Cauchy列

概要

距離空間 $(X, d)$ における点列 $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ がCauchy列（コーシー列）であるとは、以下の条件を満たすことをいう。

Cauchy列の定義

任意の正の実数 $\epsilon > 0$ に対して、ある自然数 $N$ が存在して、
$N$ 以上の任意の自然数 $n, m$ に対して、
$$d(x_n, x_m) < \epsilon$$
が成り立つ。

この定義は、「十分先まで進めば、点列の要素たちが互いに密集して団子状態になる」ことを意味している。

Cauchy列の概念は、収束の概念と非常によく似ているが、決定的な違いがある。

収束列: 「目的地（極限値 $x$）」が決まっており、全員がそこに向かって近づく列。
- 条件: $d(x_n, x) < \epsilon$
Cauchy列: 「目的地」があるかどうかは不明だが、メンバー同士の距離が縮まっていく列。
- 条件: $d(x_n, x_m) < \epsilon$
  「目的地が存在するならば（収束するならば）、メンバー同士は近づくはずである（Cauchyである）」ことは三角不等式から容易に示せる。

収束列はCauchy列である

任意の距離空間において、収束する点列は必ずCauchy列である。
$$x_n \to x \implies \{x_n\} \text{ is Cauchy}$$

しかし、逆（Cauchy列ならば収束するか？）は一般には成り立たない。ここが解析学における最も重要な分岐点となる。

Cauchy列が収束しない現象は、空間に「穴」が開いていることの現れである。

完備性 (Completeness)

距離空間 $X$ において、任意のCauchy列が $X$ 内の点に収束するとき、$X$ は完備であるという。

つまり、Cauchy列とは「本来収束すべき列」の候補であり、完備な空間とは「その収束先をちゃんと用意してくれている空間」のことである。

Cauchy列の概念を理解するには、有理数（穴がある）と実数（穴がない）の対比を見るのが最も効果的である。

有理数体 $\mathbb{Q}$ における反例

$X = \mathbb{Q}$ （通常の距離）とする。
$\sqrt{2}$ に収束する有理数列 $\{x_n\}$ を考える（例えば、$\sqrt{2}$ の十進展開の近似値列 $1, 1.4, 1.41, 1.414, \dots$）。

Cauchy性:
$n, m$ が大きくなれば、桁数が一致していくため、差 $|x_n - x_m|$ はいくらでも小さくなる。したがってこれはCauchy列である。
非収束性:
この列が $\mathbb{Q}$ 内で収束すると仮定すると、その極限は $q^2 = 2$ を満たす有理数 $q$ でなければならないが、そのような有理数は存在しない。

したがって、$\mathbb{Q}$ はCauchy列なのに収束しない列を持つため、完備ではない。

実数体 $\mathbb{R}$

実数の定義そのものが「有理数のCauchy列の極限をすべて付け加えたもの（完備化）」として構成されることが多い。したがって、$\mathbb{R}$ においては「収束すること」と「Cauchy列であること」は同値である（Cauchyの収束判定法）。

Cauchy列の概念は、距離空間以外にも拡張されている。

位相空間での扱い

一般の位相空間では、単に「Cauchy列」を定義することはできない（距離がないため）。しかし、以下のような構造があれば定義可能である。

位相ベクトル空間: 原点の近傍系を用いて定義可能。
一様空間: 近縁（Entourage）を用いて定義可能。
- 一様空間におけるCauchy列（あるいはCauchyネット、Cauchyフィルター）の概念は、距離空間の自然な拡張となっている。