平面の円の詰め込み

段 1（敷き詰め）。$\vec u,\vec v$ は平行でないので、平面のどの点 $\vec x$ もただ 1 通りに $\vec x=a\vec u+b\vec v$（$a,b$ は実数）と書ける。$m$ を $a$ 以下の最大の整数、$n$ を $b$ 以下の最大の整数とし、$s=a-m$、$t=b-n$ とおくと $0\le s<1$、$0\le t<1$ で、$\vec x=(m\vec u+n\vec v)+(s\vec u+t\vec v)$ である。そこで $P=\{s\vec u+t\vec v\mid 0\le s<1,\ 0\le t<1\}$ とおくと、どの点も、ある格子のベクトル $\vec w=m\vec u+n\vec v$ について $\vec w+P$ に入り、その $\vec w$ はただ 1 つである（$a,b$ がただ 1 通りに決まり、$m,n$ はそこから決まる）。つまり平行四辺形 $\vec w+P$（$\vec w\in L$）は平面を重なりなく敷き詰める。どれも面積は $D$ である。

段 2（平行四辺形の大きさ）。$\vec w+P$ の点 $\vec w+s\vec u+t\vec v$ と $\vec w$ の距離は $\lvert s\vec u+t\vec v\rvert\le s\lvert\vec u\rvert+t\lvert\vec v\rvert<\delta$ である。

段 3（上からの評価）。$\vec w\in Q_R$ ならば、段 2 により $\vec w+P$ の点の座標は $\vec w$ の座標から $\delta$ 未満しかずれないので、$\vec w+P$ は $Q_{R+\delta}$ に入る。これらの $N(R)$ 個の平行四辺形は重ならないので、面積の和を比べて $N(R)\,D\le(2R+2\delta)^2$ である。

段 4（下からの評価）。$R>\delta$ とする。$Q_{R-\delta}$ の点 $\vec x$ は段 1 によりある $\vec w+P$ に入り、段 2 により $\vec w$ と $\vec x$ の距離は $\delta$ 未満なので、$\vec w$ の座標は $\vec x$ の座標から $\delta$ 未満しかずれず、$\vec w\in Q_R$ である。よって $Q_{R-\delta}$ は $N(R)$ 個の平行四辺形でおおわれ、$(2R-2\delta)^2\le N(R)\,D$ である。

段 5（(1) の結論）。段 3・4 を $(2R)^2$ で割ると $\left(1-\dfrac\delta R\right)^2\le\dfrac{N(R)\,D}{(2R)^2}\le\left(1+\dfrac\delta R\right)^2$ で、両端は $R\to\infty$ で $1$ に近づくので、はさみうちの原理により (1) が成り立つ。$N(R)$ は格子 $L$ だけで決まる数なので、$D=\displaystyle\lim_{R\to\infty}\frac{(2R)^2}{N(R)}$ も $L$ だけで決まる。

段 6（(2)）。$R>r$ とする。中心が $Q_{R-r}$ にある円は $Q_R$ に含まれ、互いに内部が重ならないので $A(R)\ge N(R-r)\,\pi r^2$ である。$Q_R$ と共有点をもつ円は中心が $Q_{R+r}$ にあるので $A(R)\le N(R+r)\,\pi r^2$ である。$(2R)^2$ で割って書き直すと

$$\frac{N(R-r)D}{(2(R-r))^2}\cdot\frac{(R-r)^2}{R^2}\cdot\frac{\pi r^2}{D}\le\frac{A(R)}{(2R)^2}\le\frac{N(R+r)D}{(2(R+r))^2}\cdot\frac{(R+r)^2}{R^2}\cdot\frac{\pi r^2}{D}$$

で、(1) により両端は $\dfrac{\pi r^2}{D}$ に近づく。はさみうちの原理により密度は $\dfrac{\pi r^2}D$ である。$\square$

$L$ の基底を $(\vec e_1,\vec e_2)$、その基本面積を $D$ とする。$\vec x=m\vec e_1+n\vec e_2$ の成分を連立 1 次方程式とみて $m$ について解くと、$\vec x=(x_1,x_2)$、$\vec e_j=(e_{j1},e_{j2})$ として

$$m=\frac{x_1e_{22}-x_2e_{21}}{e_{11}e_{22}-e_{12}e_{21}}$$

である（分母の絶対値が $D$ で、$D\ne0$）。分子はベクトル $(x_1,x_2)$ と $(e_{22},-e_{21})$ の内積で、後者の長さは $\lvert\vec e_2\rvert$ なので、分子の絶対値は $\lvert\vec x\rvert\lvert\vec e_2\rvert$ 以下である（内積の絶対値は長さの積以下。ベクトルの内積（高校数学））。よって $\lvert\vec x\rvert\le\rho$ なら $\lvert m\rvert\le\dfrac{\rho\lvert\vec e_2\rvert}{D}$ で、同じく $\lvert n\rvert\le\dfrac{\rho\lvert\vec e_1\rvert}{D}$ である。この範囲の整数の組 $(m,n)$ は有限個しかない。

$\vec 0$ でない $L$ のベクトルのうち長さが $\lvert\vec e_1\rvert$ 以下のものは、$\vec e_1$ 自身を含み、有限個なので、その中に長さが最小のものがある。それより長いベクトルは比べる必要がないので、これが $\vec 0$ でないベクトル全体の中で最短である。$\square$

$\cos\theta=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\lvert\vec u\rvert\lvert\vec v\rvert}$ で、段 2 の $\lvert\vec u\cdot\vec v\rvert\le\dfrac12\lvert\vec u\rvert^2$ と段 1 の $\lvert\vec v\rvert\ge\lvert\vec u\rvert$ から

$$\lvert\cos\theta\rvert=\frac{\lvert\vec u\cdot\vec v\rvert}{\lvert\vec u\rvert\lvert\vec v\rvert}\le\frac{\frac12\lvert\vec u\rvert^2}{\lvert\vec u\rvert\cdot\lvert\vec u\rvert}=\frac12$$

である（分母の $\lvert\vec v\rvert$ を小さい $\lvert\vec u\rvert$ に置きかえると分数は大きくなる）。$-\dfrac12\le\cos\theta\le\dfrac12$ となる $0^\circ<\theta<180^\circ$ の範囲は $60^\circ\le\theta\le120^\circ$ である。

段 1（余りを作る）。$\vec w\in L$ を実数 $a,b$ で $\vec w=a\vec u+b\vec v$ と書く。$b$ に最も近い整数を $n$ とし（ちょうど中間なら小さい方）、$\vec w-n\vec v$ を考えると、$\vec v$ の係数 $b-n$ は $-\dfrac12\le b-n\le\dfrac12$ をみたす。係数が負なら全体に $-1$ を掛けて、$\vec v$ の係数を $0$ 以上 $\dfrac12$ 以下にする。次に $\vec u$ の係数に最も近い整数の $\vec u$ 倍を引くと、$\vec u$ の係数も $-\dfrac12$ 以上 $\dfrac12$ 以下になる。こうして、整数 $m',n'$ と符号 $\pm$ を使って $\vec x=\pm(\vec w-n\vec v)-m'\vec u=s\vec u+t\vec v$、$\lvert s\rvert\le\dfrac12$、$0\le t\le\dfrac12$ と書ける $\vec x$ を得る。$\vec x$ は $L$ のベクトルの整数係数の和なので $L$ に入る。

段 2（$t\ne0$ はありえない）。$t\ne0$ とする。$\vec x$ は $\vec u$ と平行でない。lem-cpk-angle の $\lvert\vec u\cdot\vec v\rvert\le\dfrac12\lvert\vec u\rvert^2$ と $\lvert\vec u\rvert\le\lvert\vec v\rvert$ を使うと

$$\lvert\vec x\rvert^2=s^2\lvert\vec u\rvert^2+2st\,\vec u\cdot\vec v+t^2\lvert\vec v\rvert^2\le s^2\lvert\vec u\rvert^2+\lvert s\rvert t\lvert\vec u\rvert^2+t^2\lvert\vec v\rvert^2\le\left(\frac14+\frac14+\frac14\right)\lvert\vec v\rvert^2=\frac34\lvert\vec v\rvert^2$$

である（$s^2\le\dfrac14$、$\lvert s\rvert t\le\dfrac14$、$t^2\le\dfrac14$ と $\lvert\vec u\rvert^2\le\lvert\vec v\rvert^2$ を使った）。すると $\vec x$ は $\vec u$ と平行でない $L$ のベクトルで $\vec v$ より短く、条件 (ii) に反する。よって $t=0$ である。

段 3（$s=0$）。$t=0$ なので $\vec x=s\vec u$、$\lvert\vec x\rvert=\lvert s\rvert\lvert\vec u\rvert\le\dfrac12\lvert\vec u\rvert$ である。$\vec x\ne\vec 0$ なら、$\vec u$ より短い $\vec 0$ でない $L$ のベクトルがあることになり、条件 (i) に反する。よって $\vec x=\vec 0$、$s=0$ である。

段 4（結論）。$\vec x=\vec 0$ なので $\pm(\vec w-n\vec v)=m'\vec u$、つまり $\vec w=n\vec v\pm m'\vec u$ で、$\vec w$ は $\vec u,\vec v$ の整数係数の和である。$\square$

$\vec 0$ でない $L$ のベクトルは $m\vec u+n\vec v$（$m,n$ は整数で、少なくとも一方は $0$ でない）と書ける。仮定の $2\lvert\vec u\cdot\vec v\rvert\le a$ と $\lvert\vec v\rvert^2\ge a$ を使うと

$$\lvert m\vec u+n\vec v\rvert^2=m^2a+2mn\,\vec u\cdot\vec v+n^2\lvert\vec v\rvert^2\ge m^2a-\lvert m\rvert\lvert n\rvert a+n^2a=a\bigl((\lvert m\rvert-\lvert n\rvert)^2+\lvert m\rvert\lvert n\rvert\bigr)$$

である。$m,n$ がどちらも $0$ でなければ $\lvert m\rvert\lvert n\rvert\ge1$、一方が $0$ なら他方は $0$ でない整数で $(\lvert m\rvert-\lvert n\rvert)^2\ge1$ なので、かっこの中はいつも $1$ 以上である。よって $\lvert m\vec u+n\vec v\rvert^2\ge a$ で、$m=1$、$n=0$ のとき等号が成り立つ。$\square$