開集合

定義

集合 $X$ とその部分集合族 $\mathcal{O}$ の組 $(X, \mathcal{O})$ が位相空間であるとき、$\mathcal{O}$ の元を $X$ の開集合と呼ぶ。
すなわち、位相空間論において「開集合」とは、あらかじめ位相として指定された集合族のメンバーのことである。

距離空間における直観的定義

一般の定義に先立ち、なじみ深い距離空間（例えばユークリッド空間）における定義を見ることは有用である。
距離空間 $(X, d)$ において、部分集合 $U \subset X$ が開集合であるとは、その任意の点 $x \in U$ に対して、十分小さな半径 $\epsilon > 0$ を取れば、$x$ を中心とする開球 $B(x, \epsilon)$ が $U$ にすっぽり含まれることをいう。
$$\forall x \in U, \exists \epsilon > 0 \text{ s.t. } B(x, \epsilon) \subset U$$
これは「$U$ のどこの点に立っても、少し動く程度なら $U$ からはみ出さない」ことを意味し、境界を含んでいないという直観に対応する。

開集合の公理（性質）

一般の位相空間では、開集合全体 $\mathcal{O}$ は以下の3つの公理を満たすことが要請される。

1. 全体と空: 全体集合 $X$ と空集合 $\emptyset$ は開集合である。
2. 和集合: 任意個の開集合の和集合は開集合である。
   （例：無限個の開区間の和集合もまた開集合となる）
3. 有限共通部分: 有限個の開集合の共通部分は開集合である。

注意：無限個の共通部分について

有限個の共通部分は開集合になるが、無限個の開集合の共通部分は必ずしも開集合にはならない。

• 例: 実数直線 $\mathbb{R}$ 上の開区間 $U_n = (-1/n, 1/n)$ を考える。
  $n=1, 2, \dots$ に対するこれらの無限個の共通部分をとると、
  $$\bigcap_{n=1}^{\infty} \left( -\frac{1}{n}, \frac{1}{n} \right) = \{0\}$$
  となり、一点集合 $\{0\}$ が得られる。通常の位相において一点集合は開集合ではない（閉集合である）。この事実は位相空間論の初歩における重要な注意点である。

関連する概念

内部と開核

集合 $A$ に含まれる最大の開集合を $A$ の開核（interior）または内部と呼び、$A^\circ$ や $\text{Int}(A)$ と書く。
$A$ が開集合であることは、$A = A^\circ$ が成り立つことと同値である。すなわち、開集合とは「すべての点が内点であるような集合」と言い換えられる。

基底

すべての開集合を列挙するのは大変であるため、より少数の基本的な開集合の集まり（位相の基底）を使って開集合を表現することが多い。
例えば $\mathbb{R}$ の通常の位相では、「全ての開区間 $(a, b)$」が基底となる。任意の開集合は、これら開区間の和集合として表される。

開かつ閉（Clopen）

ある集合が開集合であり、かつ閉集合（補集合が開集合）でもある場合、その集合を開かつ閉集合 (clopen set) と呼ぶ。

• 連結な空間（例えば $\mathbb{R}$）では、開かつ閉なる集合は全体 $X$ と空集合 $\emptyset$ しかない。
• 離散空間では、すべての部分集合が開かつ閉である。

関連項目

• 位相空間
• 閉集合：開集合の補集合。
• 近傍：点を含む開集合を部分集合として含むもの。
• 連続写像：開集合の逆像が開集合となる写像。
• 位相の基底
• 距離空間