開写像

同義語：open mapopen mapping

概要

前提知識: 位相空間, 連続写像, 直積位相, 相対位相

連続写像は「開集合の逆像が開集合になる」写像である。向きを逆にして「開集合の像が開集合になる」ことを要求すると、開写像の概念が得られる。開写像は開集合をつぶさない写像であり、直積の射影、被覆写像、群の作用による商への射影など、空間を「上から見下ろす」写像の多くがこの性質をもつ。連続性とは独立な条件で、連続で開でない写像も、開で連続でない写像もある。開写像は、連続な全射が商写像になるための十分条件や、連続な全単射が同相写像になるための条件として働く。また解析学の「開写像定理」（定数でない正則関数、Banach 空間の間の全射有界線形写像）は、ある種の写像が開写像であると主張する定理である。

定義

開写像

$X,Y$ を位相空間とする。写像 $f\colon X\to Y$ が開写像（open map、open mapping）であるとは、$X$ の任意の開集合 $U$ について、像 $f(U)=\{f(x)\mid x\in U\}$ が $Y$ の開集合であることをいう。

定義は $f$ の連続性を仮定しない。連続でもある場合は「連続な開写像」と書いて区別する。閉集合の像が閉集合になる写像を閉写像といい、開写像とは別の条件である。ただし全単射に対しては両者は同値になる（閉写像の命題「全単射では閉写像と開写像が一致する」）。
補集合をとって開と閉を入れ替える議論は、逆像については $f^{-1}(Y\setminus V)=X\setminus f^{-1}(V)$ で成り立つが、像については $f(X\setminus U)$ と $Y\setminus f(U)$ が一般に違うので成り立たない。これが、連続性が開集合でも閉集合でも言い換えられるのに、開写像と閉写像が別の概念になる理由である。

判定法

開写像であることは、各点の近くで確かめられる。

開写像の判定

写像 $f\colon X\to Y$ について、次は同値である。

$f$ は開写像である。
$X$ の任意の開集合 $U$ と任意の $x\in U$ について、$f(U)$ は $f(x)$ の近傍である（$f(x)\in V\subset f(U)$ となる開集合 $V$ がある）。
$X$ のある開基 $\mathcal{B}$ について、すべての $W\in\mathcal{B}$ で $f(W)$ が開集合である。
$X$ の任意の部分集合 $A$ について $f(\operatorname{Int}A)\subset\operatorname{Int}f(A)$ である（$\operatorname{Int}$ は内部）。
$X,Y$ が距離空間なら、これらは次とも同値である。
任意の $x\in X$ と $\varepsilon>0$ について、$\delta>0$ があって $B(f(x),\delta)\subset f(B(x,\varepsilon))$ となる。

1 ⇒ 2：$V=f(U)$ とすればよい。2 ⇒ 1：$f(U)$ の各点 $f(x)$ について $f(x)\in V_x\subset f(U)$ となる開集合 $V_x$ があるので、$f(U)=\bigcup_xV_x$ は開集合である。
1 ⇒ 3 は明らかである。3 ⇒ 1：開集合 $U$ は $\mathcal{B}$ の元の和集合 $U=\bigcup_iW_i$ と書け、像は和集合と交換する（$f(\bigcup_iW_i)=\bigcup_if(W_i)$）ので、$f(U)$ は開集合の和集合として開である。
1 ⇒ 4：$f(\operatorname{Int}A)$ は開集合で $f(A)$ に含まれるので、$f(A)$ に含まれる最大の開集合 $\operatorname{Int}f(A)$ に含まれる。4 ⇒ 1：開集合 $U$ について $f(U)=f(\operatorname{Int}U)\subset\operatorname{Int}f(U)\subset f(U)$ なので $f(U)=\operatorname{Int}f(U)$ は開である。
距離空間の場合、1 ⇒ 5 は 2 を $U=B(x,\varepsilon)$ に使い、$V$ の中に $f(x)$ を中心とする開球をとればよい。5 ⇒ 2：$x\in U$ について $B(x,\varepsilon)\subset U$ となる $\varepsilon$ をとると、$B(f(x),\delta)\subset f(B(x,\varepsilon))\subset f(U)$ である。$\square$

条件 2 は Mor24 Exercises 6.5 の 1 (i)、条件 5 は同じ演習の (ii) にあたる。

合成と制限

$f\colon X\to Y$ と $g\colon Y\to Z$ が開写像なら、$g\circ f$ は開写像である。
$f\colon X\to Y$ が開写像で $W\subset X$ が開集合なら、制限 $f|_W\colon W\to Y$ は開写像である。
$f\colon X\to Y$ が開写像で $B\subset Y$ が任意の部分集合なら、$f$ を $f^{-1}(B)$ に制限して値域を $B$ にした写像 $f^{-1}(B)\to B$ は開写像である（どちらも相対位相）。

1：$(g\circ f)(U)=g(f(U))$ である。2：$W$ の開集合は、$W$ が $X$ で開なので $X$ の開集合でもあり（相対位相の命題「推移性と開閉性の受け渡し」）、その像は $Y$ で開である。3：$f^{-1}(B)$ の開集合は $f^{-1}(B)\cap U$（$U$ は $X$ で開）の形であり、
$$ f\bigl(f^{-1}(B)\cap U\bigr)=B\cap f(U) $$
が成り立つ（左辺の点は $B$ と $f(U)$ の両方に入り、逆に $y=f(u)\in B$、$u\in U$ なら $u\in f^{-1}(B)\cap U$）。右辺は $B$ で開である。$\square$

2 の「$W$ が開集合」という仮定は外せない（下の反例の表の 4）。3 は、制限する範囲を行き先の部分集合の逆像全体にとれば、どんな部分集合でもよいことを述べている。

開写像の代表例

直積の射影

射影は開写像である

位相空間の族 $(X_i)_{i\in I}$ の直積 $\prod_{i\in I}X_i$ に直積位相を入れる。各 $j\in I$ について、射影 $p_j\colon\prod_iX_i\to X_j$ は連続な開写像である。

連続性は直積位相の定義による。開写像であることを prop-open-map-criteria の 3 で示す。直積位相の開基として、有限個を除く $i$ で $U_i=X_i$ である開集合の積 $W=\prod_iU_i$ の全体をとる。どれかの $U_i$ が空なら $W=\emptyset$ で $p_j(W)=\emptyset$ は開である。すべての $U_i$ が空でないなら $p_j(W)=U_j$ である。実際 $p_j(W)\subset U_j$ は明らかで、$u\in U_j$ に対し、各 $i\ne j$ で $U_i$ の点 $u_i$ を 1 つずつ選び $u_j:=u$ とおけば $(u_i)_i\in W$ で $p_j((u_i)_i)=u$ である。よって $p_j(W)$ はつねに開である。$\square$

$W$ の点を作るときに各 $U_i$ から点を選んでいるので、$I$ が無限集合なら選択公理を使っている（$I$ が有限なら不要）。同じ主張は直積位相の命題「射影は連続な開写像である」にもあり、箱位相についても射影は開写像である（箱位相の命題「射影は連続な開写像である」）。$\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$、$(x,y)\mapsto x$ はこの例であり、開写像だが閉写像ではない（閉写像の例「反例：射影は開写像だが閉写像でない」）。

商写像と群の作用

連続な開全射は商写像

$f\colon X\to Y$ を連続な開写像で全射とする。このとき $Y$ の部分集合 $V$ について、$V$ が開であることと $f^{-1}(V)$ が開であることは同値である。すなわち $f$ は商写像である。

$V$ が開なら $f$ の連続性から $f^{-1}(V)$ は開である。逆に $f^{-1}(V)$ が開なら、$f$ は全射なので $V=f(f^{-1}(V))$ であり、$f$ が開写像なので $V$ は開である。$\square$

閉写像についての同じ主張が閉写像の命題「連続な閉全射は商写像である」、両方をまとめた形が商写像の命題「連続な開全射と閉全射」にある。逆は成り立たず、開でも閉でもない商写像がある（商写像の注意「反例：開でも閉でもない商写像」）。

群の作用による商への射影

群 $G$ が位相空間 $X$ に同相写像で作用しているとする（各 $g\in G$ について $x\mapsto gx$ が同相写像）。軌道空間 $X/G$ に商位相を入れると、商写像 $\pi\colon X\to X/G$ は開写像である。

$U\subset X$ を開集合とする。$\pi^{-1}(\pi(U))$ は $U$ の点と同じ軌道に入る点の全体なので
$$ \pi^{-1}(\pi(U))=\bigcup_{g\in G}gU $$
である。各 $gU$ は同相写像 $x\mapsto gx$ による開集合の像なので開であり、その和集合も開である。商位相の定義により $\pi(U)$ は $X/G$ の開集合である。$\square$

同じ主張は商空間(位相) の命題「軌道空間の開性と有限群の場合の分離性」の 1 にある。位相群 $G$ の部分群 $H$ による剰余空間への射影 $G\to G/H$ が開写像であること（位相群の命題「剰余空間の位相」）は、$H$ が右からの掛け算で $G$ に作用する場合である。商空間 $X/{\sim}$ への射影は一般には開写像でない。たとえば $[0,1]$ の端点 $0$ と $1$ を同一視して円周を作る射影 $q$ では、$[0,\tfrac12)$ は開だが $q^{-1}(q([0,\tfrac12)))=[0,\tfrac12)\cup\{1\}$ は $[0,1]$ で開でないので、$q([0,\tfrac12))$ は開でない。

開集合への同相と局所同相

単射な連続開写像

$f\colon X\to Y$ を単射な連続開写像とする。このとき $f(X)$ は $Y$ の開集合であり、$f$ は $X$ から $f(X)$（相対位相）への同相写像である。

$f(X)$ は開集合 $X$ の像なので開である。値域を $f(X)$ に縮めた写像 $f'\colon X\to f(X)$ は連続（相対位相の系「連続写像の制限と値域の縮小」）な全単射である。$X$ の開集合 $U$ について $f'(U)=f(U)$ は $Y$ で開で $f(X)$ に含まれるので、$f(X)$ でも開である。よって $f'$ は開写像でもあり、同相写像の命題「連続全単射に対する開写像・閉写像・同相の同値」により同相写像である。$\square$

各点の近くでこの形になる写像が局所同相写像であり、局所同相写像は連続な開写像である（同相写像の命題「局所同相写像の連続性と開性」）。被覆写像は局所同相写像なので開写像である（被覆空間の命題「被覆写像の基本性質」）。とくに $\mathbb{R}\to S^1$、$t\mapsto(\cos t,\sin t)$ は開写像である（被覆空間の例「円周を実数直線で覆う」）。

有限次元の線形写像

全射な線形写像は開写像

$A\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ を全射な線形写像とする。$\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^m$ に Euclid空間の通常の位相を入れると、$A$ は開写像である。

$A$ は全射なので、$\mathbb{R}^m$ の標準基底 $e_1,\dots,e_m$ のそれぞれに $Av_k=e_k$ となる $v_k$ がとれる。$S\colon\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$ を $Se_k:=v_k$ で定まる線形写像とすると $AS=\mathrm{id}$ であり、$S$ は（成分が 1 次式なので）連続である。$U\subset\mathbb{R}^n$ を開集合、$x\in U$ とし、$B(x,\varepsilon)\subset U$ となる $\varepsilon$ をとる。$S$ は原点で連続なので、$\|w\|<\delta$ なら $\|Sw\|<\varepsilon$ となる $\delta>0$ がある。$\|y-Ax\|<\delta$ なら $x':=x+S(y-Ax)$ は $\|x'-x\|<\varepsilon$ を満たして $U$ に入り、$Ax'=Ax+(y-Ax)=y$ である。よって $B(Ax,\delta)\subset A(U)$ であり、prop-open-map-criteria の 2 により $A$ は開写像である。$\square$

全射でない線形写像は開写像でない：像が真の部分空間 $L\subsetneq\mathbb{R}^m$ なら、$A(\mathbb{R}^n)=L$ は空でないが、$L$ はどの開球も含まない（$L$ の点 $y$ と $L$ に入らない $z$ について、$y+t z\notin L$（$t\ne0$）で、$t\to0$ で $y$ に近づく）。無限次元では、この命題の類似が Banach 空間の開写像定理である（「注意」の節）。

反例：取り違えやすいこと

左：x ↦ x² は開区間（−1 から 1）を 0 以上 1 未満の区間に写す。中：射影は閉集合 xy = 1 を閉でない ℝ∖{0} に写す。右：座標軸の和 A への射影の制限は、A の開集合（縦軸の一部）を 1 点 {0} に写す

外す条件・取り違え	反例	成り立たなくなること
連続なら開	$f(x)=x^2$（$\mathbb{R}\to\mathbb{R}$）	開写像である
開なら閉	射影 $\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$	閉写像である
開なら連続	恒等写像 $(\mathbb{R},\text{通常})\to(\mathbb{R},\text{離散})$	連続である
制限する部分集合が開	座標軸の和 $A=\{xy=0\}$ への射影の制限	制限も開写像である
商写像なら開	$[0,1]$ の両端を貼る射影	開写像である

2 は閉写像の例「反例：射影は開写像だが閉写像でない」で、閉集合 $\{xy=1\}$ の像が閉でない $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ になる（図 1 の中）。逆向きの「閉なら開」も、定値写像 $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ で破れる（閉写像の例「定値写像は閉写像だが開写像とは限らない」）。5 は上の「商写像と群の作用」の節の最後の例である。1・3・4 を以下で確かめる。

反例：2 乗写像

$f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$、$f(x)=x^2$ は連続だが開写像でない。開区間 $(-1,1)$ の像は $[0,1)$ であり（図 1 の左）、$0$ を中心とするどの開区間も負の数を含むので $[0,1)$ は開でない。満たす性質：連続。満たさない性質：開写像。破る含意：「連続写像は開写像」。
開写像かどうかは行き先の位相にもよる。値域を縮めた $\mathbb{R}\to[0,\infty)$、$x\mapsto x^2$ は開写像である。開区間 $(a,b)$ の像は、$a<0< b$ なら $[0,\max\{a^2,b^2\})$、そうでなければ端点を含まない区間であり、どちらも $[0,\infty)$ の開集合だから（prop-open-map-criteria の 3）。
複素数に広げた $z\mapsto z^2$（$\mathbb{C}\to\mathbb{C}$）は開写像である（開写像定理(複素解析) の例「2 乗写像」）。実数の 2 乗写像は $0$ の近くで折り返すが、複素数の 2 乗写像は $0$ のまわりを 2 周して覆うからである。

反例：開だが連続でない写像

$X=\mathbb{R}$（通常の位相）、$Y=\mathbb{R}$（離散位相）とし、恒等写像 $\mathrm{id}\colon X\to Y$ を考える。$Y$ ではすべての部分集合が開なので、$\mathrm{id}$ は開写像である。しかし $\{0\}$ は $Y$ で開なのに、逆像 $\{0\}$ は $X$ で開でないので、$\mathrm{id}$ は連続でない。破る含意：「開写像は連続」。この写像は全単射なので、開写像であることは逆写像 $Y\to X$ が連続であることと同じである（閉写像の命題「全単射では閉写像と開写像が一致する」）。

反例：開集合でない部分集合への制限

射影 $p\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$、$p(x,y)=x$ は開写像である。座標軸の和 $A:=\{(x,y)\mid xy=0\}$ に制限した $p|_A\colon A\to\mathbb{R}$ を考える。$V:=A\cap B\bigl((0,1),\tfrac12\bigr)=\{(0,y)\mid\tfrac12< y<\tfrac32\}$ は $A$ の開集合だが、$p(V)=\{0\}$ は $\mathbb{R}$ で開でない（図 1 の右）。満たす性質：$p$ は開写像、$A$ は閉集合。満たさない性質：$p|_A$ は開写像でない。破る含意：「開写像の任意の部分集合への制限は開写像」。prop-open-map-composition の 2 は $A$ が開集合であることを仮定し、3 は $A$ が $p^{-1}(B)$ の形であることを仮定している。$A$ はどちらでもない。

注意：開写像定理と一般化

「開写像定理」と呼ばれる定理がいくつかあり、どれも特定の写像が開写像であることを主張する。複素解析では、連結な Riemann 面の間の定数でない正則写像は開写像である（開写像定理(複素解析) の定理「正則写像の開写像定理」）。関数解析では、Banach空間の間の全射な有界線形写像は開写像である（Axl26 6.81、Mor24 6.5.15 Theorem）。その系として、全単射な有界線形写像の逆写像は有界である（Mor24 6.5.16 Corollary）。一方の空間を完備でないノルム空間に替えると成り立たないことがあると、Axl26 の同じ箇所で（演習を挙げて）注意されている。
局所コンパクト空間から Hausdorff 空間への連続な開全射があれば、行き先も局所コンパクトである（局所コンパクト空間の命題「開写像による像」）。開写像は「局所的な性質を行き先へ運ぶ」写像である。
代数幾何学では、平坦で局所有限表示の射は開写像であり、底変換しても開写像のままである（平坦射の定理「平坦射は開写像」）。
開写像と閉写像はどちらも「像で位相を保つ」条件だが、互いに独立である。開かつ閉な写像の例は同相写像、閉だが開でない例は定値写像、開だが閉でない例は射影である。