開集合

同義語：open set

概要

定義

開集合は、位相空間の定義の中で「位相」として指定される部分集合のことである。記事を単独で読めるように、位相空間の定義（開集合系の公理）をここに完全に述べる。

位相空間と開集合

$X$ を集合とし、$\mathcal{O}$ を $X$ の部分集合からなる族（集合族）とする。$\mathcal{O}$ が $X$ 上の位相（topology）であるとは、次の三条件を満たすことをいう。

空集合 $\emptyset$ と $X$ 自身が $\mathcal{O}$ に属する。
$\mathcal{O}$ の任意個の元の和集合は $\mathcal{O}$ に属する。すなわち、任意の添字集合 $I$ と族 $(U_i)_{i\in I}$ について、すべての $U_i$ が $\mathcal{O}$ に属するならば $\bigcup_{i\in I}U_i\in\mathcal{O}$ である。
$\mathcal{O}$ の二つの元の共通部分は $\mathcal{O}$ に属する。すなわち $U,V\in\mathcal{O}$ ならば $U\cap V\in\mathcal{O}$ である。
組 $(X,\mathcal{O})$ を位相空間といい、$\mathcal{O}$ の元を $(X,\mathcal{O})$ の開集合（open set）、$\mathcal{O}$ 自身を $X$ の開集合系という。位相が文脈から明らかなときは位相空間を単に $X$ と書き、「$U$ は $X$ の開集合である」「$U$ は $X$ で開である」という。

条件 3 を繰り返し用いれば、有限個の開集合 $U_1,\dots,U_n$ の共通部分 $U_1\cap\cdots\cap U_n$ も開集合であることが個数に関する帰納法（数学的帰納法）で従う（個数 $0$ の共通部分は $X$ と約束し、条件 1 による）。この帰納法と、条件 1 を省く流儀については位相空間を参照。条件 2 で添字集合 $I$ が空の場合の和集合は $\emptyset$ である。
「開である」という性質は集合 $U$ だけで決まるのではなく、どの位相空間 $(X,\mathcal{O})$ の中で見ているかに依存する。同じ集合 $X$ に異なる位相を入れれば、どの部分集合が開かも変わる。
距離空間では、位相を先に指定するのではなく、距離を使って開集合を定める。

距離空間の開集合

$(X,d)$ を距離空間とする。点 $x\in X$ と実数 $r>0$ に対し、
$$ B(x,r):=\{y\in X\mid d(x,y)< r\} $$
を中心 $x$、半径 $r$ の開球という。部分集合 $U\subset X$ が（距離 $d$ に関して）開集合であるとは、$U$ の任意の点 $x$ に対して、ある $\varepsilon>0$ が存在して $B(x,\varepsilon)\subset U$ となることをいう。量化記号で書けば
$$ \forall x\in U\ \ \exists\varepsilon>0\ \ B(x,\varepsilon)\subset U $$
である。

この意味の開集合の全体が $X$ 上の位相をなすことは prop-open-set-metric-topology で示す。これを距離 $d$ が定める位相（距離位相）といい、距離空間はこの位相によって位相空間とみなす。実数全体 $\mathbb{R}$ やEuclid空間 $\mathbb{R}^n$ の「通常の位相」とは、通常の距離 $d(x,y)=|x-y|$、$d(x,y)=\|x-y\|$ が定める位相のことである。

直感

開集合とは、どの点に立っても、その点のまわりに少し余裕をもって集合の中にとどまれる領域である。距離空間では「余裕」を開球の半径で測るが、一般の位相空間には距離がないので、はじめから「余裕のある集合」の一覧 $\mathcal{O}$ を指定してしまう。開集合の一覧さえ決まれば、近傍・閉集合・閉包・連続写像・収束・連結空間・コンパクト空間といった位相的概念がすべて開集合の言葉で定義できる。任意個の和と有限個の共通部分に閉じているという条件は、「局所的に得た情報を貼り合わせても余裕は失われないが、無限個の条件を同時に課すと余裕がなくなりうる」ことを表している。

例と反例

実数直線の開区間

$\mathbb{R}$ に通常の位相を入れる。$a< b$ なる実数に対し、開区間（区間）$(a,b)$ は開集合である。実際、$x\in(a,b)$ に対して $\varepsilon:=\min\{x-a,\,b-x\}>0$ とおくと、$|y-x|<\varepsilon$ なる $y$ は $a< y< b$ を満たすので $B(x,\varepsilon)=(x-\varepsilon,x+\varepsilon)\subset(a,b)$ である。同様に、開半直線 $(a,\infty)$、$(-\infty,b)$ も開集合である（$x\in(a,\infty)$ に対し $\varepsilon:=x-a$ をとればよい）。$\mathbb{R}$ 自身と $\emptyset$ も開集合である。したがって prop-open-set-metric-topology により、開区間の任意個の和集合、たとえば $(0,1)\cup(2,3)$ や $\bigcup_{n\in\mathbb{Z}}(2n,2n+1)$ も開集合である。逆に $\mathbb{R}$ の任意の開集合は開区間の和集合として表される。これは開区間の全体が通常の位相の開基をなすということであり、開基で扱う。

Euclid空間の開球と開直方体

Euclid空間 $\mathbb{R}^n$（通常の距離 $d(x,y)=\|x-y\|$）において、開球 $B(x,r)$ は開集合である（prop-open-set-metric-topology の 1）。また、開区間の直積 $R=(a_1,b_1)\times\cdots\times(a_n,b_n)$（開直方体）も開集合である。実際、$x=(x_1,\dots,x_n)\in R$ に対し $\varepsilon:=\min_i\min\{x_i-a_i,\,b_i-x_i\}>0$ とおくと、$y\in B(x,\varepsilon)$ ならば各 $i$ について $|y_i-x_i|\le\|y-x\|<\varepsilon$ なので $a_i< y_i< b_i$、すなわち $y\in R$ である。開球と開直方体は互いに内接させられるので、どちらの族も同じ位相の開基になる（開基）。

離散位相・密着位相・Sierpinski空間

集合 $X$ の部分集合をすべて開集合とする位相 $\mathcal{O}=\mathcal{P}(X)$（冪集合）を離散位相という。三条件は明らかに成り立つ。離散位相では一点集合 $\{x\}$ も開集合である。これに対し、$\mathcal{O}=\{\emptyset,X\}$ を密着位相という。これも位相であり、開集合は $\emptyset$ と $X$ だけである。
二点集合 $\mathbb{S}=\{0,1\}$ に $\mathcal{O}=\{\emptyset,\{1\},\mathbb{S}\}$ を入れた位相空間を Sierpinski空間という。$\{1\}$ は開集合だが $\{0\}$ は開集合でない。この非対称な空間が任意の位相空間の開集合を「検出」することを prop-open-set-sierpinski で示す。
これらの例が示すように、開集合は「端を含まない集合」という実数直線での印象だけでは捉えられない。離散位相では一点集合が開であり、密着位相では $(0,1)\subset\mathbb{R}$ のような集合も開でない。

相対位相で開になる集合

位相空間 $X$ の部分集合 $Y$ には、$X$ の開集合 $U$ を用いて $Y\cap U$ の形に書ける集合を開集合とする相対位相が入る。$\mathcal{O}_Y:=\{Y\cap U\mid U\in\mathcal{O}_X\}$ が $Y$ 上の位相をなすことは、$\emptyset=Y\cap\emptyset$、$Y=Y\cap X$ により条件1も満たすこと、および $Y\cap\bigcup_i U_i=\bigcup_i(Y\cap U_i)$、$(Y\cap U)\cap(Y\cap V)=Y\cap(U\cap V)$ から従う。この位相を入れた $Y$ を $X$ の部分空間という。
$X=\mathbb{R}$、$Y=[0,1]$ とすると、
$$ [0,1)=[0,1]\cap(-1,1) $$
なので、$[0,1)$ は部分空間 $[0,1]$ では開集合である。しかし $[0,1)$ は $\mathbb{R}$ では開集合でない。$0\in[0,1)$ を中心とするどの開球 $(-\varepsilon,\varepsilon)$ も負の実数を含み、$[0,1)$ に収まらないからである。「$A$ は開である」という文は、周囲の空間を指定してはじめて意味をもつ。

反例：無限個の共通部分

位相の条件 3 を「任意個の開集合の共通部分は開集合である」に強めることはできない。$\mathbb{R}$ の通常の位相で $U_n:=(-1/n,1/n)$（$n\in\mathbb{Z}_{>0}$）とおくと、各 $U_n$ は開集合（ex-open-set-intervals）だが、
$$ \bigcap_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)=\{0\} $$
である（$x\ne0$ なら $1/n<|x|$ となる $n$ があり $x\notin U_n$）。一点集合 $\{0\}$ は開集合でない。$0$ を中心とするどの開球 $(-\varepsilon,\varepsilon)$ も $\varepsilon/2\ne0$ を含み、$\{0\}$ に収まらないからである。この族は「各成員が開である」という性質を満たすが「共通部分が開である」という性質を満たさず、「任意個の開集合の共通部分は開である」という含意を破る。無限個の共通部分が開集合になることもある（たとえば $\bigcap_n(-1-1/n,1+1/n)=[-1,1]$ は開でないが、$\bigcap_n(-n,n)=(-1,1)$ は開である）が、必ず開になるわけではない。

反例：開でない集合と閉でない集合

$\mathbb{R}$ の通常の位相で考える。

閉区間 $[0,1]$ は開集合でない。点 $0\in[0,1]$ を中心とするどの開球も負の数を含むからである。同じ理由で $[0,1)$、$(0,1]$ も開集合でない。
有理数全体 $\mathbb{Q}$ は開集合でない。任意の $x\in\mathbb{Q}$ と $\varepsilon>0$ に対し、開球 $(x-\varepsilon,x+\varepsilon)$ は無理数を含むからである。実際、任意の二つの実数の間には有理数が存在する（Rud76 Theorem 1.20）ので、有理数 $q$ で $x-\varepsilon-\sqrt2< q< x+\varepsilon-\sqrt2$ なるものをとれば、$q+\sqrt2$ は $(x-\varepsilon,x+\varepsilon)$ に属する無理数である。
$\mathbb{Q}$ は閉集合（補集合が開集合であるような集合）でもない。補集合 $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ が開集合でないからである。無理数 $x$ を中心とするどの開球も有理数を含む（同じく Rud76 Theorem 1.20）。
したがって「開でない」ことと「閉である」ことは同じでない。$\mathbb{Q}$ は開でも閉でもない集合であり、$\emptyset$ と $\mathbb{R}$ は開かつ閉な集合（開かつ閉集合）である。

性質

距離空間の開集合系は位相をなす

$(X,d)$ を距離空間とする。

任意の開球 $B(x,r)$ は def-open-set-metric の意味で開集合である。
def-open-set-metric の意味の開集合全体 $\mathcal{O}_d$ は $X$ 上の位相をなす。

1：$y\in B(x,r)$ とし、$\varepsilon:=r-d(x,y)>0$ とおく。$z\in B(y,\varepsilon)$ ならば三角不等式により
$$ d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)< d(x,y)+\varepsilon=r $$
なので $z\in B(x,r)$ である。よって $B(y,\varepsilon)\subset B(x,r)$ であり、$B(x,r)$ は開集合である。
2：位相の条件 1。$\emptyset$ には点がないので条件は空虚に成り立つ。$X$ については任意の $x\in X$ に対し $B(x,1)\subset X$ である。
位相の条件 2。$(U_i)_{i\in I}$ を開集合の族とし、$x\in\bigcup_i U_i$ とする。ある $i$ について $x\in U_i$ であり、$U_i$ が開なので $B(x,\varepsilon)\subset U_i\subset\bigcup_i U_i$ となる $\varepsilon>0$ がある。
位相の条件 3。$U,V$ を開集合とし、$x\in U\cap V$ とする。$B(x,\varepsilon_1)\subset U$、$B(x,\varepsilon_2)\subset V$ となる $\varepsilon_1,\varepsilon_2>0$ をとり、$\varepsilon:=\min\{\varepsilon_1,\varepsilon_2\}$ とおけば $B(x,\varepsilon)\subset B(x,\varepsilon_1)\cap B(x,\varepsilon_2)\subset U\cap V$ である。$\square$

この証明は、開球の族が開基の条件を満たすことを示して位相を生成させる開基の議論と同じ内容を、位相の三条件を直接確かめる形で述べたものである。1 により各開球は $\mathcal{O}_d$ の元であり、def-open-set-metric により $\mathcal{O}_d$ の各元は自分に含まれる開球の和集合なので、$\mathcal{O}_d$ は開球の全体を開基とする位相に一致する。

開集合の局所的な特徴づけ

$X$ を位相空間、$A\subset X$ とする。次は同値である。

$A$ は開集合である。
$A$ の任意の点 $x$ に対し、開集合 $U$ で $x\in U\subset A$ となるものが存在する。
$A$ は自分の各点の近傍である。すなわち、任意の $x\in A$ に対して $A$ は $x$ の近傍である。

1 ⇒ 2：$U:=A$ とすればよい。
2 ⇒ 1：各 $x\in A$ に対して条件 2 の開集合が存在するので、$\mathcal{U}:=\{U\in\mathcal{O}\mid U\subset A\}$ とおくと、$\bigcup\mathcal{U}\subset A$ であり、逆に任意の $x\in A$ は $\mathcal{U}$ のある元に属するので $A\subset\bigcup\mathcal{U}$ である。よって $A=\bigcup\mathcal{U}$ は開集合の和集合であり、位相の条件 2 により開集合である（この議論では各点ごとに $U$ を選んでおらず、$A$ に含まれる開集合をすべて集めているので、選択公理は使わない）。
2 ⇔ 3：点 $x$ の近傍とは、$x\in U\subset N$ となる開集合 $U$ が存在するような集合 $N$ のことである（近傍）。$N=A$ とすれば、条件 2 は「$A$ が各点 $x\in A$ の近傍である」ことそのものである。$\square$

prop-open-set-local の条件 2 を満たす点 $x$ を $A$ の内点（内点）といい、内点全体を $A$ の内部 $\operatorname{int}A$ という。prop-open-set-local は「$A$ が開であることと、$A$ のすべての点が内点であること、すなわち $A=\operatorname{int}A$ であることは同値である」と言い換えられる。内部が $A$ に含まれる最大の開集合であることをはじめ、内部の性質は内部が扱う。距離空間では、def-open-set-metric の条件「各点を中心とする開球が $A$ に収まる」がまさに「各点が内点である」ことの具体形である。

Sierpinski空間への連続写像による分類

$X$ を位相空間、$\mathbb{S}=\{0,1\}$ を開集合系 $\{\emptyset,\{1\},\mathbb{S}\}$ をもつ Sierpinski空間とする。部分集合 $U\subset X$ に対し、その特性関数（指示関数）を
$$ \chi_U\colon X\to\mathbb{S},\qquad \chi_U(x):=\begin{cases}1,&x\in U,\\ 0,&x\notin U\end{cases} $$
とする。このとき、$U$ が $X$ の開集合であることと、$\chi_U$ が連続写像であることは同値である。したがって、対応 $U\mapsto\chi_U$ は $X$ の開集合系 $\mathcal{O}$ から連続写像全体 $C(X,\mathbb{S})$ への全単射である。

写像 $f\colon X\to Y$ が連続であるとは、$Y$ の任意の開集合の逆像 $f^{-1}(V)$ が $X$ の開集合であることをいう。$\mathbb{S}$ の開集合は $\emptyset$、$\{1\}$、$\mathbb{S}$ の三つであり、それらの $\chi_U$ による逆像はそれぞれ
$$ \chi_U^{-1}(\emptyset)=\emptyset,\qquad \chi_U^{-1}(\{1\})=U,\qquad \chi_U^{-1}(\mathbb{S})=X $$
である。$\emptyset$ と $X$ はつねに開集合なので、$\chi_U$ が連続であることは $U$ が開集合であることと同値である。
対応が全単射であること。$U\ne U'$ なら $\chi_U\ne\chi_{U'}$ なので単射である。任意の連続写像 $f\colon X\to\mathbb{S}$ に対し $U:=f^{-1}(\{1\})$ とおくと、$\{1\}$ が開なので $U$ は開集合であり、$f$ の値は $0$ か $1$ しかないので $f=\chi_U$ である。よって全射である。$\square$

集合の世界では、部分集合 $A\subset X$ は二点集合 $\{0,1\}$ への特性関数と同じデータである。位相空間の世界では、二点集合に Sierpinski 位相を入れて特性関数に連続性を要求すると、ちょうど開集合だけが選び出される。開集合という概念が、外から付け加えた補助概念ではなく連続写像の言葉の内側で認識できることを、この命題は示している。

補足

閉集合との関係

$X$ の部分集合 $F$ は、補集合 $X\setminus F$ が開集合であるとき閉集合という。De Morganの法則により、閉集合の全体は $\emptyset$ と $X$ を含み、任意個の共通部分と有限個の和集合に閉じている（証明は閉集合）。開集合の族と閉集合の族は補集合をとる操作で互いに移り合うので、位相は閉集合系を指定しても同じ情報を定める。開かつ閉である集合（開かつ閉集合）は $\emptyset$ と $X$ 以外にも存在しうる。離散位相ではすべての部分集合が開かつ閉であり、逆に $\emptyset$ と $X$ 以外に開かつ閉な集合をもたない空間を連結空間という。通常の位相を入れた $\mathbb{R}$ は連結である（Mun00 §24）。

連続写像と開写像

位相空間の間の写像 $f\colon X\to Y$ が連続であることは、$Y$ の各開集合 $V$ の逆像 $f^{-1}(V)$ が $X$ の開集合であることとして定義される（連続写像）。逆像は $f^{-1}\bigl(\bigcup_i V_i\bigr)=\bigcup_i f^{-1}(V_i)$、$f^{-1}(V\cap W)=f^{-1}(V)\cap f^{-1}(W)$ を満たすので、開集合系の任意和・有限交叉の構造と両立する。これに対し、連続写像が開集合を像（像(写像)）で開集合に送るとは限らない。たとえば定数写像 $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ は連続だが、空でない開集合の像は一点集合であり、通常の位相では開集合でない（rem-open-set-counterexample-intersection）。開集合の像がつねに開集合である写像を開写像といい、連続性とは独立な概念である。

開集合の差と像

二つの開集合 $U,V$ に対し、差集合 $U\setminus V$ は一般に開集合でない。たとえば $\mathbb{R}\setminus(0,1)=(-\infty,0]\cup[1,\infty)$ は、点 $0$ を中心とするどの開球も $(0,1)$ の点を含むので開集合でない。$U\setminus V=U\cap(X\setminus V)$ であり、$X\setminus V$ は閉集合であって開集合とは限らないことがその理由である。

開集合系のもつ構造

開集合系 $\mathcal{O}$ は包含関係に関して順序集合であり、任意の部分族の上限（和集合）と有限個の下限（共通部分）をもち、有限交叉が任意和に分配する。この構造をもつ順序集合をフレームという。補集合が一般に開でないため $\mathcal{O}$ は一般には Boole 代数（Boole代数）でないが、開集合 $U,V$ に対し「$W\cap U\subset V$ を満たす最大の開集合 $W$」（$X\setminus U$ と $V$ の和集合の内部）が存在し、この操作を含意とするHeyting代数になる。開集合系の代数的構造から点を忘れて位相を扱う考え方がlocaleであり、開集合の上で局所的な情報を貼り合わせる装置が層である。フレームと locale については Joh82 Chapter II を参照。
本記事の記述はおおむね標準的な教科書 Mun00 §12–§13・§16–§18、および Mat68 第4章に従う。