Cauchy地平面

1．$I^-(D^+(S))$ は開集合なので、$H^+(S)=\overline{D^+(S)}\cap\bigl(M\setminus I^-(D^+(S))\bigr)$ は 2 つの閉集合の共通部分である。
2．ある時間的曲線が、異なる 2 つの径数の値で $H^+(S)$ の点を通ったとする。向きを未来向きにそろえ、先に通る点を $p$、後に通る点を $q$ とすると（$p=q$ でもよい）、その間の部分は $p$ から $q$ への未来向き時間的曲線なので $q\in I^+(p)$ である。$I^+(p)$ は $q$ の開近傍で $q\in\overline{D^+(S)}$ なので、$I^+(p)$ は $D^+(S)$ の点 $r$ を含む。すると $p\in I^-(r)\subset I^-(D^+(S))$ となり、$p\in H^+(S)$ に反する。
3．$z\in D^+(S)\cap I^-(S)$ があったとし、$z\ll s$（$s\in S$）とする。依存領域 の補題「延長不可能な因果曲線の存在」により $z$ から出る過去に延長不可能な過去向き因果曲線があり、$z\in D^+(S)$ なのでこれは $S$ の点 $s'$ を通る。すると $s'\le z\ll s$ であり、時空 の定理「時間的未来の基本性質」の押し上げ補題により $s'\ll s$ となる。$s'$ から $s$ への時間的曲線は $S$ を 2 つの径数の値で通るので（$s'=s$ なら閉じた時間的曲線になる）、$S$ の非時間性に反する。よって $D^+(S)\cap I^-(S)=\emptyset$ であり、$I^-(S)$ は開集合なので閉包をとっても交わらない。$\square$

1．$p\in M$ を任意にとる。依存領域 の補題「延長不可能な因果曲線の存在」により、$p$ から出る過去に延長不可能な過去向き時間的曲線と、未来に延長不可能な未来向き時間的曲線がある。前者を逆向きにたどって $p$ に着き、そこから後者をたどる曲線を $\gamma\colon(a,b)\to M$、$\gamma(0)=p$ とする。$p$ での左右の片側接ベクトルはどちらも未来向き時間的なので、$\gamma$ は延長不可能な未来向き時間的曲線である。$D(S)=M$ なので、依存領域 の定理「依存領域が時空全体になる条件」により、$\gamma$ はある径数 $s_0$ で $S$ の点 $\gamma(s_0)$ を通る。
$s_1>\max\{s_0,0\}$ をとり $q:=\gamma(s_1)$ とおくと、$\gamma(s_0)\ll q$ かつ $p=\gamma(0)\ll q$ である。$q\in D^-(S)$ と仮定する。$q$ から出る未来に延長不可能な未来向き因果曲線（同じ補題）は $S$ の点 $y$ を通るので、$\gamma(s_0)\ll q\le y$ と押し上げ補題から $\gamma(s_0)\ll y$ となり、prf-cauchy-horizon-closed-achronal の 3 と同じく $S$ の非時間性に反する。よって $q\notin D^-(S)$ であり、$q\in D(S)$ から $q\in D^+(S)$ である。したがって $p\in I^-(D^+(S))$ である。$p$ は任意だったから $I^-(D^+(S))=M$ であり、$H^+(S)=\overline{D^+(S)}\setminus M=\emptyset$ である。時間の向きを逆にして $I^+(D^-(S))=M$、$H^-(S)=\emptyset$ を得る。
2．$H(S)=\emptyset$ なら、rem-cauchy-horizon-boundary の等式により $D(S)$ の境界 $\overline{D(S)}\setminus\operatorname{Int}D(S)$ は空である。すると $\overline{D(S)}=\operatorname{Int}D(S)\subset D(S)\subset\overline{D(S)}$ なので、$D(S)$ は開集合かつ閉集合である。$\emptyset\neq S\subset D(S)$（依存領域 の命題「依存領域の基本性質」）であり、時空は連結なので $D(S)=M$ である。$\square$

Cauchy 超曲面は非因果的、したがって非時間的であり、依存領域 の記事により $D(S)=M$ である（同記事の定理「依存領域が時空全体になる条件」の後の注意）。thm-cauchy-horizon-empty の 1 を当てる。$\square$

因果曲線に沿って $t$ は狭義単調なので、因果曲線は超平面 $t=0$ を高々 1 回しか通らない。よって $S_K$ は非因果的であり、閉集合であることは明らかである。依存領域 の定理「閉球の依存領域は円錐」の証明のとおり、$(t,x)$ から出る過去に延長不可能な過去向き因果曲線は $t$ でパラメータ付けして $\tau\mapsto(\tau,y(\tau))$（$\tau\le t$）と書け、$\lvert y(\tau_1)-y(\tau_2)\rvert\le\lvert\tau_1-\tau_2\rvert$ を満たし、$\tau$ は $-\infty$ まで動く。
$\supset$：$t\ge0$、$\overline B(x,t)\subset K$ とする。上の曲線は $\tau=0$ で点 $(0,y(0))$ を通り、$\lvert y(0)-x\rvert\le t$ なので $y(0)\in K$ である。よって $(t,x)\in D^+(S_K)$ である。
$\subset$：$(t,x)\in D^+(S_K)$ とする。$t<0$ なら、真下へ向かう直線 $s\mapsto(t-s,x)$（$s\ge0$）は過去に延長不可能で $t=0$ を通らないので矛盾する。$t=0$ なら、$(0,x)$ から出る因果曲線が $t=0$ を通るのは始点だけなので $x\in K$、すなわち $\overline B(x,0)\subset K$ である。$t>0$ とし、$y\in\overline B(x,t)$ をとる。直線 $s\mapsto\bigl(t-s,\ x+s(y-x)/t\bigr)$（$s\ge0$）は、速度の空間成分の大きさが $\lvert y-x\rvert/t\le1$ なので過去向きの因果曲線で、$t$ 座標が $-\infty$ へ動くので過去に延長不可能である。これが $t=0$ を通るのは $s=t$ のときの点 $(0,y)$ だけなので、$y\in K$ である。$\square$

1 では $\varphi(x):=x^1$、$c:=0$、2 では $\varphi(x):=\lvert x-x_0\rvert$、$c:=r$ とおく。1 では $\overline B(x,t)$ の上の $y^1$ の最大値は $x^1+t$、2 では $\overline B(x,t)$ の上の $\lvert y-x_0\rvert$ の最大値は三角不等式により $\lvert x-x_0\rvert+t$ である（$x\ne x_0$ なら点 $x+t(x-x_0)/\lvert x-x_0\rvert$ で、$x=x_0$ なら球面上の任意の点で達する）。よって lem-cauchy-horizon-minkowski-dod により、どちらの場合も
$$ D^+(S_K)=\{(t,x)\mid t\ge0,\ f(t,x)\le c\},\qquad f(t,x):=t+\varphi(x) $$
であり、これは閉集合なので $\overline{D^+(S_K)}=D^+(S_K)$ である。
$f$ は未来向き時間的曲線に沿って狭義増加する。実際、曲線を $t$ でパラメータ付けすると速度の空間成分は $\lvert\dot x\rvert< 1$ を満たすので、$t_1< t_2$ に対し $\varphi$ が 1-Lipschitz であることから
$$ f(t_2,x(t_2))-f(t_1,x(t_1))\ge(t_2-t_1)-\lvert x(t_2)-x(t_1)\rvert\ge(t_2-t_1)-\int_{t_1}^{t_2}\lvert\dot x\rvert\,dt>0 $$
である。
$p\in D^+(S_K)$ で $f(p)=c$ とする。$p\ll q$ なら $f(q)>c$ なので $q\notin D^+(S_K)$ であり、$p\notin I^-(D^+(S_K))$、すなわち $p\in H^+(S_K)$ である。$p=(t,x)\in D^+(S_K)$ で $f(p)< c$ なら、$0< \varepsilon< c-f(p)$ に対し $q:=(t+\varepsilon,x)$ は $f(q)=f(p)+\varepsilon< c$ で $D^+(S_K)$ に属し、$p\ll q$ なので $p\notin H^+(S_K)$ である。よって $H^+(S_K)=\{t\ge0,\ f=c\}$ である。$\square$

要点：過去にたどる因果曲線が $t=0$ に届かないのは、$o$ に吸い込まれて止まる場合だけである。