中山代数

1。 $L$ を $M$ の極大部分加群とすると、$M/L$ は単純なので $J(M/L)=0$、すなわち $JM\subset L$ である。$M/JM$ は半単純環 $A/J$ の上の加群なので単純加群の直和であり（半単純環 の定理「加群による特徴づけ」）、一列でもあるので、$0$ か単純加群である。$J$ は冪零なので、$JM=M$ なら $M=J^nM=0$ となる。よって $M/JM$ は単純で、$JM$ は極大部分加群であり、どの極大部分加群 $L$ も $JM\subset L\subsetneq M$ から $L=JM$ である。
2。 $\dim_kM$ についての帰納法で示す。$N\subsetneq M$ を部分加群とする。$N$ と $JM$ は比較でき、$JM\subsetneq N$ なら 1 の極大性に反するので $N\subset JM$ である。$JM$ は一列で次元が小さいので、帰納法の仮定により $JM$ の部分加群は $J^i(JM)=J^{i+1}M$ だけである（$JM=0$ なら $0$ だけ）。よって $M$ の部分加群は $J^iM$ だけである。$J^iM\neq0$ なら $J^iM$ は一列なので 1 により $J^{i+1}M\subsetneq J^iM$ で、商は単純である。
3。 部分加群の部分加群は部分加群であり、商加群 $M/N$ の部分加群は $N$ を含む部分加群と対応するので、どちらも全順序である。$M=M_1\oplus M_2$、$M_1,M_2\neq0$ なら、$M_1$ と $M_2$ は比較できない。$\square$

1。 右部分加群 $L\subset D(X)$ について $L^\perp:=\{x\in X\mid\varphi(x)=0\ (\varphi\in L)\}$ とおくと、$x\in L^\perp$、$a\in A$ について $\varphi(ax)=(\varphi a)(x)=0$ なので $L^\perp$ は左部分加群である。有限次元の線形代数により $L=\{\varphi\mid\varphi(L^\perp)=0\}$ なので（双対空間(線形代数) の定理「零化空間の次元」）、$L_1\subset L_2$ と $L_1^\perp\supset L_2^\perp$ は同値である（右向きは定義から、左向きは $L_1^\perp\supset L_2^\perp$ なら $L_1=\{\varphi\mid\varphi(L_1^\perp)=0\}\subset\{\varphi\mid\varphi(L_2^\perp)=0\}=L_2$ から）。$X$ の部分加群が全順序なので、$L_1^\perp$ と $L_2^\perp$ は比較でき、$D(X)$ の部分加群も全順序である。同様に、左部分加群 $Y\subset X$ について $Y^0:=\{\varphi\mid\varphi(Y)=0\}$ は右部分加群で、$Y\mapsto Y^0$ は包含の向きを逆にする単射なので、$X$ の組成列は $D(X)$ の同じ長さの真の部分加群の列を与え、逆も同じである。よって長さは等しい。左右を入れ替えた主張も同じで、$X\cong DD(X)$ から最後の主張が従う。
2。 $N\in\mathcal M'_t$、全射 $\pi\colon N\to fA/fJ^t$ とし、$\pi(n)=\bar f$ となる $n$ をとる。$n$ を $nf$ に替えても $\pi(nf)=\bar f f=\bar f$ である。$s(\overline{fa}):=nfa$ と定める。$fa=fb$（$b\in J^t$）なら $nfa=(nf)b\in NJ^t=0$ なので $s$ は矛盾なく定まり、右 $A$ 線形で $\pi s(\overline{fa})=\bar fa=\overline{fa}$ である。
3。 単射 $\alpha\colon X\to N$（$N\in\mathcal M_t$）について、$D(\alpha)\colon D(N)\to D(X)$ は $\mathcal M'_t$ の全射なので、$D(\alpha)\sigma=\mathrm{id}$ となる $\sigma$ がある。$D$ を当てると $D(\sigma)\circ DD(\alpha)=\mathrm{id}_{DD(X)}$ で、評価写像の自然同型 $X\cong DD(X)$、$N\cong DD(N)$ を通して $r\alpha=\mathrm{id}_X$ となる $r\colon N\to X$ が得られる。$\square$

1。 $J^tM=0$ となる最小の $t$ をとる（$M\neq0$ なので $t\ge1$）。$J^{t-1}M\neq0$ なので $J^{t-1}x\neq0$ となる $x\in M$ があり、$x=\sum_ie_ix$ なので、ある $i$ で $J^{t-1}e_ix\neq0$ である。$e:=e_i$ とし、$x$ を $ex$ に替える。$g\colon Ae\to M$、$y\mapsto yx$ の像は $Aex=Ax$ である。$\ker g$ は一列加群 $Ae$ の部分加群なので $J^je$ の形であり（lem-nak-uniserial の 2）、$J^tx=0$ から $J^te\subset\ker g$、$J^{t-1}x\neq0$ から $J^{t-1}e\not\subset\ker g$ である。よって $\ker g=J^te$ であり、$X:=Ax\cong Ae/J^te$ は $J^tX=0$、$J^{t-1}X\neq0$ を満たす一列加群で、長さは $t$ である（lem-nak-uniserial の 2）。$Ae$ の長さは $X$ 以上なので $t\le\ell(Ae)$ である。
$X$ が $\mathcal M_t$ の中で入射的であることを示す。lem-nak-duality の 1 により $D(X)$ は長さ $t$ の一列な右加群で、$D(X)J^t=0$ である。lem-nak-uniserial の 1（右加群）により $D(X)/D(X)J$ は単純で、lem-nak-uniserial の後の注意（右加群）によりある $f:=e_j$ について $fA/fJ$ と同型である。$fA$ は射影的なので、全射 $fA\to fA/fJ\cong D(X)/D(X)J$ は $h\colon fA\to D(X)$ に持ち上がる。$h$ の像は $D(X)J$ に含まれないので、$D(X)$ の部分加群が全順序であることから $D(X)J$ を真に含み、極大性により $D(X)$ に等しい。$h(fJ^t)=h(f)J^t\subset D(X)J^t=0$ なので、$h$ は全射 $fA/fJ^t\to D(X)$ を引き起こす。$fA/fJ^t$ は一列加群 $fA$ の商で、lem-nak-uniserial の 2 によりその長さは $t$ 以下であり、$D(X)$ の長さは $t$ なので、この全射は同型である。lem-nak-duality の 2 により $D(X)$ は $\mathcal M'_t$ の中で射影的であり、3 により $X$ は $\mathcal M_t$ の中で入射的である。
$M\in\mathcal M_t$ なので包含 $X\to M$ は分裂し、$M=X\oplus X'$ となる。$M$ は直既約で $X\neq0$ なので $X'=0$ であり、$M=X\cong Ae/J^te$ は一列加群である。
2。 有限次元の加群は、次元についての帰納法で直既約加群の有限直和に分解するので、1 から従う。右加群については、左右を入れ替えた同じ議論（$D$ の役割も入れ替える）による。$\square$

$Ae_i/J^te_i$ は $0$ でない一列加群なので直既約であり（lem-nak-uniserial の 3）、thm-nak-main によりどの直既約加群もこの形のものと同型である。$Ae_i/J^te_i\cong Ae_j/J^{s}e_j$ とする。長さを比べて $t=s$ であり、lem-nak-uniserial の 1 により両辺の $J$ による商、すなわち $Ae_i/Je_i\cong Ae_j/Je_j$ である。この同型 $\beta$ と商写像 $p_i,p_j$ について、$Ae_i$ は射影的なので $p_jq=\beta p_i$ となる $q\colon Ae_i\to Ae_j$ がある。$q$ の像は $Je_j$ に含まれないので、一列性と極大性により $Ae_j$ に等しい。同様に全射 $Ae_j\to Ae_i$ もあるので $\dim Ae_i=\dim Ae_j$ で、$q$ は同型である。よって $i=j$ である。$\square$