特殊主イデアル環

1 ⇒ 2 は明らかである。
2 ⇒ 3：$\mathfrak m=(x)$ なら、$\mathfrak m$ の元 $ax$ の $\mathfrak m/\mathfrak m^2$ での像は $\bar a\cdot\bar x$（$\bar a\in k$）なので、$\mathfrak m/\mathfrak m^2$ は $\bar x$ で張られる。
3 ⇒ 2：次元が $0$ なら $\mathfrak m=\mathfrak m^2=\mathfrak m^3=\dots=\mathfrak m^N=0$ である。次元が $1$ なら、$x\in\mathfrak m\setminus\mathfrak m^2$ をとると $\mathfrak m=(x)+\mathfrak m^2$ である。$j\ge2$ で $\mathfrak m=(x)+\mathfrak m^j$ なら、$\mathfrak m^2=\mathfrak m\bigl((x)+\mathfrak m^j\bigr)\subset(x)+\mathfrak m^{j+1}$ なので $\mathfrak m=(x)+\mathfrak m^{j+1}$ である。$j=N$ まで続けて $\mathfrak m=(x)$ を得る。
2 ⇒ 1 とイデアルの決定：$\mathfrak m=(x)$ とすると $\mathfrak m^i=(x^i)$ である。$0$ でない元 $a$ について、$a\in\mathfrak m^r$、$a\notin\mathfrak m^{r+1}$ となる $r$ をとる（$\mathfrak m^0=A$、$\mathfrak m^N=0$ なので $0\le r< N$ の範囲にある）。$a=ux^r$（$u\in A$）と書けて、$u\in\mathfrak m$ なら $a\in\mathfrak m^{r+1}$ となるので、$u$ は単元である。$r$ は $a$ から $\mathfrak m$ のフィルトレーションで決まるので一意である。$0$ でないイデアル $I$ について、$I\subset\mathfrak m^r$ となる最大の $r$ をとり、$a\in I\setminus\mathfrak m^{r+1}$ を $a=ux^r$ と書くと $x^r=u^{-1}a\in I$ なので、$(x^r)\subset I\subset\mathfrak m^r=(x^r)$、すなわち $I=(x^r)$ である。$0\le r< N$ について $\mathfrak m^r=\mathfrak m^{r+1}$ なら $\mathfrak m^r=\mathfrak m^{r+1}=\dots=\mathfrak m^N=0$ となり $N$ の最小性に反するので、$N+1$ 個のイデアルは互いに異なる。
1 ⇒ 4：イデアルは上の列 $(x^0)\supset(x^1)\supset\cdots$ のどれかなので全順序である。
4 ⇒ 2：Artin 環は Noether 環なので（Artin環 の定理「Noether性と次元による特徴づけ」）、$\mathfrak m=(y_1,\dots,y_s)$ と書ける。単項イデアル $(y_1),\dots,(y_s)$ は全順序なので最大のもの $(y_j)$ があり、$\mathfrak m=(y_j)$ である。
長さ：$0\le i< N$ について $\mathfrak m^i/\mathfrak m^{i+1}$ は $x^i$ の類で張られ、$0$ でないので $1$ 次元である。列 $A\supsetneq\mathfrak m\supsetneq\dots\supsetneq\mathfrak m^N=0$ の各商は $k$ と同型な単純加群なので、これは組成列であり、長さは $N$ である。$\square$

1. $t^N=0$ なら $\mathfrak m^N=0$ で、任意の素イデアルは $\mathfrak m^N=0$ を含むので $\mathfrak m$ を含み、$\mathfrak m$ に等しい。よって $A$ は Krull 次元 $0$ の Noether 環で、Artin環 の定理「Noether性と次元による特徴づけ」により Artin 環である。thm-spir-criterion の 2 ⇒ 1 により主イデアル環である。
2. Krullの交叉定理 の 2（$\mathfrak m$ は Jacobson 根基に含まれる）により $\bigcap_{n\ge0}\mathfrak m^n=0$ である。$0$ でない元 $a$ について $a\in\mathfrak m^r\setminus\mathfrak m^{r+1}$ となる $r$ があり、prf-spir-criterion と同じ議論で $a=ut^r$（$u$ は単元）と書ける。$0$ でない元 $ut^r$、$vt^s$ の積は $uvt^{r+s}$ で、$t$ は冪零でないので $0$ でない。よって $A$ は整域である。$0$ でないイデアル $I$ について、$I$ の元 $ut^r$ の $r$ の最小値を $r_0$ とすれば $I=(t^{r_0})$ である。$t\ne0$ なので $A$ は体でない局所の単項イデアル整域であり、離散付値環 の定理「離散付値環の特徴づけ」の 2 ⇒ 1 により離散付値環である。
最後の主張：主イデアル環なら $\mathfrak m$ は単項である。逆は 1・2 による。$\square$

$\mathfrak m^N=0$ なので自然な写像 $A\to\varprojlim_nA/\mathfrak m^n$ は同型であり、Cohenの構造定理 の定理「等標数完備局所環の係数体」により、$A$ は係数体 $K$（$A\to k$ が $K$ 上で同型になる部分体）をもつ。この記事では係数体の存在を証明しない。$\mathfrak m=(x)$ とし、$K$ 代数の準同型 $\phi\colon K[t]\to A$、$t\mapsto x$ を考える。
全射性：$a\in A$ について、$a$ と $\mathfrak m$ を法として合同な $c_0\in K$ をとれば $a-c_0\in\mathfrak m$ なので $a=c_0+a_1x$（$a_1\in A$）と書ける。$a_1$ に同じことを繰り返すと $a=c_0+c_1x+\dots+c_{N-1}x^{N-1}+a_Nx^N$ で、$x^N=0$ なので $a\in\operatorname{im}\phi$ である。
核：$t^N\in\ker\phi$ なので、$\phi$ は全射 $K[t]/(t^N)\to A$ を引き起こす。thm-spir-criterion により $\mathfrak m^i/\mathfrak m^{i+1}$（$0\le i< N$）は $1$ 次元の $k$ ベクトル空間で、$K\cong k$ を通じて $K$ ベクトル空間としても $1$ 次元なので、$\dim_KA=N=\dim_KK[t]/(t^N)$ である。次元の等しい $K$ ベクトル空間の間の全射なので同型である。$\square$

段 1：極小素イデアル。 $A$ は Noether 環なので、極小素イデアルは有限個 $\mathfrak p_1,\dots,\mathfrak p_n$ である（極小素イデアル の定理「Noether環における有限性」）。その共通部分は冪零根基 $\operatorname{nil}(A)$ に等しく（同記事の系「根基と極小素イデアル」）、$\operatorname{nil}(A)$ は有限生成なので、ある $e\ge1$ で $\operatorname{nil}(A)^e=0$ である（冪零根基 の命題「有限生成な冪零根基は冪零イデアル」）。
段 2：各極大イデアルは極小素イデアルをちょうど 1 つ含む。 $A$ の極大イデアル $\mathfrak n$ をとる。局所化 の補題「拡大イデアルの基本性質」の 3 により $A_{\mathfrak n}$ のイデアルは $A$ のイデアルの拡大で、$(a)$ の拡大は $(a/1)$ なので、$A_{\mathfrak n}$ は Noether 局所環である主イデアル環である。thm-spir-local により $A_{\mathfrak n}$ は特殊主イデアル環か離散付値環で、どちらも極小素イデアルがただ 1 つ（特殊主イデアル環では極大イデアル、離散付値環では $0$）である。局所化 の定理「素イデアルの対応」は包含を保つので、$\mathfrak n$ に含まれる $A$ の極小素イデアルは $A_{\mathfrak n}$ の極小素イデアルと 1 対 1 に対応し、ちょうど 1 つである。したがって $i\ne j$ なら $\mathfrak p_i+\mathfrak p_j=A$ である（真のイデアルなら、それを含む極大イデアルが 2 つの極小素イデアルを含んでしまう）。
段 3：直積への分解。 $I+J=A$ なら $I^e+J^e=A$ である（$1=a+b$、$a\in I$、$b\in J$ を $2e-1$ 乗して展開すると、各項は $a^e$ か $b^e$ で割り切れる）。よって $\mathfrak p_1^e,\dots,\mathfrak p_n^e$ は対ごとに互いに素である。また $\mathfrak p_1\cdots\mathfrak p_n\subset\mathfrak p_1\cap\dots\cap\mathfrak p_n=\operatorname{nil}(A)$ なので、$\mathfrak p_1^e\cdots\mathfrak p_n^e=(\mathfrak p_1\cdots\mathfrak p_n)^e\subset\operatorname{nil}(A)^e=0$ である。中国剰余定理 の定理「可換環における中国剰余定理」により
$$ A=A/(\mathfrak p_1^e\cdots\mathfrak p_n^e)\cong A_1\times\dots\times A_n,\qquad A_i:=A/\mathfrak p_i^e $$
である。各 $A_i$ は主イデアル環の剰余環なので主イデアル環であり、その素イデアルは $\mathfrak p_i^e$ を含む、すなわち $\mathfrak p_i$ を含む $A$ の素イデアルに対応する。よって $P_i:=\mathfrak p_i/\mathfrak p_i^e$ は $A_i$ のただ 1 つの極小素イデアルである。
段 4：各因子の形。 $\mathfrak p_i$ が極大なら、$A_i$ の素イデアルは $P_i$ だけなので、定義の後の言い換えにより $A_i$ は特殊主イデアル環である。
$\mathfrak p_i$ が極大でないとする。$A_i$ の極大イデアル $M$ をとると $P_i\subsetneq M$ である。局所化 $(A_i)_M$ は Noether 局所環である主イデアル環で、素イデアル $P_i(A_i)_M\subsetneq M(A_i)_M$ をもつので Artin 環でない。thm-spir-local により $(A_i)_M$ は離散付値環、とくに整域であり、その極小素イデアル $P_i(A_i)_M$ は $0$ である。$M$ は任意なので、$A_i$ 加群 $P_i$ はすべての極大イデアルでの局所化が $0$ であり、局所化 の命題「零加群であることの局所判定」により $P_i=0$ である。よって $A_i$ は整域、すなわち単項イデアル整域である。$\square$