Cauchy列
概要
Cauchy列（Cauchy sequence）とは、距離空間 $(X,d)$ の点列 $(x_n)$ であって、任意の $\varepsilon>0$ に対しある $N$ が存在し、$m,n\ge N$ ならば $d(x_m,x_n)<\varepsilon$ となるもののことであり、基本列ともいう。極限の候補を指定せず、十分先の項どうしが互いにいくらでも近いことだけを要求するので、収束列は必ず Cauchy列であるが、$\sqrt{2}$ に近づく有理数列のように、Cauchy列であっても空間内に極限を持たないことがある。任意の Cauchy列が収束する距離空間を完備といい、$\mathbb{R}$ は完備である。Cauchy列は有界であり、収束する部分列を一つ持てば全体が収束し、一様連続写像によって Cauchy列に写される。
定義
距離空間 $(X,d)$ の点列 $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ が Cauchy列（Cauchy sequence）であるとは、任意の実数 $\varepsilon>0$ に対し、ある $N\in\mathbb{N}$ が存在して、
$$
m,n\ge N \quad\Longrightarrow\quad d(x_m,x_n)<\varepsilon
$$
となることをいう。基本列（fundamental sequence）ともいう。量化記号で書けば
$$
\forall\varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall m,n\in\mathbb{N}\ \bigl(m,n\ge N\Longrightarrow d(x_m,x_n)<\varepsilon\bigr)
$$
である。実数（実数）列・複素数（複素数）列については $d(x,y)=|x-y|$ をとる。
定義で重要なのは、同じ $N$ が第 $N$ 項以後のすべての二項 $x_m,x_n$ に同時に使えることである。隣り合う項の距離 $d(x_{n+1},x_n)$ が $0$ に近づくだけでは足りない（ex-cauchy-harmonic）。
$(x_n)$ が Cauchy列でないことは、
$$
\exists\varepsilon_0>0\ \forall N\in\mathbb{N}\ \exists m,n\ge N\ \bigl(d(x_m,x_n)\ge\varepsilon_0\bigr)
$$
と言い換えられる。すなわち、どれほど先へ進んでも、固定した幅 $\varepsilon_0$ 以上離れた二項が見つかるということである。
直感
数列の極限の定義では、目標となる点 $x$ を先に指定し、各項 $x_n$ が $x$ に近づくこと（$d(x_n,x)<\varepsilon$）を調べる。しかし極限をまだ知らない段階では、この方法は直接使えない。Cauchy列の条件は、極限候補の代わりに、列の十分先にある項どうしが互いに近いこと（$d(x_m,x_n)<\varepsilon$）を調べる。収束列では全員が同じ目的地の近くにいるので、項どうしも近い。逆に、項どうしが近づいても、その「集まる先」が空間の中にあるとは限らない。$\sqrt2$ に近づく有理数列は、有理数の中では極限を持たない。
この差が、空間に「穴」があるかどうかを検出する。すべての Cauchy列が空間内で収束する空間が完備距離空間であり、Cauchy列は「収束に必要な列側の条件」と「極限を受け止める空間側の条件」を分離する道具である。実数全体 $\mathbb{R}$ は完備であり、これは実数の連続性の一つの表現である。
例と反例
実数列 $x_n=1/(n+1)$ は Cauchy列である。実際、$m,n\ge N$ なら
$$
|x_m-x_n|\le|x_m|+|x_n|\le\frac{2}{N+1}
$$
であり、$\varepsilon>0$ に対し $2/(N+1)<\varepsilon$ となる $N$ をとればよい。この列は $0$ に収束するので、prop-cauchy-convergent からも Cauchy列であることが従う。
$x_n$ を $\sqrt2$ の十進展開（十進展開）を小数第 $n$ 位で切り捨てた数とする（$x_0=1,\ x_1=1.4,\ x_2=1.41,\ x_3=1.414,\ \ldots$）。各 $x_n$ は有理数であり、$m\ge n$ なら $0\le x_m-x_n<10^{-n}$ なので、$\varepsilon>0$ に対し $10^{-N}<\varepsilon$ となる $N$ をとれば $m,n\ge N$ で $|x_m-x_n|<\varepsilon$ となる。よって $(x_n)$ は距離 $d(x,y)=|x-y|$ に関する $\mathbb{Q}$ の Cauchy列である。
しかし $(x_n)$ は $\mathbb{Q}$ の中では収束しない。実数の中では $x_n\to\sqrt2$ であり、$\mathbb{Q}$ 内の極限 $q$ が存在すれば、$\mathbb{R}$ における極限の一意性から $q=\sqrt2$ となるが、$\sqrt2$ は有理数でない。したがって $\mathbb{Q}$ は完備でない。Cauchy性は同じ距離式 $|x-y|$ だけで判定できるが、収束先が空間に属するかどうかは空間側で決まる。
実数列 $x_n=1+\frac12+\cdots+\frac1n$（$x_0=0$）は、隣接項の差 $|x_{n+1}-x_n|=1/(n+1)$ が $0$ に収束するという性質を満たすが、Cauchy列であるという性質を満たさない。したがって「隣接項の差が $0$ に収束する $\Rightarrow$ Cauchy列」という含意は成り立たない。実際、任意の $N\ge1$ に対し
$$
x_{2N}-x_N=\frac1{N+1}+\cdots+\frac1{2N}\ge N\cdot\frac1{2N}=\frac12
$$
なので、$\varepsilon_0=1/2$ に対して rem-cauchy-negation の条件が満たされる。これは調和級数が発散（発散）することの証明でもある。
実数列 $x_n=(-1)^n$ は有界であるという性質を満たすが、Cauchy列であるという性質を満たさない。したがって prop-cauchy-bounded の逆「有界 $\Rightarrow$ Cauchy列」は成り立たない。実際、任意の $N$ に対し $m=N+1$, $n=N$ とすると $|x_m-x_n|=2$ であり、$\varepsilon_0=1$ で rem-cauchy-negation の条件が満たされる。同様に $x_n=n$ も Cauchy列でない（$|x_{N+1}-x_N|=1$）。
$\mathbb{R}$ 上の通常の距離 $d(x,y)=|x-y|$ と、$\rho(x,y):=|\arctan x-\arctan y|$ は同じ位相を定める（$\arctan$ は $\mathbb{R}$ から $(-\pi/2,\pi/2)$ への同相写像である）。列 $x_n=n$ は、$\rho$ に関して Cauchy列であるという性質を満たす（$\arctan n\to\pi/2$ は $\mathbb{R}$ の収束列なので $(\arctan n)$ は Cauchy列である）が、$d$ に関して Cauchy列であるという性質を満たさない。したがって Cauchy性は距離だけから決まり位相だけからは決まらず、「同じ位相を定める距離は同じ Cauchy列を持つ」という主張は成り立たない。また $(\mathbb{R},\rho)$ は完備でない（$x_n=n$ の $\rho$ に関する極限は $\mathbb{R}$ 内に存在しない）ので、完備性も位相不変ではない。
性質
任意の距離空間において、収束する点列は Cauchy列である。
$x_n\to x$ とする。$\varepsilon>0$ に対し、ある $N$ が存在して $n\ge N$ なら $d(x_n,x)<\varepsilon/2$ となる。$m,n\ge N$ なら三角不等式から
$$
d(x_m,x_n)\le d(x_m,x)+d(x,x_n)<\frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2=\varepsilon
$$
である。よって $(x_n)$ は Cauchy列である。$\square$
逆は一般の距離空間では成り立たず、ex-cauchy-rational-sqrt-two が反例である。すべての Cauchy列について逆を保証する空間側の性質が完備性である。
距離空間の Cauchy列 $(x_n)$ は有界である。すなわち、ある $p\in X$ と $R>0$ が存在して、すべての $n$ で $d(x_n,p)\le R$ となる。
$\varepsilon=1$ に対する Cauchy条件から、ある $N$ が存在して $m,n\ge N$ なら $d(x_m,x_n)<1$ となる。特に $n\ge N$ なら $d(x_n,x_N)<1$ である。有限個の数 $d(x_0,x_N),\ldots,d(x_{N-1},x_N)$ と $1$ の最大値を $R$ とすれば、すべての $n$ で $d(x_n,x_N)\le R$ となる。$p:=x_N$ とすればよい。$\square$
距離空間の Cauchy列 $(x_n)$ について、次が成り立つ。
- $(x_n)$ の任意の部分列は Cauchy列である。
- $(x_n)$ が $x$ に収束する部分列を一つでも持てば、$(x_n)$ 自身が $x$ に収束する。
- $(x_{n_k})_{k\in\mathbb{N}}$ を部分列とする（$n_0< n_1<\cdots$）。$\varepsilon>0$ に対し、$m,n\ge N$ なら $d(x_m,x_n)<\varepsilon$ となる $N$ をとる。添字は $n_k\ge k$ を満たすので、$k,\ell\ge N$ なら $n_k,n_\ell\ge N$ であり、$d(x_{n_k},x_{n_\ell})<\varepsilon$ となる。
- $x_{n_k}\to x$ とし、$\varepsilon>0$ をとる。Cauchy性から、ある $N$ が存在して $m,n\ge N$ なら $d(x_m,x_n)<\varepsilon/2$ となる。部分列の収束から、ある $K$ が存在して $k\ge K$ なら $d(x_{n_k},x)<\varepsilon/2$ となる。$k\ge K$ かつ $n_k\ge N$ を満たす $k$ を一つ固定する（$n_k\ge k$ なので $k\ge\max\{K,N\}$ とすればよい）。任意の $n\ge N$ に対し
$$ d(x_n,x)\le d(x_n,x_{n_k})+d(x_{n_k},x)<\frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2=\varepsilon $$
となる。よって $x_n\to x$ である。$\square$
距離空間の点列 $(x_n)$ に対し、第 $N$ 項以後の値の集合を $T_N:=\{x_n\mid n\ge N\}$ とおく。$(x_n)$ が Cauchy列であることと、直径 $\operatorname{diam}(T_N)=\sup\{d(x_m,x_n)\mid m,n\ge N\}$ が $N\to\infty$ のとき $0$ に収束すること（ある $N$ 以後 $T_N$ が有界で、$\operatorname{diam}(T_N)\to0$）とは同値である。
$(x_n)$ が Cauchy列なら、$\varepsilon>0$ に対し、Cauchy条件を $\varepsilon/2$ に適用して得られる $N_0$ について、$N\ge N_0$ ならすべての $m,n\ge N$ で $d(x_m,x_n)<\varepsilon/2$ であり、$\operatorname{diam}(T_N)\le\varepsilon/2<\varepsilon$ となる。よって $\operatorname{diam}(T_N)\to0$ である。
逆に $\operatorname{diam}(T_N)\to0$ なら、$\varepsilon>0$ に対し $\operatorname{diam}(T_N)<\varepsilon$ となる $N$ がある。$m,n\ge N$ なら $x_m,x_n\in T_N$ なので $d(x_m,x_n)\le\operatorname{diam}(T_N)<\varepsilon$ である。よって Cauchy列である。$\square$
$(X,d_X)$, $(Y,d_Y)$ を距離空間、$f\colon X\to Y$ を一様連続な写像とする。$(x_n)$ が $X$ の Cauchy列ならば、$(f(x_n))$ は $Y$ の Cauchy列である。
$\varepsilon>0$ をとる。一様連続性から、ある $\delta>0$ が存在して、$d_X(x,x')<\delta$ ならば $d_Y(f(x),f(x'))<\varepsilon$ となる。Cauchy性から、ある $N$ が存在して $m,n\ge N$ なら $d_X(x_m,x_n)<\delta$ となる。よって $m,n\ge N$ なら $d_Y(f(x_m),f(x_n))<\varepsilon$ である。$\square$
prop-cauchy-uniform-continuity の一様連続性は単なる連続写像の連続性では置き換えられない。開区間 $(0,1)$ に通常の距離を入れ、$f(x)=1/x$ とする。$f$ は連続であるという性質を満たすが、Cauchy列 $x_n=1/(n+2)$ の像 $f(x_n)=n+2$ は Cauchy列でない（ex-cauchy-alternating と同様）。したがって「連続 $\Rightarrow$ Cauchy列を保つ」という含意は成り立たない。$f$ は $(0,1)$ 上で一様連続でないことがこの反例の要点である。
実数列 $(x_n)$ について、$(x_n)$ が収束することと $(x_n)$ が Cauchy列であることとは同値である。すなわち $\mathbb{R}$ は完備である。
収束すれば Cauchy列であることは prop-cauchy-convergent による。逆に $(x_n)$ を Cauchy列とすると、prop-cauchy-bounded により有界である。Bolzano–Weierstrassの定理（有界な実数列は収束する部分列を持つ。これは実数の連続性から従う標準的な事実であり、本記事では証明を割愛して Rud76 Theorem 3.6 を引用する。証明は点列の記事にある）により、$(x_n)$ は収束する部分列を持つ。よって prop-cauchy-subsequence (2) により $(x_n)$ 自身が収束する。$\square$
実数の級数 $\sum_{n=0}^\infty a_n$ が収束することと、任意の $\varepsilon>0$ に対しある $N$ が存在して、$m>n\ge N$ なら $|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots+a_m|<\varepsilon$ となることとは同値である。
部分和 $s_n:=\sum_{k=0}^{n}a_k$ について $s_m-s_n=a_{n+1}+\cdots+a_m$（$m>n$）であるから、条件は $(s_n)$ が Cauchy列であることと同値であり、thm-cauchy-real-criterion によりそれは $(s_n)$ の収束、すなわち級数の収束と同値である。$\square$
級数の収束には $a_n\to0$ だけでは足りず、尾部の和 $a_{n+1}+\cdots+a_m$ を制御する必要がある。調和級数がその反例である（ex-cauchy-harmonic）。
補足
完備化。 完備でない距離空間 $X$ に対し、Cauchy列の「不足している極限」を形式的に付け加える構成が、完備距離空間 の定義「距離空間の完備化」である。$X$ の Cauchy列 $(x_n)$, $(y_n)$ を $d(x_n,y_n)\to0$ のとき同一視し、その同値類（同値類）を新しい点とする。$X$ の点 $x$ は定数列 $(x,x,\ldots)$ の類として埋め込まれる。通常の距離を入れた $\mathbb{Q}$ にこの構成を行うと $\mathbb{R}$ が得られ、これは実数の構成の一つの方法である（Rud76 Chapter 3, Exercise 24; Mun00 §43）。$\mathbb{Q}$ にp進距離を入れて完備化するとp進数が得られる。同じ有理数列でも通常の距離と $p$ 進距離では Cauchy性の成否は異なりうる。Cauchy性が距離の取り方に依存する点はex-cauchy-metric-choiceと同じである。
一般化。 ノルム空間では $d(x,y)=\|x-y\|$ に関する Cauchy列を考え、完備なノルム空間をBanach空間という。距離のない一般の位相空間では Cauchy列を定義できないが、位相ベクトル空間では原点の近傍系（近傍系）を使って、一様空間では近縁（entourage）を使って Cauchy列を定義でき、さらにCauchyネット・Cauchyフィルターへ一般化される。距離空間の完備性は、Cantorの共通部分定理（直径が $0$ に収束する空でない閉集合（閉集合）の減少列は共通点をただ一つ持つ）によっても特徴づけられる（Mun00 §43, Tak83 第1章）。
使われ方。 実解析では、極限値を先に知らずに数列・関数列（関数列）・級数の収束を判定する（thm-cauchy-real-criterion, cor-cauchy-series-criterion）。関数解析では、近似解の列を Cauchy列として構成し、Banach空間の完備性から解の存在を得る。数値解析では、近似値どうしの差を監視する停止判定が Cauchy条件に似ているが、有限個の差が小さいだけでは収束を保証しない。
関連項目
参考文献
Mathpediaは寄付と、参考文献の書籍リンク（Amazonアソシエイト）の紹介料で運営されています。 支援について ／ 寄付する
