Hall–Littlewood多項式

段 1（勝ち数の不等式）．$d_{ij}$ を定数とし、$\prod_{1\le i< j\le n}(x_i-d_{ij}x_j)$ を展開する。各因子で $x_i$ か $x_j$ を選ぶことを、組 $\{i,j\}$ の試合で選んだ方が勝つと読むと、単項式の指数 $\beta$ の第 $i$ 成分は $i$ の勝ち数である。$k$ 個の添字の集合 $K$ について、$\sum_{i\in K}\beta_i$ は $K$ の内部の試合 $\binom{k}{2}$ と $K$ と外部の試合 $k(n-k)$ の勝ち数の和以下なので、$\beta$ を大きい順に並べた列 $\beta^{+}$ は $\beta^{+}_1+\cdots+\beta^{+}_k\le\delta_1+\cdots+\delta_k$ を満たす。また $\beta=\delta$ となるのは、$i< j$ のすべての組で $i$ が勝つ、すなわちすべての因子で $x_i$ を選ぶときに限る（$1$ は全勝し、次に $2$ は $1$ 以外に全勝し、以下同様）。

段 2（Schur 多項式による展開）．prf-hl-polynomial の $f$ の単項式は $x^{\lambda+\beta}$（$\beta$ は段 1 の形）であり、$a_\delta P_\lambda=\sum_{w^{\prime}}\operatorname{sgn}(w^{\prime})w^{\prime}(f)$ の単項式はその並べ替えである。Schur多項式 の定理「対称多項式の環の基底」の証明のとおり、交代多項式は $\sum_\gamma r_\gamma a_\gamma$（$\gamma$ は狭義減少、$r_\gamma$ は $x^\gamma$ の係数）と書ける。現れる $\gamma$ は $\lambda+\beta$ を並べ替えたもので、$\{1,\dots,n\}$ の $k$ 元部分集合 $K$ にわたる最大値をとると $$ \gamma_1+\cdots+\gamma_k=\max_K\sum_{i\in K}(\lambda_i+\beta_i)\le\max_K\sum_{i\in K}\lambda_i+\max_K\sum_{i\in K}\beta_i\le(\lambda+\delta)_1+\cdots+(\lambda+\delta)_k $$ である。よって $\mu:=\gamma-\delta$ は $\mu\le\lambda$ を満たす分割で、$P_\lambda=\sum_{\mu\le\lambda}r_{\mu+\delta}\,s_\mu$、$r_{\mu+\delta}\in\mathbb{Z}[t]$ である（主張の $c_{\lambda\mu}$ は $r_{\mu+\delta}$）。

段 3（$s_\lambda$ の係数）．$r_{\lambda+\delta}$ は $a_\delta P_\lambda$ における $x^{\lambda+\delta}$ の係数である。$w^{\prime}(f)$ の単項式 $w^{\prime}(x^{\lambda+\beta})$ が $x^{\lambda+\delta}$ になるなら、$\lambda+\beta$ は $\lambda+\delta$ の並べ替えなので、段 2 の不等式はすべての $k$ で等号になる。$\lambda+\beta$ の成分は相異なるので、$r$ 番目に大きい成分の添字を $\tau(r)$ とすると、上位 $k$ 個の添字の集合 $\{\tau(1),\dots,\tau(k)\}$ が $\lambda$ の和と $\beta$ の和の最大値を同時に与え、$k$ について差をとって $\lambda_{\tau(r)}=\lambda_r$、$\beta_{\tau(r)}=\delta_r$ を得る。よって $\tau\in S_n^\lambda$ であり、$x^{\lambda+\beta}=\tau(x^{\lambda+\delta})$ である。$w^{\prime}\tau(x^{\lambda+\delta})=x^{\lambda+\delta}$ で $\lambda+\delta$ の成分は相異なるから $w^{\prime}\tau=\mathrm{id}$、すなわち $w^{\prime}\in S_n^\lambda$ である。したがって寄与するのは単位元の剰余類（代表元 $\mathrm{id}$）だけで、その寄与は $f$ における $x^{\lambda+\delta}$ の係数、すなわち $\prod(x_i-d_{ij}x_j)$ の $x^\delta$ の係数である。段 1 によりこれはすべての因子で $x_i$ を選ぶ項だけから生じ、係数は $1$ である。よって $r_{\lambda+\delta}=1$ である。

段 4（単項対称多項式による展開）．交代多項式 $a_\delta m_\nu=\sum_w\operatorname{sgn}(w)x^{w\delta}\sum_\alpha x^\alpha$（$w\delta$ は $w(x^\delta)$ の指数で $\delta$ の並べ替え、$\alpha$ は $\nu$ の相異なる並べ替え）に段 2 と同じ評価（$w\delta$ の $k$ 成分の和は $\delta_1+\cdots+\delta_k$ 以下、$\alpha$ の $k$ 成分の和は $\nu_1+\cdots+\nu_k$ 以下）を当てると、現れる $a_\gamma$ は $\gamma-\delta\le\nu$ を満たし、$x^{\nu+\delta}$ の係数は $w=\mathrm{id}$、$\alpha=\nu$ の項だけから $1$ になる。よって $m_\nu=s_\nu+\sum_{\mu< \nu}(\text{整数})\,s_\mu$ であり、この対角成分 $1$ の三角行列を逆に解いて $s_\mu=m_\mu+\sum_{\nu< \mu}k_{\mu\nu}m_\nu$（$k_{\mu\nu}\in\mathbb{Z}$）を得るので、段 2・段 3 と合わせて $P_\lambda=m_\lambda+\sum_{\nu< \lambda}u_{\lambda\nu}m_\nu$、$u_{\lambda\nu}\in\mathbb{Z}[t]$ を得る。$m_\lambda$ の全体は $\mathbb{Z}[t][x]^{S_n}$ の $\mathbb{Z}[t]$ 基底であり（対称多項式）、$P_\lambda$ から $m_\lambda$ への変換行列は支配順序を細分した全順序について対角成分 $1$ の三角行列なので、$P_\lambda$ の全体も基底である。$\square$

段 1．$\Delta_t=(-1)^{n(n-1)/2}a_\delta^2\,(x_1\cdots x_n)^{-(n-1)}\prod_{i\ne j}(1-tx_i/x_j)^{-1}$ である（$\prod_{i< j}(1-x_i/x_j)(1-x_j/x_i)=\prod_{i< j}\bigl(-(x_i-x_j)^2/(x_ix_j)\bigr)$）。$a_\delta$ 以外の因子を $E$ とおくと $E$ は $S_n$ で不変である。prf-hl-specialization の等式 $a_\delta v_\mu P_\mu=\sum_w\operatorname{sgn}(w)w\bigl(x^\mu\prod_{i< j}(x_i-tx_j)\bigr)$ に $a_\delta E$ を掛け、$\operatorname{sgn}(w)a_\delta=w(a_\delta)$ を使うと $$ v_\mu P_\mu\Delta_t=\sum_{w\in S_n}w\Bigl(x^\mu\prod_{i< j}(x_i-tx_j)\,a_\delta E\Bigr)=\sum_{w\in S_n}w\Bigl(x^\mu\prod_{i< j}\frac{1-x_i/x_j}{1-tx_i/x_j}\Bigr) $$ を得る。最後の等号は組 $i< j$ ごとに $-(x_i-tx_j)(x_i-x_j)/(x_ix_j)=(1-tx_j/x_i)(1-x_i/x_j)$ を使って約したものである。

段 2．$y=x_i/x_j$ について $(1-y)/(1-ty)=1+\sum_{r\ge1}(t^r-t^{r-1})y^r$ なので、$x^\mu\prod_{i< j}(1-x_i/x_j)/(1-tx_i/x_j)=\sum_\nu c_\nu x^{\mu+\nu}$ と書ける。ここで $\nu$ は $e_i-e_j$（$i< j$）の非負整数結合にわたり、$c_0=1$、$c_\nu\in\mathbb{Z}[t]$ である（各 $\nu$ への寄与は有限個）。$\gamma\in\mathbb{Z}^n$ に対し、$\gamma$ を大きい順に並べた列を $\gamma^{+}$ とし、広義減少列 $\kappa\in\mathbb{Z}^n$ に対し $m_\kappa$ をその並べ替え全体にわたる $x^{\kappa^{\prime}}$ の和（軌道和）とすると、$\sum_ww(x^\gamma)=|S_n^{\gamma}|\,m_{\gamma^{+}}$ である（$S_n^\gamma$ は $\gamma$ の固定群）。$\nu$ を加えることも、大きい成分を前へ並べ替えることも、部分和 $\gamma_1+\cdots+\gamma_k$ を減らさないので、現れる $\kappa=(\mu+\nu)^{+}$ は支配順序（同じ総和で部分和を比べる）で $\kappa\ge\mu$ を満たし、$\kappa=\mu$ となるのは $\nu=0$ のときだけである。よって $v_\mu P_\mu\Delta_t=\sum_{\kappa\ge\mu}B_{\mu\kappa}m_\kappa$、$B_{\mu\mu}=|S_n^\mu|$ と書ける（$t$ の各次数で有限和）。

段 3．$f=\sum_\alpha f_\alpha x^\alpha$、$g=\sum_\alpha g_\alpha x^\alpha$ なら $\operatorname{CT}(f\bar g)=\sum_\alpha f_\alpha g_\alpha$ なので、$\operatorname{CT}(m_\nu\overline{m_\kappa})=\delta_{\nu\kappa}\,n!/|S_n^\nu|$ である。thm-hl-triangular の $P_\lambda=\sum_{\nu\le\lambda}u_{\lambda\nu}m_\nu$（$u_{\lambda\lambda}=1$）と段 2 から $$ v_\mu\langle P_\lambda,P_\mu\rangle^{\prime}_t=\frac{1}{n!}\operatorname{CT}\bigl(P_\lambda\,\overline{v_\mu P_\mu\Delta_t}\bigr)=\sum_{\mu\le\nu\le\lambda}\frac{u_{\lambda\nu}B_{\mu\nu}}{|S_n^\nu|} $$ である（$\bar\Delta_t=\Delta_t$ を使った）。$\mu\le\nu\le\lambda$ となる $\nu$ がなければ $0$ であり、これは $\lambda\ne\mu$ で $\mu\le\lambda$ が成り立たないときに当たる。$\lambda\ne\mu$ で $\mu< \lambda$ のときは、内積の対称性により $\lambda$ と $\mu$ を入れ替えて同じ式を使えば $0$ である。$\lambda=\mu$ のときは $\nu=\lambda$ の項だけが残り、$u_{\lambda\lambda}B_{\lambda\lambda}/|S_n^\lambda|=1$ となる。$v_\lambda(0)=1$ なので $v_\lambda$ は $\mathbb{Z}[\![t]\!]$ で可逆であり、主張を得る。$\square$