^2}$（ここでの $|du|^2$ は Euclid 計量 $\sum_i(du^i)^2$ で、lem-sf-conformal-curvature の $|du|^2$ とは別の意味）は 双曲空間 の定理「上半空間モデルと球体モデル」の 2 の計量 $g_B$ である。同じ定理により $H^n(a)$ は $(B^n(a),g_B)$ と等長なので、thm-sf-conformal-model から定曲率 $-1/a^2$ である。
完備性：$\mathbb R^n$ は Euclid 距離について完備で、$S^n(a)$ はコンパクトな距離空間なので完備である。$H^n(a)$ の完備性は 双曲空間 の定理「測地線と距離の公式」にある。単連結性：$\mathbb R^n$ は可縮なので単連結であり、$H^n(a)$ は $\mathbb R^n$ と微分同相で単連結である（双曲空間 の定義「Minkowski 空間と双曲空間」の直後の段落）。$n\ge2$ の $S^n(a)$ は単連結である（球面 の定理「基本群の値」）。$\square$