合同関係(普遍代数)

1 ならば 2：$k\neq i$ では $a_k=b_k=c_k$（反射律で $c_k\,\theta\,c_k$）、$a_i=a$、$b_i=b$ として合同関係の条件を使えばよい。
2 ならば 1：$a_k\,\theta\,b_k$（$1\le k\le n$）とし、$0\le j\le n$ について $d_j:=f(b_1,\dots,b_j,a_{j+1},\dots,a_n)$ とおく。$d_{j-1}$ と $d_j$ は第 $j$ 変数だけが $a_j$ と $b_j$ で異なるので、2 により $d_{j-1}\,\theta\,d_j$ である。推移律により $f(a_1,\dots,a_n)=d_0\,\theta\,d_n=f(b_1,\dots,b_n)$ である。$\square$

1：商代数の演算の定義 $f([a_1],\dots,[a_n])=[f(a_1,\dots,a_n)]$ は、$\nu_\theta(f(a_1,\dots,a_n))=f(\nu_\theta(a_1),\dots,\nu_\theta(a_n))$ ということなので、$\nu_\theta$ は準同型であり、明らかに全射である。$\nu_\theta(a)=\nu_\theta(b)$ は $[a]=[b]$、すなわち $a\,\theta\,b$ と同値である。
2：$\ker h$ は $h$ の値が等しいという関係なので同値関係である。$h(a_k)=h(b_k)$（$1\le k\le n$）なら
$$ h(f(a_1,\dots,a_n))=f(h(a_1),\dots,h(a_n))=f(h(b_1),\dots,h(b_n))=h(f(b_1,\dots,b_n)) $$
なので合同関係である。後半は 1 と合わせて従う。
3：$[a]=[a']$ なら $(a,a')\in\theta\subset\ker h$ なので $h(a)=h(a')$ であり、$\bar h([a]):=h(a)$ は矛盾なく定まる。$\bar h(f([a_1],\dots,[a_n]))=h(f(a_1,\dots,a_n))=f(h(a_1),\dots,h(a_n))=f(\bar h([a_1]),\dots,\bar h([a_n]))$ なので準同型である。$\bar h\circ\nu_\theta=h$ を満たす写像は $[a]$ での値が $h(a)$ に決まるので、ただ一つである。$\bar h$ が単射であることは「$h(a)=h(b)$ なら $[a]=[b]$」、すなわち $\ker h\subset\theta$ と同値であり、仮定 $\theta\subset\ker h$ と合わせて $\theta=\ker h$ と同値である。
4：3 を $\theta=\ker h$ に当てると、$\bar h\colon A/\ker h\to B$ は単射な準同型で、像は $h(A)$ である。$\bar h$ を $h(A)$ への写像とみると全単射な準同型であり、その逆写像も演算を保つ（$\bar h$ の式を逆にたどればよい）ので同型である。$\square$

1：同値関係の共通部分は同値関係である（同値関係 の命題「同値関係の共通部分」）。$a_k\,\theta_i\,b_k$ がすべての $i$ と $k$ で成り立てば、各 $\theta_i$ が合同関係なので $f(a_1,\dots,a_n)\,\theta_i\,f(b_1,\dots,b_n)$ がすべての $i$ で成り立つ。共通部分は各 $\theta_i$ に含まれ、すべての $\theta_i$ に含まれる合同関係は共通部分に含まれるので下限である。
2：$m=0$ の鎖から $\psi$ は反射的であり、鎖を逆にたどれば（各 $\theta_{i_j}$ は対称なので）対称的で、二つの鎖をつなげば推移的である。$m=1$ の鎖から $\theta_i\subset\psi$ である。合同関係であることは prop-cong-one-place の 2 で確かめる。$a\,\psi\,b$ を与える鎖 $x_0,\dots,x_m$ をとり、$f$ の第 $i$ 変数以外を $c_k$ に固定した元 $y_j:=f(c_1,\dots,x_j,\dots,c_n)$ を考えると、$\theta_{i_j}$ が合同関係なので $y_{j-1}\,\theta_{i_j}\,y_j$ であり、$y_0,\dots,y_m$ は $f(\dots,a,\dots)$ と $f(\dots,b,\dots)$ を結ぶ鎖になる。最後に、すべての $\theta_i$ を含む同値関係 $\chi$ は、鎖の各段 $x_{j-1}\,\chi\,x_j$ と推移律から $\psi\subset\chi$ を満たすので、$\psi$ は上限である。
$I=\emptyset$ のときは、下限は $\nabla_A$、上限は $\Delta_A$（2 の $\psi$ で $m=0$ の鎖だけが残る）であり、どちらも合同関係である。よって任意の族が下限と上限をもつ。$\square$

1：$\theta\subset\psi=\ker\nu_\psi$ なので、thm-cong-quotient の 3 により $q([a]_\theta)=[a]_\psi$ となる準同型 $q\colon A/\theta\to A/\psi$ があり、全射である。$q([a]_\theta)=q([b]_\theta)$ は $(a,b)\in\psi$、すなわち $([a]_\theta,[b]_\theta)\in\psi/\theta$ と同値なので、$\psi/\theta=\ker q$ であり、thm-cong-quotient の 2 により合同関係である。同じ定理の 4 により $(A/\theta)/\ker q\cong q(A/\theta)=A/\psi$ である。
2：$\varphi\in\operatorname{Con}(A/\theta)$ について $\varphi^\ast:=\{(a,b)\mid([a]_\theta,[b]_\theta)\in\varphi\}$ とおく。これは準同型 $\nu_\varphi\circ\nu_\theta\colon A\to(A/\theta)/\varphi$ の核なので合同関係であり、$\varphi$ の反射性から $\theta\subset\varphi^\ast$ である。定義から $\varphi^\ast/\theta=\varphi$ であり、$\theta\subset\psi$ なら上の注意から $(\psi/\theta)^\ast=\psi$ である。よって $\psi\mapsto\psi/\theta$ と $\varphi\mapsto\varphi^\ast$ は互いに逆の写像で、どちらも定義から包含を保つ。$\square$

1：$a,b\in N_\theta$ なら $ab\,\theta\,ee=e$、$a^{-1}\,\theta\,e^{-1}=e$ なので $N_\theta$ は部分群である。$g\in G$ について $gag^{-1}\,\theta\,geg^{-1}=e$ なので正規である。$a\,\theta\,b$ なら $a^{-1}b\,\theta\,a^{-1}a=e$ であり、逆に $a^{-1}b\,\theta\,e$ なら $b=a(a^{-1}b)\,\theta\,ae=a$ である。
2：$a^{-1}a=e\in N$、$a^{-1}b\in N\Rightarrow b^{-1}a=(a^{-1}b)^{-1}\in N$、$a^{-1}b,b^{-1}c\in N\Rightarrow a^{-1}c\in N$ より同値関係である。$a\,\theta_N\,b$、$c\,\theta_N\,d$ とすると
$$ (ac)^{-1}(bd)=c^{-1}(a^{-1}b)c\cdot c^{-1}d\in N $$
であり（$N$ の正規性）、$n:=a^{-1}b$ について $(a^{-1})^{-1}b^{-1}=ab^{-1}=a\,n^{-1}a^{-1}\in N$ である。よって $\theta_N$ は積と逆元と両立する。$[e]_{\theta_N}=\{b\mid e^{-1}b\in N\}=N$ である。
3：1 から $\theta=\theta_{N_\theta}$、2 から $N_{\theta_N}=N$ である。包含を保つことは定義から分かる。$a$ の $\theta_N$ での類は $\{b\mid a^{-1}b\in N\}=aN$ なので、$G/\theta_N$ は剰余類 $aN$ の集合で、演算は $(aN)(bN)=abN$ となり剰余群に一致する。$\square$