レゾルベント

同義語：resolventリゾルベントレゾルベント作用素resolvent operator

概要

前提知識: Banach空間, 閉グラフ定理, Banach代数, 正則関数

レゾルベント（resolvent）とは、複素 Banach 空間 $X$ 上の線形作用素 $A$ と複素数 $\lambda$ について、$\lambda-A$ が有界な逆をもつときの逆作用素 $R(\lambda,A)=(\lambda-A)^{-1}$ のことである。行列 $A$ なら、$(\lambda I-A)^{-1}$ の成分は $\lambda$ の有理関数で、固有値のところにだけ極をもつ。無限次元の空間では、逆が存在しない $\lambda$ の集合（スペクトル）は固有値だけからなるとは限らない。それでも、逆が存在する $\lambda$ の集合は開集合で、その上でレゾルベントは $\lambda$ の正則関数になる。
微分作用素のように有界でない作用素 $A$ でも、レゾルベントは $X$ 全体で定義された有界作用素である。そのため $A$ を直接扱う代わりに、レゾルベントを調べることが多い。たとえば縮小半群の生成作用素のレゾルベントは、半群の Laplace 変換として表される（Hille–吉田の定理）。また、レゾルベントがコンパクトな作用素のスペクトルは、行列と同じように、離れて並ぶ固有値だけからなる。
この記事では、レゾルベント恒等式、Neumann 級数による展開と正則性を証明し、一つのレゾルベントのスペクトルから $A$ のスペクトルを読む対応を示す。その応用として、コンパクトなレゾルベントをもつ作用素のスペクトルを決める。

定義

以下、$X\ne\{0\}$ は $\mathbb C$ 上の Banach空間、$L(X)$ は $X$ 上の有界線形作用素の全体に作用素ノルムを入れた Banach 空間、$I$ は恒等作用素とする。$X$ の部分空間 $D(A)$ を定義域とする線形写像 $A\colon D(A)\to X$ を、$X$ 上の 線形作用素 という。$\lambda\in\mathbb C$ について、$\lambda-A$ は $D(A)$ 上の写像 $x\mapsto\lambda x-Ax$ を表す。

レゾルベント集合・スペクトル・レゾルベント

$A$ を $X$ 上の線形作用素とする。

$\lambda-A\colon D(A)\to X$ が全単射で、逆写像 $(\lambda-A)^{-1}\colon X\to X$ が有界であるような $\lambda\in\mathbb C$ の全体を、$A$ の レゾルベント集合 といい、$\rho(A)$ と書く。
$\sigma(A):=\mathbb C\setminus\rho(A)$ を $A$ の スペクトル という。$\ker(\lambda-A)\ne\{0\}$ となる $\lambda$ を $A$ の 固有値 といい、固有値の全体を $\sigma_p(A)$ と書く。
$\lambda\in\rho(A)$ について、有界作用素 $R(\lambda,A):=(\lambda-A)^{-1}\in L(X)$ を、$\lambda$ における $A$ の レゾルベント という。$\rho(A)$ 上の $L(X)$ に値をとる関数 $\lambda\mapsto R(\lambda,A)$ もレゾルベントと呼ぶ。

$R(\lambda,A)$ の像は $D(A)$ であり、
$$ (\lambda-A)R(\lambda,A)y=y\quad(y\in X),\qquad R(\lambda,A)(\lambda-A)x=x\quad(x\in D(A)) $$
が成り立つ。固有値 $\lambda$ では $\lambda-A$ が単射でないので、$\sigma_p(A)\subset\sigma(A)$ である。$X$ が有限次元で $D(A)=X$ なら、線形写像はすべて有界で、単射と全射は同値なので、$\sigma(A)=\sigma_p(A)$ は $A$ の固有値の全体である。$A$ が明らかなときは $R(\lambda,A)$ を $R(\lambda)$ と略す。
文献によっては $(A-\lambda)^{-1}=-R(\lambda,A)$ をレゾルベントと呼び、$R_A(\lambda)$ と書く（Tes09 (2.68)、p. 74）。符号が変わるだけなので、この記事の公式も符号を付け替えればそのまま成り立つ。

閉作用素と逆の有界性

閉グラフ定理の記事の定義「閉作用素」のとおり、$A$ のグラフ $\{(x,Ax)\mid x\in D(A)\}$ が $X\times X$ の閉集合であるとき、$A$ を閉作用素という。

レゾルベント集合と閉作用素

$A$ を $X$ 上の線形作用素とする。

$\rho(A)\ne\emptyset$ なら、$A$ は閉作用素である。
$A$ が閉作用素なら、$\lambda-A\colon D(A)\to X$ が全単射であるだけで $\lambda\in\rho(A)$ となる。つまり逆写像は自動的に有界である。

グラフの極限を逆写像で引き戻す

要点：1 はグラフの収束列を有界な $R(\lambda,A)$ で引き戻して示し、2 は逆写像のグラフが閉じていることに閉グラフ定理を使う。

詳しい証明を開く

1：$\lambda\in\rho(A)$ とし、$R:=R(\lambda,A)$ とおく。$x_n\in D(A)$、$x_n\to x$、$Ax_n\to z$ とする。$y_n:=(\lambda-A)x_n$ は $\lambda x-z$ に収束し、$R$ は有界なので $x_n=Ry_n\to R(\lambda x-z)$ である。極限の一意性から $x=R(\lambda x-z)\in D(A)$ で、$(\lambda-A)x=\lambda x-z$、すなわち $Ax=z$ である。よって $A$ のグラフは閉じている。

2：$\lambda-A$ のグラフ $\{(x,\lambda x-Ax)\}$ は、$A$ のグラフを $X\times X$ の線形同相写像 $(x,y)\mapsto(x,\lambda x-y)$ で写したものなので閉じている。逆写像 $S\colon X\to X$ のグラフ $\{(y,Sy)\}$ は、$\lambda-A$ のグラフの二つの成分を入れ替えたものなので、やはり閉じている。$S$ は $X$ 全体で定義された線形写像だから、閉グラフ定理の定理「閉グラフ定理」により有界である。$\square$

したがって、レゾルベントを考える意味があるのは閉作用素であり、閉作用素では「$\lambda-A$ が全単射であること」がそのまま $\lambda\in\rho(A)$ の判定になる（Tes09 §2.4、p. 73 も同じ注意を述べている）。有界作用素 $A\in L(X)$ は閉作用素である。

レゾルベント恒等式

$A$ を $X$ 上の線形作用素、$\lambda,\mu\in\rho(A)$ とする。

$R(\lambda)-R(\mu)=(\mu-\lambda)R(\lambda)R(\mu)$ である。
$R(\lambda)$ と $R(\mu)$ は可換である。
$B\in L(X)$ が $B(D(A))\subset D(A)$ と $D(A)$ 上での $AB=BA$ をみたすなら、$BR(\lambda)=R(\lambda)B$ である。

$\lambda-A$ を $\mu-A$ で書き直す

要点：$x=R(\mu)y$ に $\lambda-A=(\mu-A)+(\lambda-\mu)$ を施してから $R(\lambda)$ を掛ける。

詳しい証明を開く

1：$y\in X$ をとり、$x:=R(\mu)y\in D(A)$ とおく。$(\lambda-A)x=(\mu-A)x+(\lambda-\mu)x=y+(\lambda-\mu)R(\mu)y$ である。両辺に $R(\lambda)$ を施すと$$R(\mu)y=x=R(\lambda)y+(\lambda-\mu)R(\lambda)R(\mu)y$$となり、1 を得る。

2：1 で $\lambda$ と $\mu$ を入れ替えると $R(\mu)-R(\lambda)=(\lambda-\mu)R(\mu)R(\lambda)$ である。1 の式と足すと $(\mu-\lambda)\bigl(R(\lambda)R(\mu)-R(\mu)R(\lambda)\bigr)=0$ なので、$\lambda\ne\mu$ なら $R(\lambda)R(\mu)=R(\mu)R(\lambda)$ である。$\lambda=\mu$ なら明らかである。

3：$y\in X$ について $x:=R(\lambda)y\in D(A)$ とおくと、$Bx\in D(A)$ かつ $(\lambda-A)Bx=B(\lambda-A)x=By$ なので、$Bx=R(\lambda)By$ である。$\square$

1 を レゾルベント恒等式（第一レゾルベント公式）という（Tes09 (2.81)、p. 75。そこでは $(A-z)^{-1}$ の形で書かれている）。以下の証明の多くはこの式から出る。
有界な摂動についても同じ形の式がある。$B\in L(X)$ なら $A+B$（定義域 $D(A)$）について、$\lambda\in\rho(A)\cap\rho(A+B)$ のとき
$$ R(\lambda,A+B)-R(\lambda,A)=R(\lambda,A+B)\,B\,R(\lambda,A) $$
が成り立つ（第二レゾルベント公式）。実際、$y\in X$ と $x:=R(\lambda,A)y$ について $(\lambda-A-B)x=y-Bx$ なので、$x=R(\lambda,A+B)(y-BR(\lambda,A)y)$ である。

Neumann 級数による展開と正則性

Banach代数の記事の命題「Neumann 級数」を Banach 代数 $L(X)$ に使うと、$\|T\|<1$ をみたす $T\in L(X)$ について $I-T$ は可逆で、$(I-T)^{-1}=\sum_{n\ge0}T^n$（作用素ノルムで収束）である。

レゾルベントの展開と正則性

$A$ を $X$ 上の線形作用素、$\lambda_0\in\rho(A)$、$R_0:=R(\lambda_0,A)$ とする。

$|\lambda-\lambda_0|\,\|R_0\|<1$ なら $\lambda\in\rho(A)$ であり、
$$ R(\lambda,A)=\sum_{n=0}^{\infty}(\lambda_0-\lambda)^nR_0^{\,n+1} $$
が作用素ノルムで絶対収束する。
$\rho(A)$ は $\mathbb C$ の開集合、$\sigma(A)$ は閉集合である。$\sigma(A)\ne\emptyset$ なら、すべての $\lambda\in\rho(A)$ について $\|R(\lambda,A)\|\ge1/\operatorname{dist}(\lambda,\sigma(A))$ である。
$\lambda\mapsto R(\lambda,A)$ は $\rho(A)$ 上で作用素ノルムについて連続かつ複素微分可能で、$n\ge1$ について
$$ \frac{d^n}{d\lambda^n}R(\lambda,A)=(-1)^n\,n!\,R(\lambda,A)^{n+1} $$
である。とくに、任意の $x\in X$ と連続線形汎関数 $f\in X^*$ について、$\lambda\mapsto f(R(\lambda,A)x)$ は $\rho(A)$ 上の正則関数である。

Neumann 級数で逆を作り、恒等式で微分する

1：$\delta:=\lambda-\lambda_0$ とおく。$\|\delta R_0\|<1$ なので、$C:=I+\delta R_0$ は $L(X)$ で可逆で、$C^{-1}=\sum_{n\ge0}(-\delta)^nR_0^{\,n}$ である。$x\in D(A)$ について
$$ C(\lambda_0-A)x=(\lambda_0-A)x+\delta R_0(\lambda_0-A)x=(\lambda_0-A)x+\delta x=(\lambda-A)x $$
なので、$D(A)$ の上で $\lambda-A=C(\lambda_0-A)$ である。$\lambda_0-A\colon D(A)\to X$ と $C\colon X\to X$ はどちらも全単射なので、$\lambda-A$ も全単射で、逆写像は $R_0C^{-1}$ である。これは有界作用素の積なので有界で、$\lambda\in\rho(A)$ となる。さらに
$$ R(\lambda,A)=R_0C^{-1}=\sum_{n\ge0}(-\delta)^nR_0^{\,n+1}=\sum_{n\ge0}(\lambda_0-\lambda)^nR_0^{\,n+1} $$
で、各項のノルムは $\|R_0\|\,(|\delta|\,\|R_0\|)^n$ 以下だから絶対収束する。
2：$X\ne\{0\}$ なので $R_0\ne0$ である。1 により、$\lambda_0$ を中心とする半径 $1/\|R_0\|$ の開円板は $\rho(A)$ に含まれる。よって $\rho(A)$ は開集合で、$\operatorname{dist}(\lambda_0,\sigma(A))\ge1/\|R_0\|$、すなわち $\|R_0\|\ge1/\operatorname{dist}(\lambda_0,\sigma(A))$ である。
3：1 の級数から、$|\delta|\,\|R_0\|<1/2$ のとき
$$ \|R(\lambda)-R_0\|\le\sum_{n\ge1}|\delta|^n\|R_0\|^{n+1}\le2|\delta|\,\|R_0\|^2 $$
なので、$R$ は $\lambda_0$ で連続である。thm-res-identity の 1 により、$\lambda\ne\lambda_0$ なら
$$ \frac{R(\lambda)-R(\lambda_0)}{\lambda-\lambda_0}=-R(\lambda)R(\lambda_0)\ \longrightarrow\ -R(\lambda_0)^2\qquad(\lambda\to\lambda_0) $$
である。よって $R$ は複素微分可能で、$R'=-R^2$ である。次に、$n\ge1$ について $R^{n}$ が微分可能で $(R^n)'=-nR^{n+1}$ であることを示す。
$$ R(\lambda)^{n}-R(\lambda_0)^{n}=\sum_{j=0}^{n-1}R(\lambda)^{j}\bigl(R(\lambda)-R(\lambda_0)\bigr)R(\lambda_0)^{n-1-j} $$
であり、$\lambda-\lambda_0$ で割って $\lambda\to\lambda_0$ とすると、$R$ の連続性と $R'=-R^2$ から、右辺の各項は $R(\lambda_0)^j\bigl(-R(\lambda_0)^2\bigr)R(\lambda_0)^{n-1-j}=-R(\lambda_0)^{n+1}$ に収束し、和は $-nR(\lambda_0)^{n+1}$ に収束する。これを使って $n$ についての帰納法で $\frac{d^n}{d\lambda^n}R=(-1)^nn!R^{n+1}$ を得る（$n$ のときの式をもう一度微分すると $(-1)^nn!\cdot(-(n+1))R^{n+2}$ になる）。最後に、$|f(Tx)|\le\|f\|\,\|T\|\,\|x\|$ だから、$\lambda\mapsto f(R(\lambda)x)$ も複素微分可能で、その導関数は $-f(R(\lambda)^2x)$ である。$\square$

Hilbert 空間の閉作用素について、この定理の 1 と 2 は Tes09 Theorem 2.15（p. 76）にある。2 の評価から、$\lambda$ がスペクトルに近づくとレゾルベントのノルムは必ず大きくなる。逆向きの不等式は一般には成り立たない（ex-res-matrix）。

有界作用素のレゾルベント

$A\in L(X)$ とする。$|\lambda|>\|A\|$ なら $\lambda\in\rho(A)$ であり、
$$ R(\lambda,A)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{A^n}{\lambda^{n+1}},\qquad\|R(\lambda,A)\|\le\frac{1}{|\lambda|-\|A\|} $$
である。とくに $\sigma(A)$ は円板 $\{\lambda\in\mathbb C\mid|\lambda|\le\|A\|\}$ に含まれるコンパクト集合である。

要点：$\lambda-A=\lambda(I-A/\lambda)$ に Neumann 級数を使う。

詳しい証明を開く

$\lambda-A=\lambda(I-A/\lambda)$ で $\|A/\lambda\|<1$ だから、Neumann 級数により $\lambda-A$ は $L(X)$ で可逆で、逆は $\lambda^{-1}\sum_{n\ge0}(A/\lambda)^n$ である。ノルムは $\sum_{n\ge0}\|A\|^n/|\lambda|^{n+1}=1/(|\lambda|-\|A\|)$ 以下である。$\sigma(A)$ は thm-res-analytic の 2 により閉集合で、いま示したことから有界なので、コンパクトである。$\square$

さらに、有界作用素 $A$ のスペクトルは空でない。これは Banach代数の記事の定理「スペクトルは非空コンパクト」を Banach 代数 $L(X)$（同記事の例「連続関数と有界作用素」）に使ったものである。$L(X)$ で可逆であることは、全単射で逆が有界であることにほかならないので、二つのスペクトルは一致する。証明の筋は次のとおりである。$\sigma(A)=\emptyset$ と仮定すると、$L(X)$ 上の連続線形汎関数 $\varphi$ について $\varphi(R(\lambda,A))$ は thm-res-analytic の 3 と同じ理由で $\mathbb C$ 全体で正則になり、cor-res-bounded の評価から $|\lambda|\to\infty$ で $0$ に近づく。Liouvilleの定理によりこれは恒等的に $0$ で、$\varphi$ は任意だから $R(\lambda,A)=0$ となり、$X\ne\{0\}$ に反する（Bre11 Proposition 11.30（p. 366）も主張を述べている）。有界でない作用素ではスペクトルが空になることも、$\mathbb C$ 全体になることもある（ex-res-derivative）。

一つのレゾルベントから読むスペクトル

有界でない $A$ を調べるとき、一つの $\lambda_0\in\rho(A)$ を固定して、有界作用素 $R(\lambda_0,A)$ のスペクトルに問題を移すことができる。

レゾルベントのスペクトルとの対応

$A$ を $X$ 上の線形作用素、$\lambda_0\in\rho(A)$、$R_0:=R(\lambda_0,A)$ とする。$\lambda\ne\lambda_0$ について $\mu:=1/(\lambda_0-\lambda)$ とおく。

$\lambda\in\rho(A)$ であることと、$\mu\in\rho(R_0)$ であることは同値である。このとき $R(\lambda,A)=\mu R_0R(\mu,R_0)$ である。
$\lambda_0-A$ は $\ker(\lambda-A)$ から $\ker(\mu-R_0)$ への線形同型を与え、その逆は $R_0$ である。とくに $\lambda$ が $A$ の固有値であることと、$\mu$ が $R_0$ の固有値であることは同値で、固有空間の次元は等しい。
したがって $\sigma(R_0)\setminus\{0\}=\{(\lambda_0-\lambda)^{-1}\mid\lambda\in\sigma(A)\}$ である。

$\lambda-A$ を $\mu-R_0$ と $\lambda_0-A$ の積に分ける

要点：$D(A)$ の上で $\lambda-A=\mu^{-1}(\mu-R_0)(\lambda_0-A)$ と分解し、全単射の合成として比べる。

詳しい証明を開く

$\lambda-\lambda_0=-1/\mu$ である。thm-res-analytic の証明と同じく、$x\in D(A)$ について$$(\lambda-A)x=(\lambda_0-A)x-\mu^{-1}x=\mu^{-1}(\mu-R_0)(\lambda_0-A)x$$が成り立つ（$R_0(\lambda_0-A)x=x$ を使う）。

1：$\mu\in\rho(R_0)$ なら、$\lambda-A$ は全単射 $\lambda_0-A\colon D(A)\to X$ と全単射 $\mu^{-1}(\mu-R_0)\colon X\to X$ の合成なので全単射で、逆写像 $\mu R_0R(\mu,R_0)$ は有界である。逆に $\lambda\in\rho(A)$ とする。上の式を $x=R_0y$（$y\in X$）に使うと $\mu-R_0=\mu(\lambda-A)R_0$ を得る。右辺は全単射 $R_0\colon X\to D(A)$ と全単射 $\lambda-A$ の合成なので、$\mu-R_0$ は全単射である。その逆写像は $\mu^{-1}(\lambda_0-A)R(\lambda,A)$ であり、$(\lambda_0-A)R(\lambda,A)=I+(\lambda_0-\lambda)R(\lambda,A)$ は有界だから、$\mu\in\rho(R_0)$ である。

2：上の式から、$x\in D(A)$ が $(\lambda-A)x=0$ をみたすことと、$y:=(\lambda_0-A)x$ が $(\mu-R_0)y=0$ をみたすことは同値である。$\lambda_0-A\colon D(A)\to X$ は全単射で逆は $R_0$ なので、主張を得る。

3：$\mu\ne0$ と $\lambda\ne\lambda_0$ は $\mu=1/(\lambda_0-\lambda)$ で一対一に対応し、$\lambda_0\notin\sigma(A)$ だから、1 から従う。$\square$

$\mu=0$ は $\lambda=\infty$ に当たる。$D(A)\ne X$ なら $R_0$ は全射でないので $0\in\sigma(R_0)$ である。同じ形の対応は、$A$ と $A^{-1}$ の間のものとして Tes09 Lemma 2.17（pp. 76–77）にもある。

コンパクトなレゾルベント

$X$ 上の線形作用素 $A$ が コンパクトなレゾルベント をもつとは、$\rho(A)\ne\emptyset$ で、ある $\lambda_0\in\rho(A)$ について $R(\lambda_0,A)$ がコンパクト作用素であることをいう。

コンパクトなレゾルベントをもつ作用素のスペクトル

$A$ がコンパクトなレゾルベントをもつとする。

すべての $\lambda\in\rho(A)$ について、$R(\lambda,A)$ はコンパクト作用素である。
$\sigma(A)$ は固有値だけからなり、各固有値の固有空間は有限次元である。
任意の $r>0$ について、$\{\lambda\in\sigma(A)\mid|\lambda|\le r\}$ は有限集合である。したがって $\sigma(A)$ は空集合か、有限集合か、$|\lambda_n|\to\infty$ となる列 $(\lambda_n)$ の値の集合である。

恒等式と対応をコンパクト作用素の理論に渡す

$R_0:=R(\lambda_0,A)$ をコンパクトとする。
1：thm-res-identity の 1 により $R(\lambda)=R_0+(\lambda_0-\lambda)R(\lambda)R_0$ である。コンパクト作用素の記事の定理「コンパクト作用素の全体は閉じたイデアル」により、有界作用素とコンパクト作用素の積はコンパクトで、コンパクト作用素の和もコンパクトなので、$R(\lambda)$ はコンパクトである。
2：$\lambda\in\sigma(A)$ なら $\lambda\ne\lambda_0$ で、$\mu:=1/(\lambda_0-\lambda)$ は thm-res-spectral-map の 1 により $\sigma(R_0)\setminus\{0\}$ に属する。コンパクト作用素の記事の定理「コンパクト作用素のスペクトル」の 1 により、$\mu$ は $R_0$ の固有値で、固有空間は有限次元である。thm-res-spectral-map の 2 により、$\lambda$ は $A$ の固有値で、$\dim\ker(\lambda-A)=\dim\ker(\mu-R_0)<\infty$ である。
3：$|\lambda|\le r$ なら $|\lambda_0-\lambda|\le r+|\lambda_0|$ なので、対応する $\mu$ は $|\mu|\ge1/(r+|\lambda_0|)$ をみたす。同じ定理の 2 により、そのような $R_0$ の固有値は有限個しかないので、$|\lambda|\le r$ の範囲にある $A$ の固有値も有限個である。$\square$

1 の議論は、コンパクト作用素を弱コンパクト作用素（閉単位球の像の弱閉包が弱コンパクトな有界作用素）に替えても通る。有界作用素は弱位相についても連続なので、弱コンパクト作用素と有界作用素の積や、二つの弱コンパクト作用素の和も弱コンパクトだからである（和については、二つの弱コンパクト集合の和が、直積の加法による像として弱コンパクトになることを使う）。⊙-回帰的の記事の定理「レゾルベントによる特徴づけ」で、一つの $\lambda$ での弱コンパクト性がすべての $\lambda\in\rho(A)$ に移るのはこの理由による。

例

行列のレゾルベント

$X=\mathbb C^2$、$A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ とする。$\lambda\ne0$ なら
$$ R(\lambda,A)=\begin{pmatrix}\lambda&-1\\0&\lambda\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}\lambda^{-1}&\lambda^{-2}\\0&\lambda^{-1}\end{pmatrix}=\frac{I}{\lambda}+\frac{A}{\lambda^2} $$
で、$\sigma(A)=\{0\}$ である。これは cor-res-bounded の級数で $A^2=0$ としたものである。$0<|\lambda|<1$ なら、$(1,2)$ 成分を見て $\|R(\lambda,A)\|\ge|\lambda|^{-2}$ であり、これは thm-res-analytic の 2 の下界 $1/\operatorname{dist}(\lambda,\sigma(A))=|\lambda|^{-1}$ より真に大きい。一般の行列でも、$R(\lambda,A)$ の成分は分母が固有多項式 $\det(\lambda I-A)$ の有理関数で、極は固有値に限られる（余因子行列による逆行列の公式から）。

対角作用素とコンパクトなレゾルベント

$X=\ell^2$（複素数列で 2 乗和が有限なもの）、$D(A):=\{x\in\ell^2\mid\sum_nn^2|x_n|^2<\infty\}$、$(Ax)_n:=nx_n$ とする。$\lambda\notin\{1,2,3,\dots\}$ なら、$y\in\ell^2$ について $x_n:=y_n/(\lambda-n)$ とおくと、$n/|\lambda-n|$ は有界なので $x\in D(A)$ で、$(\lambda-A)x=y$ である。単射性は明らかなので、
$$ R(\lambda,A)y=\Bigl(\frac{y_n}{\lambda-n}\Bigr)_{n\ge1},\qquad\|R(\lambda,A)\|=\sup_n\frac1{|\lambda-n|}=\frac1{\operatorname{dist}(\lambda,\{1,2,\dots\})} $$
である。各 $n$ は固有値（固有ベクトルは第 $n$ 単位ベクトル）なので $\sigma(A)=\{1,2,3,\dots\}$ である。$1/(\lambda-n)\to0$ だから、コンパクト作用素の記事の例「対角作用素」により $R(\lambda,A)$ はコンパクトで、thm-res-compact のとおり固有値は $\infty$ にだけ集積する。この例では thm-res-analytic の 2 の不等式が等号になる。

微分作用素：スペクトルが空の場合と全体の場合

$X=C([0,1])$（複素数値連続関数、上限ノルム）とする。

$D(A):=\{u\in C^1([0,1])\mid u(0)=0\}$、$Au:=u'$ とする。任意の $\lambda\in\mathbb C$ と $f\in X$ について、$(\lambda-A)u=f$、すなわち $u'=\lambda u-f$、$u(0)=0$ の解は
$$ u(x)=\bigl(R(\lambda,A)f\bigr)(x)=-\int_0^xe^{\lambda(x-t)}f(t)\,dt $$
だけである（$v:=e^{-\lambda x}u$ とおくと $v'=-e^{-\lambda x}f$、$v(0)=0$ となる）。$|u(x)|\le\max(1,e^{\operatorname{Re}\lambda})\,\|f\|_\infty$ なので逆は有界で、$\rho(A)=\mathbb C$、$\sigma(A)=\emptyset$ である。$R(0,A)$ は Volterra 型の積分作用素で、コンパクト作用素の記事の例「連続な核の積分作用素と Volterra 作用素」によりコンパクトである。thm-res-compact の 3 で空集合の場合にあたる。
境界条件を外して $D(A_1):=C^1([0,1])$、$A_1u:=u'$ とすると、すべての $\lambda$ について $e^{\lambda x}$ が固有値 $\lambda$ の固有ベクトルになるので、$\sigma(A_1)=\mathbb C$ である。

実 Banach 空間の場合

$X$ が $\mathbb R$ 上の Banach 空間のときは、$\lambda$ を実数に限ってレゾルベント集合とスペクトルを定義する（Bre11 §6.3、pp. 162–163）。prop-res-closed、thm-res-identity、thm-res-analytic の 1・2（$\mathbb C$ を $\mathbb R$ に替えたもの）、cor-res-bounded は、同じ証明でそのまま成り立つ。成り立たなくなるのはスペクトルの非空性である。$X=\mathbb R^2$ の $90^\circ$ 回転 $J=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ では $J^2=-I$ なので、すべての実数 $\lambda$ について
$$ (\lambda-J)(\lambda+J)=(\lambda^2+1)I,\qquad R(\lambda,J)=\frac{\lambda+J}{\lambda^2+1} $$
となり、実スペクトルは空である（Bre11 Remark 6（p. 163）も同じ例を挙げている）。

仮定を外すと成り立たなくなること

外す条件	反例	成り立たなくなること
スカラーが複素数	$\mathbb R^2$ の回転 $J$	有界作用素のスペクトルの非空性（実スペクトルが空）
$A$ が有界	ex-res-derivative の $A$ と $A_1$	スペクトルが空でないコンパクト集合であること（$\sigma(A)=\emptyset$、$\sigma(A_1)=\mathbb C$）
レゾルベントがコンパクト	$C([0,1])$ 上の掛け算 $(Mf)(t)=tf(t)$	thm-res-compact の 2・3（$\sigma(M)=[0,1]$ で、固有値はない）

反例の表の確かめ

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1 行目は前節の計算である。2 行目は ex-res-derivative である。$A$ は $\rho(A)\ne\emptyset$ なので prop-res-closed により閉作用素である。$A_1$ も閉作用素である（$u_n\to u$、$u_n'\to g$ がともに一様収束なら、$u_n(x)=u_n(0)+\int_0^xu_n'$ の極限から $u\in C^1$、$u'=g$ となる）。$u_n(x)=x^n$ は $\|u_n\|_\infty=1$、$\|u_n'\|_\infty=n$ で $D(A)\subset D(A_1)$ に属するので、どちらも有界でない。3 行目：$M$ は有界（$\|M\|=1$）である。$\lambda\notin[0,1]$ なら $1/(\lambda-t)$ は $[0,1]$ 上の連続関数で、それを掛ける作用素が $(\lambda-M)^{-1}$ である。$\lambda\in[0,1]$ なら $(\lambda-M)f$ は $t=\lambda$ で $0$ になるので、$\lambda-M$ は全射でなく、$\lambda\in\sigma(M)$ である。一方 $(\lambda-t)f(t)=0$ が全ての $t$ で成り立つなら、$t\ne\lambda$ で $f(t)=0$ で、連続性から $f=0$ なので、固有値はない。$M$ のレゾルベントは、thm-res-compact の 2 に反するのでコンパクトではない。

半群・自己共役作用素との関係

強連続な縮小半群の生成作用素 $A$ では、$\lambda>0$ が $\rho(A)$ に属し、レゾルベントは半群の Laplace 変換 $R(\lambda,A)x=\int_0^\infty e^{-\lambda t}T(t)x\,dt$ で与えられる（Hille–吉田の定理の命題「レゾルベントの Laplace 表示」）。逆に、定義域の稠密性とレゾルベントの評価 $\|R(\lambda,A)\|\le1/\lambda$（$\lambda>0$）から半群を作り直すのが Hille–吉田の定理の主定理であり、強連続半群の記事の定理「指数公式」はレゾルベントの冪の極限として半群を表す。
Hilbert 空間の自己共役作用素では、スペクトルは実数に含まれ、$\operatorname{Im}\lambda\ne0$ について $\|(T-\lambda)^{-1}\|\le1/|\operatorname{Im}\lambda|$ である（自己共役作用素の定理「自己共役作用素のスペクトル」）。有界な自己共役作用素のスペクトルの両端は、2 次形式の値の範囲から決まる（Rayleigh商）。