Wallisの公式（高校数学）

同義語：Wallisの積（高校数学）

概要

前提知識: Wallis積分（高校数学）, 数列の極限, はさみうちの原理, 二項係数

高校での出発点：正確な値は分かったが、大きさは？

Wallis 積分 $I_n:=\int_0^{\pi/2}\sin^nx\,dx$（$n=0,1,2,\dots$）について、Wallis積分（高校数学）の記事で次の 3 つを示した。この記事ではこれらを使う。

漸化式：$n\ge2$ で $I_n=\frac{n-1}nI_{n-2}$、初めの値 $I_0=\frac\pi2$、$I_1=1$。
値の公式：$I_{2m}=\frac{(2m)!}{4^m(m!)^2}\cdot\frac\pi2$、$I_{2m+1}=\frac{4^m(m!)^2}{(2m+1)!}$。
積の保存と単調性：$n\ge1$ で $nI_nI_{n-1}=\frac\pi2$、$0< I_n< I_{n-1}$。
値の公式は正確だが、階乗の比のままでは、$n$ が大きいとき $I_n$ がどのくらいの大きさなのかが見えない。

I_10 と I_100 の大きさ

値の公式から $I_{10}=\frac{10!}{4^5(5!)^2}\cdot\frac\pi2=\frac{63}{256}\cdot\frac\pi2=\frac{63\pi}{512}=0.38656\ldots$ である。一方、$\sqrt{\frac{\pi}{2\cdot10}}=0.39633\ldots$ で、比は $0.9753\ldots$ である。$n=100$ では $I_{100}=0.125018\ldots$、$\sqrt{\frac{\pi}{200}}=0.125331\ldots$ で、比は $0.99750\ldots$ である。$n$ が大きくなるほど、$I_n$ は $\sqrt{\frac\pi{2n}}$ に比で近づいていくように見える。

この記事では、この観察が正しいこと、そこから円周率を無限積で表す Wallis の積
$$ \frac21\cdot\frac23\cdot\frac43\cdot\frac45\cdot\frac65\cdot\frac67\cdots=\frac\pi2 $$
が得られることを証明する。

問い	答え
「大きさが同じくらい」をどう述べるか	比が $1$ に近づく（漸近的に等しい）→ def-wp-asymp
$I_n$ はどのくらいの大きさか	$I_n\sim\sqrt{\frac\pi{2n}}$ → thm-wp-main
円周率はどんな積で表せるか	Wallis の積 → cor-wp-product
硬貨を $2n$ 回投げて表がちょうど $n$ 回の確率は	およそ $\frac1{\sqrt{\pi n}}$ → cor-wp-product の 2、ex-wp-coin
証明のどこで単調性が要るのか	単調でない反例 → ex-wp-no-monotone

漸近的に等しい

大きな数どうしを比べるには、差ではなく比を見る。

漸近的に等しい

正の数の列 $(a_n)$、$(b_n)$ について $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=1$ となるとき、$a_n\sim b_n$ と書き、$a_n$ と $b_n$ は漸近的に等しいという。

記号 $\sim$ と漸近記法の性質ははさみうちと評価の技法で扱う。

漸近的に等しい例と、そうでない例

$a_n=n^2+n$、$b_n=n^2$：比は $\frac{n^2+n}{n^2}=1+\frac1n\to1$ なので $a_n\sim b_n$ である。
$a_n=\sqrt{n+1}$、$b_n=\sqrt n$：比は $\sqrt{1+\frac1n}\to1$ なので $a_n\sim b_n$ である。
$a_n=2n$、$b_n=n$：比はいつも $2$ なので、漸近的に等しくない。「同じくらいの速さで大きくなる」だけでは足りず、比が $1$ に近づくことが必要である。

反例：漸近的に等しくても差は小さくならない

ex-wp-asymp-examples の 1 では $a_n\sim b_n$ だが、差は $a_n-b_n=n$ で、限りなく大きくなる。「$a_n\sim b_n$ ならば $a_n-b_n\to0$」という主張は、この例で崩れる。$\sim$ は比についての主張であり、差についての主張ではない。

主定理：Wallis 積分の大きさ

Wallis 積分の大きさ

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{I_n}{I_{n-1}}=1$ である。
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt n\,I_n=\sqrt{\frac\pi2}$ である。すなわち $I_n\sim\sqrt{\dfrac{\pi}{2n}}$ である。

積の保存と単調性で挟む

方針：1 は単調性と漸化式ではさみうちにする。2 は、$(\sqrt nI_n)^2$ を「積の保存で一定の部分」と「1 で $1$ に近づく部分」の積に分ける。
段 1（隣り合う比を挟む）：$n\ge2$ とする。単調性から $I_n< I_{n-1}< I_{n-2}$ であり、各辺を正の数 $I_{n-2}$ で割ると
$$ \frac{I_n}{I_{n-2}}<\frac{I_{n-1}}{I_{n-2}}<1 $$
である。漸化式から左辺は $\frac{I_n}{I_{n-2}}=\frac{n-1}n$ なので、$\frac{n-1}n<\frac{I_{n-1}}{I_{n-2}}<1$ である。
段 2（1 の証明）：$n\to\infty$ で $\frac{n-1}n=1-\frac1n\to1$ なので、はさみうちの原理により $\frac{I_{n-1}}{I_{n-2}}\to1$ である。番号を 1 つずらす（$n$ を $n+1$ に替える）と $\frac{I_n}{I_{n-1}}\to1$ である。
段 3（2 乗を分ける）：$n\ge1$ とする。積の保存 $nI_nI_{n-1}=\frac\pi2$ を使うと
$$ \bigl(\sqrt n\,I_n\bigr)^2=nI_n^2=nI_nI_{n-1}\cdot\frac{I_n}{I_{n-1}}=\frac\pi2\cdot\frac{I_n}{I_{n-1}} $$
である（真ん中の変形は、$I_n^2=I_nI_{n-1}\cdot\frac{I_n}{I_{n-1}}$ による）。
段 4（2 の証明）：段 2 により右辺は $\frac\pi2\cdot1=\frac\pi2$ に収束する。$\sqrt nI_n>0$ であり、平方根をとる関数は連続なので、$\sqrt n\,I_n\to\sqrt{\frac\pi2}$ である。最後に、$\frac{I_n}{\sqrt{\pi/(2n)}}=\sqrt n\,I_n\cdot\sqrt{\frac2\pi}\to1$ なので $I_n\sim\sqrt{\frac\pi{2n}}$ である。$\square$

証明の要は 2 点である。積 $nI_nI_{n-1}$ が一定であることが偶数番目と奇数番目を結び、単調性が隣り合う 2 項の比を $1$ に押しつける。単調性が本当に必要であることは ex-wp-no-monotone で見る。

√n I_n を数値で見る

$\sqrt n\,I_n$ の値は
$$ n=10:\ 1.2224\ldots,\qquad n=100:\ 1.25018\ldots,\qquad n=1000:\ 1.253000\ldots,\qquad n=10000:\ 1.2532828\ldots $$
であり、$\sqrt{\frac\pi2}=1.2533141\ldots$ に近づく。段 1 の評価は $n=10$ で $0.9<\frac{I_9}{I_8}<1$ であり、実際の値は $0.9460\ldots$ である。

系：Wallis の積と中央の二項係数

Wallis の積と中央の二項係数

（Wallis の積）$\displaystyle W_n:=\prod_{k=1}^n\frac{(2k)^2}{(2k-1)(2k+1)}=\frac21\cdot\frac23\cdot\frac43\cdot\frac45\cdots\frac{2n}{2n-1}\cdot\frac{2n}{2n+1}$ とおくと、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}W_n=\frac\pi2$ である。
（中央の二項係数）$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{4^n(n!)^2}{(2n)!\,\sqrt n}=\sqrt\pi$ である。すなわち $\dbinom{2n}n\sim\dfrac{4^n}{\sqrt{\pi n}}$ である。

値の公式を代入する

方針：どちらも、値の公式で $I_{2n}$ や $I_{2n+1}$ を階乗や積で書き、thm-wp-main の 1・2 を使う。
段 1（$W_n$ を Wallis 積分で書く）：値の公式の左側の形から
$$ \frac{I_{2n}}{I_{2n+1}}=\frac{1\cdot3\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdots(2n)}\cdot\frac\pi2\cdot\frac{3\cdot5\cdots(2n+1)}{2\cdot4\cdots(2n)}=\frac{\bigl(1\cdot3\cdots(2n-1)\bigr)\bigl(3\cdot5\cdots(2n+1)\bigr)}{\bigl(2\cdot4\cdots(2n)\bigr)^2}\cdot\frac\pi2 $$
である。一方、$W_n$ の分子は $(2\cdot4\cdots2n)^2$、分母は $(1\cdot3)(3\cdot5)\cdots\bigl((2n-1)(2n+1)\bigr)=\bigl(1\cdot3\cdots(2n-1)\bigr)\bigl(3\cdot5\cdots(2n+1)\bigr)$ である。よって $\frac{I_{2n}}{I_{2n+1}}=\frac{\pi}{2W_n}$、すなわち $W_n=\frac\pi2\cdot\frac{I_{2n+1}}{I_{2n}}$ である。
段 2（1 の証明）：thm-wp-main の 1 を番号 $2n+1$ に使うと $\frac{I_{2n+1}}{I_{2n}}\to1$ なので、$W_n\to\frac\pi2$ である。
段 3（2 の式を Wallis 積分で書く）：値の公式から $I_{2n}=\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}\cdot\frac\pi2$ なので、$\frac{4^n(n!)^2}{(2n)!}=\frac{\pi}{2I_{2n}}$ である。よって
$$ \frac{4^n(n!)^2}{(2n)!\,\sqrt n}=\frac{\pi}{2\sqrt n\,I_{2n}}=\frac{\pi}{\sqrt2\cdot\sqrt{2n}\,I_{2n}} $$
である（$2\sqrt n=\sqrt2\cdot\sqrt{2n}$）。
段 4（2 の証明）：thm-wp-main の 2 を番号 $2n$ に使うと $\sqrt{2n}\,I_{2n}\to\sqrt{\frac\pi2}$ なので、右辺は $\frac{\pi}{\sqrt2\cdot\sqrt{\pi/2}}=\frac\pi{\sqrt\pi}=\sqrt\pi$ に収束する。$\binom{2n}n=\frac{(2n)!}{(n!)^2}$ なので、これは $\binom{2n}n\Big/\frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}=\frac{\sqrt\pi}{\,\frac{4^n(n!)^2}{(2n)!\sqrt n}\,}\to1$ と同じである。$\square$

thm-wp-main の 2 と cor-wp-product の 1・2 の 3 つの式をまとめて Wallis の公式とよぶ。狭い意味では、系の 1 の無限積 $\frac21\cdot\frac23\cdot\frac43\cdot\frac45\cdots=\frac\pi2$（Wallis の積）を指す。
ほかの方法で円周率を評価する話は円周率を評価するで扱う。

Wallis の積を手で計算する

$W_1=\frac21\cdot\frac23=\frac43=1.3333\ldots$、$W_2=\frac43\cdot\frac43\cdot\frac45=\frac{64}{45}=1.4222\ldots$、$W_3=\frac{64}{45}\cdot\frac65\cdot\frac67=\frac{2304}{1575}=\frac{256}{175}=1.4628\ldots$ である。
各因子は $\frac{(2k)^2}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{4k^2}{4k^2-1}>1$ なので、$W_n$ は $n$ について増加する。また prf-cor-wp-product の段 1 の $W_n=\frac\pi2\cdot\frac{I_{2n+1}}{I_{2n}}$ と単調性 $I_{2n+1}< I_{2n}$ から、$W_n<\frac\pi2$ である。
数値計算では $W_{10}=1.5338\ldots$、$W_{100}=1.56689\ldots$、$W_{1000}=1.570403\ldots$ であり、$\frac\pi2=1.570796\ldots$ に下から近づく（図 1）。近づき方は遅く、数値計算によると誤差 $\frac\pi2-W_n$ はおよそ $\frac{\pi}{8n}$ である（$n=100$ で $0.003902\ldots$、$\frac{\pi}{800}=0.003926\ldots$）。

図1：Wallis の積 !FORMULA[134][35933314][0]（横軸は対数目盛り）。!FORMULA[135][-913758879][0] に下から、ゆっくり近づく図1：Wallis の積 $W_n$（横軸は対数目盛り）。$\frac\pi2$ に下から、ゆっくり近づく

硬貨投げと中央の二項係数

公平な硬貨を $2n$ 回投げて、表がちょうど $n$ 回出る確率は $p_n:=\binom{2n}n\big/4^n$ である。cor-wp-product の 2 は $p_n\sim\frac1{\sqrt{\pi n}}$ と言い換えられる。

$n=10$（20 回投げる）：$p_{10}=\frac{184756}{1048576}=0.17619\ldots$、$\frac1{\sqrt{10\pi}}=0.17841\ldots$ で、比は $0.9875\ldots$ である（図 2）。
$n=100$（200 回投げる）：$p_{100}=0.056348\ldots$、$\frac1{\sqrt{100\pi}}=0.056418\ldots$ で、比は $0.99875\ldots$ である。
値の公式から $p_n=\frac2\pi I_{2n}$ でもある。表がちょうど半分になる確率は、投げる回数を 4 倍にするとおよそ半分になる。これは二項分布が正規分布で近似されるという中心極限定理の、最も簡単な場合の定数の部分である（GS06 第 3.1 節、第 9.1 節）。

図2：公平な硬貨を 20 回投げたときの表の回数の確率。ちょうど 10 回の確率 $p_{10}$ は $\frac1{\sqrt{10\pi}}$ に近い

反例：単調性を外すと

反例：漸化式と積の保存だけでは極限は決まらない

$a_0=a_1=1$ から始めて、Wallis 積分と同じ漸化式 $a_n=\frac{n-1}na_{n-2}$（$n\ge2$）で数列を定める。項は $1,\ 1,\ \frac12,\ \frac23,\ \frac38,\ \frac8{15},\dots$ である。
段 1（積の保存は成り立つ）：Wallis積分（高校数学）の記事の積の保存の証明と同じ計算で、$na_na_{n-1}=1\cdot a_1a_0=1$ がすべての $n\ge1$ で成り立つ。
段 2（単調性は成り立たない）：$a_2=\frac12< a_3=\frac23$ なので、単調減少ではない。
段 3（比が $1$ に近づかない）：$I_n$ と同じ漸化式で、初めの値だけが違う（$I_0=\frac\pi2$ に対し $a_0=1$）。漸化式は偶数番目どうし、奇数番目どうしをそれぞれつなぐだけであり、項をすべて同じ数倍しても成り立つ。$a_0=1=\frac2\pi I_0$、$a_1=1=I_1$ なので、偶数番目はすべて $\frac2\pi$ 倍、奇数番目はそのままで、$a_{2m}=\frac2\pi I_{2m}$、$a_{2m+1}=I_{2m+1}$ である。よって
$$ \frac{a_{2m}}{a_{2m+1}}=\frac2\pi\cdot\frac{I_{2m}}{I_{2m+1}}\to\frac2\pi=0.6366\ldots\ne1 $$
である（$m=1000$ で $0.63677\ldots$）。
したがって、この数列は「漸化式」と「積の保存」を満たすが「単調性」を満たさず、thm-wp-main の 1「隣り合う項の比が $1$ に近づく」が崩れる。$\sqrt na_n$ も収束せず、偶数番目は $\sqrt{2/\pi}=0.7978\ldots$ に、奇数番目は $\sqrt{\pi/2}=1.2533\ldots$ に近づく（図 3）。

図3：左は !FORMULA[174][1036186194][0]、右は単調でない反例の !FORMULA[175][1036901178][0]。右では偶数番目と奇数番目が別の値に近づく図3：左は $\sqrt nI_n$、右は単調でない反例の $\sqrt na_n$。右では偶数番目と奇数番目が別の値に近づく
ex-wp-no-monotone から、$\pi$ の出どころと単調性の役割を分けて見ることができる。$\pi$ そのものは積の値 $nI_nI_{n-1}=\frac\pi2$（もとは $I_0=\frac\pi2$）から入る。その値を $\sqrt n\,I_n$ の極限に正しく受け渡しているのが、積分の大小比較から来る単調性である。反例の数列でも積の値は定数 $1$ だが、隣り合う項の比が $1$ に近づかないので、$\sqrt na_n$ は 1 つの値に収束しない。

さらに先へ

Gauss 積分：$e^{-nx^2}$ を $(1-x^2)^n$ と $(1+x^2)^{-n}$ で挟むと、Wallis 積分と比べて $\int_0^\infty e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt\pi}2$ が得られる。そこで thm-wp-main の 2 を使う（Gauss積分（高校数学））。
Stirling の公式：cor-wp-product の 2 を使うと、$n!\sim\sqrt{2\pi n}(n/e)^n$ の定数 $\sqrt{2\pi}$ が決まる（階乗の大きさの見積もり）。
歴史：Wallis の積は J. Wallis が 1656 年の『Arithmetica Infinitorum（無限算術）』で示した（AAR99 第 1 章）。
大学での扱い：この記事は高校生向けに、Wallis 積分の単調性とはさみうちの原理で Wallis の公式を示した。大学数学の用語としての Wallis の公式は、大学向けの記事 Wallisの公式で扱う。